首届中国大学生数学竞赛-非数学类答案

2023年12月14日发(作者：职高学业水平数学试卷)

首届中国大学生数学竞赛赛区赛试卷（非数学类，2009）

一、填空题（每小题5分，共20分）

y(xy)ln(1)xdxdy____________，其中区域D由直线xy1与两1．计算D1xy坐标轴所围成三角形区域.

01解 令xyu,xv，则xv,yuv，dxdydet11dudvdudv，

y(xy)ln(1)ulnuulnvxdxdyD1xyD1ududv

uulnuuudvlnvdv)du0001u1u

21ulnuu(ulnuu)du01u1u(110u2du （*）

1u22224令t1u，则u1t，du2tdt，u12tt，u(1u)t(1t)(1t)，

(*)2(12t2t4)dt

102101162(12tt)dt2tt3t5

501532412．设f(x)是连续函数，且满足f(x)3x2解 令A220f(x)dx2, 则f(x)____________.

20f(x)dx，则f(x)3x2A2，

A(3x2A2)dx82(A2)42A,

0解得A4102。因此f(x)3x

33x2y22平行平面2x2yz0的切平面方程是__________. 3．曲面z2x2y22在解 因平面2x2yz0的法向量为(2,2,1)，而曲面z2(x0,y0)处的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),1)与(2,2,1)平行，因此，由zxx，zy2y知2zx(x0,y0)x0,2zy(x0,y0)2y0，

即x02,y01，又z(x0,y0)z(2,1)1，于是曲面2x2yz0在(x0,y0,z(x0,y0))x2y22平行平面 处的切平面方程是2(x2)2(y1)(z1)0，即曲面z22x2yz0的切平面方程是2x2yz50。

4．设函数yy(x)由方程xef(y)eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f1，则d2ydx2________________.

解法1 方程xef(y)eyln29的两边对x求导，得

ef(y)xf(y)yef(y)eyyln29

即

[1xf(y)y]xef(y)yeyln29

因eyln29xef(y)0，故1xf(y)yy，即y1x(1f(y))，因此

d2ydx2y1f(y)yx2(1f(y))x[1f(y)]2

f(y)1f(y)[1f(y)]2x2[1f(y)]3x2(1f(y))x2[1f(y)]3

解法2 方程xef(y)eyln29取对数，得f(y)lnxylnln29

方程（1）的两边对x求导，得f(y)y1xy

即y1x(1f(y))

方程（2）的两边对x求导，得f(y)yf(y)(y)21x2y

将（3）代入（4），得

f(y)yf(y)x2(1f(y))21x2y

将左边的第一项移到右边，得

f(y)(1f(y))2x2(1f(y))2y(1f(y))

因此

f(y)[1f(y)]2yx2[1f(y)]3

e二、（5分）求极限limexe2xenxx0(n)x，其中n是给定的正整数.

解法1 因

exe2xenxex2xelimxeeenxnxx0(n)limx0(1n)

1）

2）

3）

（4）

（ （ （ 故

exe2xenxneAlimx0nx

x2xnxeeenelimx0nxex2e2xnenx12nn1elimee

x0nn2因此

exe2xenxxlim()eAex0n解法2 因

een1e2

exe2xenxxln(exe2xenx)lnnlimln()elim

x0x0nxex2e2xnenx12nn1elimxee

x0ee2xenxn2故

exe2xenxxlim()eAex0n

en1e2

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)10f(xt)dt，且limx0f(x)A，A为常数，求xg(x)并讨论g(x)在x0处的连续性.

解 由lim因g(x)x0f(x)f(x)A和函数f(x)连续知，f(0)limf(x)limxlim0

x0x0x0xx10f(xt)dt，故g(0)f(0)dtf(0)0，

01因此，当x0时，g(x)1xf(u)du，故

0xlimf(x)f(0)0

1limg(x)limx0x0x0f(u)duxx0当x0时，

f(x)，

0xx1xf(t)dtf(t)dt0f(x)Ag(x)g(0)0xlim

g(0)limlimlimx02xx0x0x02xxx21xf(x)f(x)1xAAlimg(x)lim[2f(u)du]limlim2f(u)duA

0x0x0x0x0xx0xx22这表明g(x)在x0处连续.

g(x)x1x2f(u)du 四、（15分）已知平面区域D{(x,y)|0x,0y}，L为D的正向边界，试证：

（1）xeLLsinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx；

L（2）xesiny5dyyesinydx2.

2证 因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知

（1）xesinydyyesinxdxLsinysinx(xe)(ye)dxdy

xyD(esinyesinx)dxdy

DxeLsinydyyesinxdx

(xesiny)(yesinx)dxdy

xyD(esinyesinx)dxdy

D而D关于x和y是对称的，即知

(eDsinyesinx)dxdy(esinyesinx)dxdy

D因此

sinysinxsinysinxxedyyedxxedyyedx

LL（2）因

t2t4ee2(1)2(1t2)

2!4!tt故

esinxesinx2sin2x2由

1cos2x5cos2x

22sinysinysinysinxsinysinxxedyyedx(ee)dxdy(ee)dxdy

LDD知

sinysinyxedyyedxL11sinysinxsinysinx(ee)dxdy(ee)dxdy

2D2D11sinysinysinxsinxsinxsinx(ee)dxdy(ee)dxdy(ee)dxdy

2D2DD00(esinxesinx)dx5cos2x5dx2

22即

52sinysinyxedyyedx

2L五、（10分）已知y1xee，y2xee解 设y1xee，y2xee微分方程

x2xxxx2xxxx2xx，y3xeee是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

x2xx，y3xeee是二阶常系数线性非齐次ybycyf(x)

的三个解，则y2y1exe2x和y3y1ex都是二阶常系数线性齐次微分方程

ybycy0

的解，因此ybycy0的特征多项式是(2)(1)0，而ybycy0的特征多项式是

2bc0

y12y1f(x)和 因此二阶常系数线性齐次微分方程为yy2y0，由y1exxex2e2x，y12exxex4e2x

y1y12y1xe2e4e知，f(x)y1(12x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

xx2x(xexex2e2x)2(xexe2x)

yy2yex2xex

六、（10分）设抛物线yaxbx2lnc0x1时,y0,又已知该抛物线与x轴及直线x1所围图形的面积为体积最小.

解 因抛物线yaxbx2lnc过原点，故c1，于是

11baba(ax2bx)dtx3x2

30203231221.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的3即

2(1a)

3而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为

bV(a)(axbx)dt(ax20012212(1a)x)2dt

31144a(1a)x3dt(1a)2x2dt

00039114a2a(1a)(1a)2

5327a2x4dt1即

114V(a)a2a(1a)(1a)2

5327令

V(a)得

218a(12a)(1a)0，

532754a4590a4040a0

即

4a50

因此

53a,b,c1.

42

(x)un(x)xn1ex(n1,2,), 且un(1)七、（15分）已知un(x)满足un数项级数解

e, 求函nun1n(x)之和.

(x)un(x)xn1ex，

un即

yyxn1ex

由一阶线性非齐次微分方程公式知

yex(Cxn1dx)

即

xnye(C)

nx因此

xnun(x)e(C)

ne1由un(1)e(C)知，C0，

nnx于是

xnexun(x)

n下面求级数的和：

令 xnexS(x)un(x)

nn1n1则

xnexexn1xS(x)(xe)S(x)xeS(x)

n1xn1n1n1x即

exS(x)S(x)

1x由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)ex(C1dx)

1x令x0，得0S(0)C，因此级数un12n(x)的和

S(x)exln(1x)

八、（10分）求x1时, 与2xn等价的无穷大量.

n02解 令f(t)xt，则因当0x1，t(1,)时，f(t)2txtlnx0，故

f(t)xe0t2t2ln1x在(0,)上严格单调减。因此

f(t)dtn0n1nf(t)dtf(n)f(0)n0n1nn1f(t)dt10f(t)dt

即

又

0f(t)dt1f(n)1n10f(t)dt

n0f(n)xn，

n0211limxlimx1

x11xx11ln0f(t)dt0xdte0t2t2ln1xdt1ln1x0etdt2112lnx，

所以，当x1时, 与

xn等价的无穷大量是n021。

21x首届国珍松竹文化节知识竞赛试题

一、单选题

1．在中华民族传统文化中，被誉为\"岁寒三友\"的是（ ）

A．松竹梅 B．松竹兰 C．松兰梅

2．“岁寒，然后知松柏之后凋也。”出自（ ）

A．李商隐《高松》 B．孔子《论语》 C．老子《道德经》

3．“岁不寒，无以知松柏。事不难，无以知君子。”出自（ ）

A．石延年《古松》 B．朱元璋《山松》 C．荀子《大略》

4．“大寒既至，霜雪既降，吾是以知松柏之茂也。”出自（ ）

A．李白《赠韦侍御黄裳》 B．庄子《让王》 C．司马迁《史记》

5．“要学那泰山顶上一棵松，挺然屹立傲苍穹。”出自（ ）

A．京剧《沙家浜》 B．评剧《芦荡火种》 C．话剧《日出》

6．“对干燥无所畏惧的生命力最强的花粉，是带有气囊的松花粉。”的作者

是（ ）

A．哥白尼 B．达尔文 C．牛顿

7．“宁可食无肉，不可居无竹。无肉令人瘦，无竹令人俗。人瘦尚可肥，士

俗不可医。”的作者是（ ）

A．王安石 B．王维 C．苏东坡

8．“长生不老有新方，可惜今人却渺茫，细将松黄经曲捣，朝朝服食保康

祥。”出自（ ）

A．汪元亨《归隐》 B．王士雄《长寿诗》 C．白居易《枕上行》

9．“一斤松花不可少，八两蒲黄切莫炒，槐花杏花各五钱，两斤白蜜一起捣，

吃也好，浴也好，红白容颜直到老。”出自（ ）

A．苏东坡《花粉歌》 B．王象晋《群芳谱》 C．林洪《山家清供》

10．在我国营养学专著中记载补中益气和壮筋骨的“松黄汤”及制作方法出自（ ）

A．《食物本草》 B．《饮膳正要》 C．《调疾饮食辩》

11．“未出土时便有节，及凌云处尚虚心。”指的是（ ）

A．菊花 B．松树 C．竹子

12．郑板桥所作：“咬定青山不放松，立根原在破岩中；千磨万击还坚劲，任

尔东西南北风。”比喻的是哪种植物（ ）

A．松树 B．竹子 C．柏树

13．“客从岳顶来，贻我松花粉。为言服之久，身轻欲飞翔。”的作者是（ ）

A．金·张健 B．唐·姚合 C．元·练鲁

14．“天寿山守备太监，辖十二陵掌印等官，凡每年春季进贡松花粉。”出自（ ）

A．张可久《山中书事》 B．刘若愚《明宫史》 C．施闰章《山行》

15．世界上第一部国家颁布的药典记载的药食兼用花粉是（ ）

A．油菜花粉 B．槐花粉 C．松花粉

16．“松花即松黄，拂取正似蒲黄，久服令轻身，疗病胜似皮、叶及脂也。”

出自（ ）

A．《食疗本草》 B. 《新修本草》 C.《神农本草经》

17．世界竹文化的发祥地是（ ）

A．中国 B．印度 C．埃及 18．我国第一部有关竹子的专著是晋代戴凯之的（ ）

A．《易经》 B．《竹谱》 C．《周礼》

19．在自然环境中，竹子与其他植物相比能多释放氧气的比例是（ ）

A．55% B．45% C．35%

20．在我国森林资源中，松科植物占资源总量的（ ）

A．30% B．60% C．70%

21．我国马尾松和油松分布在多少个省区（ ）

A．23个 B．17个 C．7个

22．竹子的药用历史始于1500年前的（ ）

A．《滇南本草》 B．《名医别录》 C．《食物本草》

23．竹叶黄酮的原料是淡竹的叶，主要产自（ ）

A．四川绵阳 B．江西吉安 C．浙江安吉

24．松花粉按采集方式属于（ ）

A．虫媒花粉 B．风媒花粉 C．虫媒和风媒花粉

25．松花粉是裸子植物松科中哪种树的花粉（ ）

A．马尾松和油松 B．柏松和油松 C．马尾松和柏松

26．松花粉的最佳采摘期为（ ）

A．立春前后 B．清明前后 C．立夏前后

27．服用松花粉最适宜的水温是（ ）

A．开水 B．高于摄氏40度的温开水或凉白开水

C．低于摄氏40度的温开水或凉白开水

28．联合国卫生组织对健康的定义是（ ）

A．无病即健康

B．健康不仅是躯体没有疾病，还要具备心理健康、社会适应力良好和道

德健康。

C．心理健康

29．世界卫生组织提出的“四大健康基石”是指（ ）

A．合理膳食，适量运动，戒烟限酒，心理平衡

B．合理膳食，大量运动，戒烟限酒，心理平衡

C．素食主义，适量运动，戒烟限酒，心理平衡

30．世界卫生组织报告指出，健康与长寿取决于多种因素，下面哪个因素所占

比例最高（ ）

A．遗传因素 B．自我保健 C．社会因素

31．通常所说的合理膳食指的是（ ）

A．只吃荤不吃素 B．只吃素不吃荤 C．荤素搭配膳食平衡

32．“圣人不治已病治未病，病已成而后药之……不亦晚乎！”出自（ ）

A．《白氏内经》 B．《黄帝内经》 C．《白氏外经》

33．人体所需的必需氨基酸有几种（ ）

A．8种 B．5种 C．3种

34．针对身体健康状况常说的“三高症”指的是（ ）

A．高血脂、高血糖和高胆固醇 B．高血脂、高血压和高血糖

C．高血脂、高血压和高胆固醇

35．不良饮食习惯中的“三高”指的是（ ）

A．高脂、高糖、高纤维 B．高脂、高盐、高纤维 C．高脂、高盐、高糖

36．心脑血管病的两个基础指标是（ ）

A．血压升高和心律不齐 B．血压升高和动脉粥样硬化

C．心律不齐和动脉粥样硬化

37．高血压的临床诊断标准是（记录两次以上）（ ）

A．高压≥140mmHG 低压≥90 mmHG

B．高压≥120mmHG 低压≥90 mmHG

C．高压≥120mmHG 低压≥100 mmHG

38．运动加补钙被认为是防治骨质疏松症的最好方法，如果从食物中不能获得

足够的钙，专家建议每天钙的摄入量应维持在（ ）

A．3000～5000毫克 B．800～1000毫克 C．越多越好

39．健康的生活方式，包括每天运动的时间应（ ）

A．不少于10分钟 B．不少于20分钟 C．不少于30分钟

40．高密度脂蛋白胆固醇和低密度脂蛋白胆固醇，哪种对人体有益（ ）

A．低密度脂蛋白胆固醇 B．高密度脂蛋白胆固醇 C．两种都有益

41．“潜在饥饿”指的是（ ）

A．因微量营养素的缺乏所造成的饥饿 B．因铁缺乏所造成的饥饿

C．因锌缺乏所造成的饥饿

42．亚健康是介于健康和疾病之间的第三种状态，表现为（ ）

A．自己感到不舒服，检测指标也不正常；

B．自己感到不舒服，但检测指标正常；

C．自己感觉良好，但检测指标不正常；

D．自己感觉良好，检测指标也正常。

二、多选题

43．在植物界松树有王者之尊被称为（ ）

A．百木之长 B．十八公 C．木公 D．灵木

44．唐代“美人井”的传说出自（ ）

A．张沁《妆楼记》 B．刘恂《岭表录异》

C．李时珍《本草纲目》 D．圣祖敕《广群芳谱》

45．下面哪些称呼指的是松花粉（ ）

A．益寿粉 B．蒲黄 C．松黄 D．松茸

46．竹叶黄酮对胆固醇的作用为（ ）

A．升高高密度脂蛋白胆固醇 B．降低高密度脂蛋白胆固醇

C．升高低密度脂蛋白胆固醇 D．降低低密度脂蛋白胆固醇

47．松花粉中含有哪些营养成分（ ）

A．20种氨基酸，包括人体必需氨基酸； B．14种维生素；

C．30种矿物质元素；近百种酶和活性物质；

D．核酸、纤维素、不饱和脂肪酸、黄酮类物质、胆碱等。

48．破壁松花粉与未破壁松花粉的区别有（ ）

A．可溶性碳水化合物溶出量显著增加 B．脂溶性成分溶出量明显增加

C．可溶出的微量元素含量大幅度上升 D．游离氨基酸含量上升

49．竹叶黄酮的保健功能有（ ）

A．抗自由基、抗衰老 B．降血脂、血胆固醇 C．抗菌、消炎和抗病毒 D．镇咳祛痰、清热解毒

50．根据现代医学对疲劳的定义，疲劳分为四种（ ）

A．身体疲劳 B．精神疲劳 C．病态疲劳 D．心理疲劳

首届国珍松竹文化节有奖知识竞赛答题卡

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一、单选题

A B C

01．○○○

02．○○○

03．○○○

04．○○○

05．○○○

06．○○○

07．○○○

08．○○○

09．○○○

10．○○○

11．○○○

12．○○○

13．○○○

14．○○○

15．○○○

16．○○○

17．○○○

18．○○○

19．○○○

20．○○○

21．○○○

22．○○○

23．○○○

24．○○○

25．○○○

26．○○○

27．○○○

28．○○○

29．○○○

30．○○○

31．○○○

32．○○○

33．○○○

34．○○○

35．○○○

36．○○○

37．○○○

38．○○○

39．○○○

40．○○○

41．○○○

42．○○○

二、多选题

A B C D

43．○○○○

44．○○○○

45．○○○○

46．○○○○

47．○○○○

48．○○○○

49．○○○○

50．○○○○

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