2023年12月14日发(作者：沈阳市中考大纲数学试卷)
全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614
2009 年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题
5 分，共 20 分）
(x y) ln(1
D
1．计算
y
)
xy
dxdy
____________
，其中区域 D
由直线 x
y 1与两
1 x
.
坐标轴所围成三角形区域
2．设
f ( x) 是连续函数，且满足
f (x) 3x
22
0
f ( x)dx 2
,
则
f ( x)
____________.
3．曲面
z
x22
y
2 2
平行平面 2x 2 y z 0
的切平面方程是
__________.
4．设函数
y y(x)
由方程 xe
f ( y) ey ln 29
确定，其中 f
具有二阶导数，且
f
1
，则
d2 y
dx2
________________.
二、（ 5 分）求极限
lim (x 0
ex
e2 x
enx
)
x
，其中 n
是给定的正整数
.
n
e
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三、（ 15 分）设函数
f (x) 连续，
g( x)
1
0
f ( xt)dt
，且
lim
x 0
f (x)x
A
，
A
为常数， 求 g ( x)
并讨论 g ( x)
在
x
0处的连续性
.
四、（ 15 分）已知平面区域
D {( x, y) | 0 x
, 0 y
}
， L
为 D
的正向边界， 试证：
（ 1）
xesin ydy
ye
sin xdx
xe
sin y dy yesin xdx
；
L
L
（ 2）
xesin ydy
ye
sin ydx
5
2
.
L
2
五、（ 10 分）已知
y1
xe
x
e2x
， y2
xex
e
x
，线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
2 / 11
3
xex
e2x
e
x
是某二阶常系数
y 全国大学生高等数学竞赛真题及答案(非数学类)无答案_9614
六、（ 10 分）设抛物线
y ax
2
bx
2 ln c
过原点
.
当
0
x 1
时
,
y
与 x
轴及直线
x 1所围图形的面积为
13
0
,
又已知该抛物线
. 试确定
a, b, c , 使此图形绕
x 轴旋转一周而成的旋
转体的体积最小
.
七、（ 15 分）已知
un
( x) 满足
un
(x) un
( x)
xn 1xe (n 1,2, )
,
且
un
(1)
en
, 求函数项
级数
un ( x)
之和
.
n 1
八、（ 10 分）求
x
1
时
,
与
n 0
xn2
等价的无穷大量 .
2010 年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（ 25 分，每小题 5 分）
（1）设
xn
(1 a)(1 a2 ) (1
a2 ),
其中
| a | 1,
求
lim xn.
n
2n
（2）求
lim e
x
x
1
1
x
。
x
（3）设
s
0
，求 Ie
sx xndx( n
0
1,2,
)
。
（4）设函数
f (t ) 有二阶连续导数，
r
x2
y2 , g( x, y) f
1
r
，求
2
g 2
g
。
x2
y2
（5）求直线
l1
:
x
y
z
0
0
与直线 l
2 :
x 2
4
y 1
2
z 3
的距离。
1
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二、（ 15
分）设函数
f ( x)
在
( , 0,
)
上具有二阶导数，并且
f (x)
0, lim f ( x)
x
lim
x
f ( x)
0,
且存在一点
x0
，使得
f ( x0 )
0
。
三、（ 15 分）设函数
y
f (x)
由参数方程
x
2t t
2
(t 1)
所确定，其中
(t)
具有二阶
y
(t )
导数，曲线 y
(t)
与 y
t
2
e
u
2
du
3
在 t
1出相切，求函数
1
2e
n
四、（ 15
分）设 an 0, Sn
ak ,
证明：
k 1
（1）当
1时，级数
an
收敛；
n 1
Sn
（2）当
1且
sn
(n
)
时，级数an
发散
。
n 1
Sn
2 2
五、（ 15
分）设 l
是过原点、方向为
(
, , )，（其中
x2
y2
z2
a2b21
，其中（ 0 c
b
a,
密度为
1）绕
c2
l旋转。
（ 1）求其转动惯量；
（ 2）求其转动惯量关于方向
( , , ) 的最大值和最小值。
4 / 11
(t)
。
2
1)
的直线，均匀椭球
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六、(15
分 ) 设函数
( x) 具有连续的导数， 在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线
C
上，曲线
积分
c
2xydx
x4
( x)dy
y2
的值为常数。
（1）设
L 为正向闭曲线
( x 2)2
y2
1,
证明
c
2xydx
( x)dy
0;
x4
y2
（2）求函数
( x)
；
（3）设
C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求
c
2xydx
x4
( x)dy
。
y
2
2011 年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一． 计算下列各题（本题共
3 小题，每小题各 5 分，共 15 分）
1
（1） . 求
lim
x 0
sin xx
1 cos x
；
（2） . 求
lim
1
n1
...
n
1
n
；
n 1
n 2
x
ln 1 e2t
（3）已知
d
2 y
，求
y
t arctanet
dx2
。
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二．（本题 10 分）求方程
2x y 4 dx
x y 1 dy
0
的通解
。
三．（本题 15
分 ） 设 函 数 f(x)
在 x=0
的某邻域内具有二阶连续导数，且
f 0 , f
\' 0 , f
\" 0
均 不 为 0 ， 证 明 ： 存 在 唯 一 一 组 实 数
k1, k2
, k3 ， 使 得
lim
kf h1
h 0
k2 f
2h
h
2
k3 f
3h
f 0
0
。
四．（本题 17
分 ） 设
1
:
a
与
x2
y2
z2
1
， 其 中
a b c
0
，
2
b2
c2
2 : z
2
x2
y
2
，
为
1
2
的交线，求椭球面
1
在 上各点的切平面到原点
距离的最大值和最小值。
x五．（本题 16 分）已知 S 是空间曲线
2
3y0
2
1
绕 y 轴旋转形成的椭球面的上半部
z
是 S在P
分（ z
平面
（1）
0
）取上侧，
的距离， ,
x, y, z
点处的切平面，
x, y, z
是原点到切
,
表示
S
的正法向的方向余弦。计算：
z
S
x, y, z
dS；（
2）
z x 3 y z dS
S
六．（本题
12 分）设
f(x)
是在
,
a0
， 定 义
内的可微函数，且
f
、
x
mf
x
，其
中 0
m 1
，任取实数
an
ln f
an 1
, n
1,2,...,
证 明 ：
an
an 1
绝对收敛。
n 1
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七（．本题 15 分）是否存在区间
、0,2
上的连续可微函数
f(x) ，满足
f 0
f 2 1，
f x 1, f x dx
2
1？请说明理由。
0
第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共
5 小题，每小题
6 分共 30 分）解答下列个体（要求写出要求写
出重要步骤）
n
1
(1)
求极限 lim ( n! )
n2
(2)
求通过直线 l :
2 x
y 3z
2
0
3
0
2的两个互相垂直的平面
1和
2，使其中
5x
5 y
4z
一个平面过点 ( 4 ,
3,1)。
u( x , y)eax
2
(3)
已知函数 z
by
，且
z
u
0
。确定常数 a
和
b
，使函数 z z( x , y)
x
y
z
y
0
满足方程
zz
x
x y
(4)
设函数 u
u( x )
连续可微， u(2)
1
，且 ( x 2y)udx ( x
u3 )udy
在右半平
面与路径无关，求 u( x , y)
。
3x
x
1
(5) 求极限
lim
x
x
sin t
t cost
dt
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二、（本题
10 分）计算
0
e
2 x
sin x dx
三、求方程 x
2 sin
1
2 x
x
501 的近似解，精确到
0.001.
四、（本题 12 分）设函数
y
f ( x )
二阶可导，且 f ( x ) 0
， f (0) 0
， f (0) 0
，
求 lim
x 0
x f (u )
，其中 u
是曲线 y f ( x)
上点 P( x , f ( x ))
处的切线在 x
轴
f ( x ) sin
3
u
3
上的截距。
五、（本题 12 分）求最小实数 C ，使得满足
1
0
f ( x ) dx 1
的连续函数
f ( x )
都
有
1
0
f ( x )dx
C
六、（本题
12 分）设
f ( x ) 为连续函数， t 0 。区域
和球面 x
2
F (t )
是由抛物面 z x
2
y2
y2
z2
t
2 (z
0)
所围起来的部分。定义三重积分
f ( x
2
y2
z2 )dv
求 F ( t)
的导数 F (t )
七、（本题 14 分）设
an
与
n 1
bn
为正项级数，证明：
n 1
（1）若
lim
n
abn 1an
an
1
n
0
，则级数
1
an
收敛；
n 1
（2）若
lim
n
bn
1
0
，且级数
bn
发散，则级数
n 1 n 1
an
发散。
abn 1
n
bn 1
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第五届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、
解答下列各题（每小题
6 分共 24 分，要求写出重要步骤）
1.求极限 lim 1
n
sin
1 4n2n
.
2.证明广义积分
sin x0
dx
不是绝对收敛的
x
3.设函数
y
y x 由
x3
3
3x2 y
2 y3
2
确定，求
y x
的极值。
4.过曲线
y
x x
0
上的点
A 作切线，使该切线与曲线及
x
轴所围成的平面图形的
面积为 ，求点 A 的坐标。
34
二、（满分 12）计算定积分
I
x sin x arctan ex
1
cos2
x
dx
三、（满分 12 分）设
f x
在 x
0
处存在二阶导数 f
0
，且
lim
x 0
f
x
x
0
。
证明 ：级数
f
1
收敛。
n
n 1
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四、（满分 12 分）设
f x, f x
0 a x b
，
证明 sin f
b
x dx
2
a
m
五、（满分 14 分）设
是一个光滑封闭曲面，方向朝外。给定第二型
的曲面积分 I
x3 x dydz 2y3 y dzdx 3z3 z dxdy
。试确定曲面
，
使积分 I
的值最小，并求该最小值。
六、（满分 14 分）设
I
a
r
C
ydx
x2
y2
xdya
，
其中 a
为常数，曲线
C
为椭圆
x2
xy y2
r
2
，取正向。求极限
lim I
a
r
r
七（满分 14 分）判断级数
n 1
1
1
1
2
n 1 n
2
n
的敛散性，若收敛，求其和。
五、向量代数和空间解析几何
1.
向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.
2.
两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.
3.
向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.
4.
曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.
5. 平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离 .
6. 球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形 .
7. 空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.
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Ⅲ、解析几何部分
一、向量与坐标
1.
向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算
.
2.
坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算
.
3.
向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角
.
4.
向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用
.
5.
应用向量求解一些几何、三角问题
.
二、轨迹与方程
1.
曲面方程的定义：普通方程、参数方程
( 向量式与坐标式之间的互化
) 及其关系 .
2.
空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.
3.
建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程
.
4.
球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程
.
三、平面与空间直线
1. 平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义
.
2. 从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程
.
3. 根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系
.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们
之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.
四、二次曲面
1. 柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程
.
2. 椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，
根据不同条件建立二次曲面的标准方程
3.
单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法
.
4.
根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题
.
五、二次曲线的一般理论
1.
二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.
2.
二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.
3.
二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.
4.
二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.
5.
化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.
11 / 11
.
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