2024年4月3日发(作者：数学试卷的不足之处)
高考数学考前提醒：高中知识点易错点梳理
一、集合、简易逻辑、函数
1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合
A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x｜,y},且A=B,则x+y=
2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义.
2
（1）已知“集合M={y｜y=x
2
,x∈R},N={y｜y=x+1,x∈R},求M∩N”；
2
与“集合M={（x,y）｜y=x
2
,x∈R},N={(x,y)｜y=x+1,x∈R}求M∩N”的区
别.
（2）已知集合
A{圆}，B{直线}
，则
AB
中的元素个数是____个.
你注意空集了吗？
（3）设
f(x)
的定义域A是无限集，则下列集合中必为无限集的有
①
{y|
③
{x|
⑤
{x|
yf(x),xA}
②
{(x,y)|yf(x),xA}
f(x)0,xA}
④
{x|f(x)2,xA}
yf(x)}
3． 集合 A、B，
AB
时，你是否注意到“极端”情况：
A
或
B
；
求集合的子集
AB
时是否忘记
A
.
例如：
a2
x
2
2
a2
x10
对一切
xR
恒成立，求a的取植范
围，你讨论了
a2
的情况了吗？
4．
(C
U
A)∩( C
U
B) = C
U
(A∪B) , (C
U
A)∪( C
U
B) = C
U
(A∩B)
；
ABBBA,ABBAB
,
对于含有n个元素的有限集合
M
, 其子集、真子集、非空子集、非空真
，
21，
22.
如满足条件子集的个数依次为
2，21
{1}M{1,2,3,4}
的集合
M
共有多少个？（特别注意
）
5． 解集合问题的基本工具是韦恩图.
某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会
唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个
跳舞节目,问有多少种不同的选法？
6． 两集合之间的关系.
M{xx2k1,kZ},N{xx4k1,kZ}
7． 命题的四种形式及其相互关系；全称命题和存在命题.
（1）原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.
（2）“命题的否定”与“否命题”的区别：____________________
练习：
（1）命题“异面直线
a,b
不垂直，则过
a
的任一平面与
b
都不垂直”，求出该
命题的否命题.
（2）命题“
xQ,使x3成立
”，求该命题的否定.
如皋市第一中学高三数学组 1
2
nnnn
2
（3）若存在，使不等式
a[13]，
ax(a2)x20
，求
x
的取值范围.
．．
8、你对映射的概念了解了吗？映射f：A→B中，A中元素的任意性和B中与
它对应元素的唯一性，映射与函数的关系如何？
例如：函数
yf
x
与直线
xa
的交点的个数有 个
9、函数的几个重要性质：
①如果函数
yf
x
对于一切
xR
，都有
f
ax
f
ax
或f
（2a-x）=f（x），那么函数
yf
x
的图象关于直线
xa
对称.
②函数
yf
x
与函数
yf
x
的图象关于直线
x0
对称；
函数
yf
x
与函数
yf
x
的图象关于直线
y0
对称；
函数
yf
x
与函数
yf
x
的图象关于坐标原点对称.
③若奇函数
yf
x
在区间
0,
上是递增函数，则
yf
x
在区间
,0
上也是递增函数．
④若偶函数
yf
x
在区间
0,
上是递增函数，则
yf
x
在区间
,0
上是递减函数．
⑤函数
yf
xa
(a0)
的图象是把函数
yf
x
的图象沿x轴向左
平移a个单位得到的；函数
yf
xa
(
(a0)
的图象是把函数
yf
x
的图象沿x轴向右平移
a
个单位得到的；
函数
yf
x
+a
(a0)
的图象是把函数
yf
x
助图象沿y轴向上平
移a个单位得到的;函数
yf
x
+a
(a0)
的图象是把函数
yf
x
助
图象沿y轴向下平移
a
个单位得到的.
⑥函数
yf
xa
与函数
yf
xb
的图象关于直线
x
对称
例如：（1）函数
yf
x
满足
f
x1
f
x1
则关于直线
对称
（2）函数
yf
x1
与
yf
x1
关于直线 对称
（3）函数
ylog
2
ax1
（
a0
）的图象关于直线
x2
对称，则a=
ab
2
（
a
最小）平移得到.
x
的图象可由
y1cos3x
的图象按向量
a
（4）函数
ysin3
10、求一个函数的解析式，你标注了该函数的定义域了吗？
例如：（1）若
f(sinx)cos2x
，则
f
x
（2）若
f(x
11
)x
3
3
，则
f
x
x
x
x(4x)
11、求函数的定义域的常见类型记住了吗？复合函数的定义域弄清了吗？
例如：（1）函数y=
lg(x3)
2
的定义域是 ；
（2）函数
f(x)
的定义域是[0,1],求
f(log
0.5
x)
的定义域.
如皋市第一中学高三数学组 2
（3）函数
f(2
x
)
的定义域是（0,1],求
f(log
2
x)
的定义域.
函数
f(x)
的定义域是[
a,b
],
ba0,
求函数
F(x)f(x)f(x)
的定义域
12、你知道求函数值域的常用方法有哪些吗，含参的二次函数的值域、最值要
记得讨论.
例如（1）已知函数
yf
x
的值域是[
a,b
]，则函数
yf
x1
的值域是
（2）函数
yx12x
的值域是
（3）函数
yx1x
2
的值域是
2
x
1
（4）函数
y
x
的值域是
21
13、 判断一个函数的奇偶性时，你注意到函数的定义域是否关于原点对称这
．．．．．．．．．．．
个必要非充分条件了吗？ 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个
偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数;
例如：（1）函数
f
x
x(x0)
的奇偶性是
2
（2）函数
yf
x
是R上的奇函数，且
x0
时，
f
x
12
x
，则
f
x
的表达式为
14、根据定义证明函数的单调性时，规范格式是什么？(取值, 作差, 判正负.)
可别忘了导数也是判定函数单调性的一种重要方法.在求函数的单调区间或求
解不等式时，你知道函数的定义域要优先考虑吗？
例如：（1）函数
ylog
1
(x2x3)
的单调减区间为
2
2
（2）若函数
ylog
1
(xax3a)
在区间
2,
上是减函数，则实
2
2
数a的取值范围是
（3）若定义在R上的偶函数
f
x
在区间
0,
上是单调增函数，则
不等式
f
1
f
lgx
的解集为
15、你知道钩型函数
yx
,a
和
例如：函数
y
a,
上单调递增；在
a,0
和
0,a
上单调递减）这可
x
2
2
x1
2
a
x
a0
的单调区间吗？（该函数在
是一个应用广泛的函数！
的值域为
y
x
2
3
x2
2
的值域为
16、幂函数与指数函数有何区别？
例如：（1）若幂函数
f
x
数，则
=
（2）若关于x的方程
4a2a10
有解，则实数a的取值范围是
如皋市第一中学高三数学组 3
xx
3
3
x
2
2
2
3
是
0,
上的单调减函
17、对数的换底公式及它的变形，你掌握了吗？
（
log
a
b
log
c
b
logb
你还记得对数恒等式吗？（
a
a
b
）
,log
a
n
b
n
log
a
b
）
log
c
a
xyz
例如：（1）x、y、z
0,
且
346
，则3x、4y、6z的大小关系可
按从小到大的顺序排列为
（2）若集合
A
n
11
log
1
2,nN
，则A的子集有 个
23
n
18、求解对数函数问题时，注意真数与底数的限制条件！
例如：（1）方程
2log
2
(x2)
的解的个数是
（2）不等式
log
(a1)
(2x1)log
(a1)
(x1)
成立的充要条件是
19、“实系数一元二次方程
axbxc0
有实数解”转化为
2
“
b4ac0
”，你是否注意到必须
a0
；当a=0时，“方程有解”不
2
x1
能转化为
b4ac0
．若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等
式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？
已知函数
ylg
a1x
a1
x1
（1）若函数的定义域为R，求a
22
2
的取值范围是 （2）若函数的值域为R，求a的取值范围是
二．三角
1． 三角公式记住了吗？两角和与差的公式________________； 二倍角公
式:_________________解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,
看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍
角公式将高次降次,
2． 在解三角问题时，你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗？正切函数
在整个定义域内是 否为单调函数？你注意到正弦函数、余弦函数的有界
性了吗？
3． 在三角中，你知道1等于什么吗？
22
（
1sinxcosx
tanxcotxtan
4
sin
2
cos01
这些统
称为1的代换) 常数 “1”的种种代换有着广泛的应用．诱导公试：奇变
偶不变，符号看象限
4． 在三角的恒等变形中，要特别注意角的各种变换．（如
(
)
,
(
)
,
2
等）
2
2
5． 你还记得三角化简题的要求是什么吗？项数最少、函数种类最少、分母不
含三角函数、且能求出值的式子，一定要算出值来）
6． 你还记得三角化简的通性通法吗？（切化弦、降幂公式、用三角公式转化
出现特殊角. 异角化同角，异名化同名，高次化低次）；你还记得降幂公
22
式吗？cosx=(1+cos2x)/2;sinx=(1-cos2x)/2
7． 你还记得某些特殊角的三角函数值吗？会求吗？
sin15cos75
练习：
626251
,sin75cos15,sin18
444
如皋市第一中学高三数学组 4
（1）
tan
解析：
b
(a0)
是
acos2
bsin2
a
的 条件.
a
bsin
b
asin
bcos
asin
sin
bcos
sin
acos
a
1cos2
sin2
a
b
acos2
bsin2
a
22
b
反之，若
acos2
bsin2
a
成立，则未必有
tan
,
取
a
a0,
即可，故为充分不必要条件
2
易错原因：未考虑
tan
不存在的情况
3
4
（2）已知
sin,cos,
则
角的终边在
2525
3
4
解析：因为
sin,cos,
故是第二象限角，即
25252
tan
2
2k
2
2k
(kZ)
，故
4k
2
4
k(kZ)
，
在第三或第四象限
以上的结果是错误的，正确的如下：
由
sin
所以
3
43
,cos,
知
2k
2k
(kZ)
252542
3
4k
2
4k
(kZ)
，故在第四象限
2
1
lr
)
2
易错原因：角度的存在区间范围过大
8． 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？
(
l
r,S
扇形
9． 辅助角公式：
asinxbcosxa
2
b
2
sin
x
(其中
角所在的象
b
限由a, b 的符号确定，
角的值由
tan
确定)在求最值、化简时起
a
着重要作用.
10. 三角函数（正弦、余弦、正切）图象的草图能迅速画出吗？能写出他们的
单调区、对称轴，取最值时的x值的集合吗？（别忘了k
Z）
三角函数性质要记牢.函数y=
Asin(
x
)
k的图象及性质：
振幅|A|，周期T=
2
, 若x=x
0
为此函数的对称轴，则x
0
是使y取到最值的
点，反之亦然，使y取到最值的x的集合为 ， 当
0,A0
时函数的增区间为 ，减区间为 ；当
0
时要利
用诱导公式将
变为大于零后再用上面的结论.
五点作图法：令
x
依次为
0
2
,
,
3
,2
求出x与y，依点
x,y
作图
2
练习：
如图，摩天轮的半径为
40m
，点
O
距地面的高度为
50m
，摩天轮做匀速转动，
每
3min
转一圈，摩天轮上的点
P
的起始位置在最低点处，（1）试确定在时刻
tmin
时点
P
距地面的高度；（2）摩天轮转动的一圈内，有多长时间点
P
距地
面超过
70m
?
如皋市第一中学高三数学组 5
11.三角函数图像变换：
（1）将函数为
yf(x)
的图像向右平移
50 40
个单位后，再作关于
x
轴的对称
4
变换，得到函数
ycos2x
的图像，则
f(x)
)2cosx
的图像按向量
m
平移得到
g(x)
的图像，
6
若
g(x)
是偶函数，求
|m|
最小的向量
m
（2）
f(x)2sin(x
12.有关斜三角形的几个结论：
在
RtABC
中，
AC
2
ADAB,BC
2
BDBA,CD
2
ADBD
A
abc
内切圆半径
r
（S为
ABC
的面积）
2
在
ABC
中，
①
sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,
D
C B
tanAtanBtanCtanAtanBtanC
ABCABC
cos,cossin
sin
2222
②正弦定理
③余弦定理
111
absinCbcsinAacsinB
222
2s
⑤内切圆半径
r
abc
13．在
ABC
中，判断下列命题的正误
（1）
AB
的充要条件是
cos2Acos2B
④面积公式
S
(2)
tanAtanBtanC0
,则
ABC
是锐角三角形
（3）若
ABC
是锐角三角形，则
cosAsinB
三、数列
1．等差数列中的重要性质：
（1）若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
（2）
数列{a
2n1
}, {a
2n
}, {ka
n
b}仍成等差数列
；
S
n
, S
2n
S
n
, S
3n
S
2n
仍成等差数列
数列；
如皋市第一中学高三数学组 6
（3）若{
a
n
}，{
b
n
}是等差数列，则
S
n
,T
n
分别为它们的前
n
项和，
a
m
S
2m1
；
b
m
T
2m1
（4）在等差数列中,求S
n
的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项（负
项）
a
k
，那么
(S
n
)
max(min)
S
k
练习：
①在等差数列{
a
n
}中，若
S
9
18,S
n
240,a
n4
30
，则
n
S
n
2n1
a
，则
9
T
n
3n2b
9
③若{
a
n
}的首项为14，前
n
和为
S
n
，点
(a
n
,a
n1
)
在直线
xy20
上，那
S
n
最大时，
n
②{
a
n
}，{
b
n
}都是等差数列，前
n
项和分别为
S
n
,T
n
，且
2．等比数列中的重要性质：
（1）若
mnpq
，则
a
m
a
n
a
p
a
q
；
（2）
S
k
，
S
2k
S
k
，
S
3k
S
2k
成等比数列；
（3）若{
a
n
}是等差数列，则{
b
n
}是等比数列，若{
a
n
}是等比数列且
a
n
0
，
则{
log
b
n
}是等差数列；
（4）类比等差数列而得的有关结论
练习：
①若{
a
n
}是等比数列，
a
4
公比
q
为整数，则
a
10
a
7
512,a
3
a
8
124
，
a
a
xx
n
x
1
x
，并且
2
3
x
1
1x
2
3x
3
5x
n
2n1
x
1
x
2
x
n
8
，那么
x
1
a2a
2
na
n
b
n
，则{
b
n
}也是等差数列，类比③等差数列{
a
n
}满足
1
12
n
等比数列{
A
n
}满足
3．等差数列的通项，前
n
项和公式的再认识：
①
a
n
a
1
(n1)dAnB
是关于
n
的一次函数， ②
n(a
1
a
n
)
S
n
na
中
，
2
③
S
n
An
2
Bn
②已知数列{
x
n
}满足
等比数列呢？
练习：
等比数列{
a
n
}中，前n项和
S
n
23
n1
r
，则
r
4．你知道 “错位相减” 求和吗？（如：求
{(2n1)3
你知道 “裂项相消” 求和吗？（如：求
{
如皋市第一中学高三数学组 7
n1
3}
的前n项和）
1
}
的前n项和）
n(n2)
5．由递推关系求通项的常见方法：
练习：
①{
a
n
}中，
a
1
2,a
n1
2a
n
1
，则
a
n
②{
a
n
}中，
a
1
2,a
n1
2a
n
2
n1
，则
a
n
（注：关系
式中的2换成3呢）
③{
a
n
}满足
a
1
3,a
2
2
且
a
n2
2a
n1
a
n
1
，则
a
n
n
2
n
④{
a
n
}满足
a
1
1
且
a
n1
a
n
2
2a
n
，则
a
n
⑤{
a
n
}满足
a
1
2
且
a
n1
1
(a
1
a
2
a
n
)
，则
a
n
，
s
n
2
6．善于捕捉利用分项求和与放缩法使所得数列为等差等比数列再求和的机会
练习：
①正项数列{
a
n
}中，
a
1
1,a
n1
2a
n
1
，求证：
1111
1
n
1a
1
1a
2
1a
n
2
11
a
n1
12a
n
1
11111111
()
2
()
3
()
n
1
n
1a
1
1a
2
1a
n
2222
2
1
(n2,nN
)
，求证：②已知{
a
n
}中
a
1
1,a
n
(n1)!
a
1
a
2
a
3
n
a3
分析：
a
n1
2a
n
1a
n1
12(a
n
1)
1
分析：
a
n
1
(n
nn
n1n
1
n
n
(n
)
3
a
1
a
2
a
3
a
n
111
111111
33
223n2n1n1
四、不等式
1、同向不等式能相减，相除吗？
2、不等式的解集的规范书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式）
3、分式不等式
f
x
a
a0
的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分
g
x
母分解因式，x的系数变为正值，奇穿偶回）
4、解指对不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数
的真数大于零.）
5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论)
ab
6、利用重要不等式
ab2ab
以及变式
ab
等求函数的最值
2
时，你是否注意到a，b
R
（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件，积
ab或和a＋b其中之一应是定值？(一正二定三相等)
2
a
2
b
2
ab2ab
7、
ab , (a , bR
)
(当且仅当
abc
时，
22ab
如皋市第一中学高三数学组 8
取等号）； a、b、c
R，
a
2
b
2
c
2
abbcca
（当且仅当
abc
时，取
等号）；
8、在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底
0a1
或
a1
）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是„„．
9、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨
论是关键．”
10、对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题）
五、向量
1．两向量平行或共线的条件，它们两种形式表示，你还记得吗？注意
a
b
是向量平行的充分不必要条件.(定义及坐标表示)
2．向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题，要记住以下公式：
ab
2
|
a
|=
a
·
a
，
cos
|a||b|
x
1
x
2
y
1
y
2
xy
2
1
2
1
x
2
y
2
22
3．利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜
率不存在的情况，要注意：
(1)
ab0a,b(,
],ab0a,b,ab0
22
a,b[0,)
2
（2）
ab0
是向量
a和向量b
夹角为钝角的必要而非充分条件.
4．向量的运算要和实数运算有区别：（1）如两边不能约去一个向量，即
abac
推不出
bc
，（2）向量的乘法不满足结合律，即
（3）两向量不能相除.
a(bc)(ab)c
，
5．你还记得向量基本定理的几何意义吗？它的实质就是平面内的任何向量都
可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，它的系数的含义与求法你清楚
吗？
6．几个重要结论：（1）已知
OA,OB
不共线，
OP
OA
OB
，则A，P，
B三点共线的充要条件是
1
；（2）向量中点公式：若C是AB的中点，
1
则
OC(OAOB)
；（3）向量重心公式：在
ABC
中，
2
O
是
ABC
的重心.
OAOBO0C
例：设F为抛物线
y
2
4x
的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若
FAFBFC0
，则
|FA||FB||FC|
__________.
7．向量等式
OC
OA
OB
的常见变形方法：（1）两边同时平方；（2）两
边同时乘以一个向量；（3）合并成两个新向量间的线性关系.
8．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，
要注意运用，对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，
两边同时取模，两边同乘以 一个向量，但不能两边同除以一个向量.
例1．
ABC
内接于以O为圆心，1为半径的圆，且
3OA4OB5OC0
，
求数量积
OA
OB,OB
OC,OC
OA
.
如皋市第一中学高三数学组 9
例2．平面四边形ABCD中，
AB13,AD5,AC5,cosDAC
12
cosBAC
，设
ACxAByAD
，求
x,y
的值.
13
3
,
5
例3．如图，设点O在
ABC
内部，且有
OA2OB3OC0
，则
S
AOC
:S
AB
= ____.
C
六、导数
1．导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率，学会定义的多种变形.
2．几个重要函数的导数：
①
C0
,（C为常数） ②
x
\'
\'
x
1
(
为常数）
\'
③
(a
x
)
\'
a
x
lna(a0
且
a1)
④
(log
a
x)
x\'x
⑤
(e)e
⑥
(lnx)
\'
1
(a0
且
a1)
xlna
1
x
⑦
(sinx)
\'
cosx
⑧
(cosx)
\'
sinx
导数的四运算法则
①
f
x
g
x
f
②
Cf
x
Cf
③
f
x
g
x
\'
\'
\'
\'
\'
x
g
\'
x
x
（C为常数）
\'
f
\'
x
g
x
f
x
g
\'
x
f
x
f
\'
x
g
x
f
x
g
\'
x
④
(g
x
0)
2
gx
gx
\'\'
3． 利用导数可以证明或判断函数的单调性，注意当
f(x)0
或
f(x)0
，
带上等号.
1
3
1
2
例.已知
a2b0,
且关于
x
的函数
f(x)xaxabx
在R上有
32
极值，则
a
与
b
的夹角的范围为
4．
f
(x
0
)0
是函数f(x)在x
0
处取得极值的必要非充分条件，f(x)在x
0
处取
得极值的充分必要条件是什么？
5．求函数极值的方法：
（1）先找定义域，求导数
f
如皋市第一中学高三数学组
\'
x
；
10
（2）求方程
f
\'
x
=0的根
x
1
,x
2
,
,x
n
找出定义域的分界点；
（3）列表，根据单调性求出极值.
已知
f(x)
在
x
0
处的极值为A，相当于给出了两个条件：①函数在此点导数值
为零，②函数在此点的值为定值.
6． 利用导数求最值的步骤：
（1）求函数在给定区间上的极值；
（2）比较区间端点所对的函数值与极值的大小,确定最大值与最小值.
7．含有参数的函数求最值的方法：
看导数为0的点与定义域之间的关系.
8．利用导数证明不等式
f(x)g(x)
的步骤：
（1）作差
F(x)f(x)g(x)
；
（2）判断函数
F(x)
在定义域上的单调性并求它的最小值；
（3）判断最小值
A0
；
（4）结论：
F(x)A0
，则
f(x)g(x)
.
9．利用导数判断方程的解的情况.
.已知函数
f(x)
在
x1
处的导数为1，则当
x0
时
解析：由定义得当
x0
时，
f(1x)f(1)
趋近于
2x
f(1x)f(1)1f(1x)f(1)1
\'
1
f(1)
2x2x22
易错原因：不会利用导数的定义来解题.
32
例2.函数
f(x)xaxbxc
，其中
a,b,cR
，当
a3b0
时，
f(x)
2
在R上的增减性是
解析：
f(x)3x2axb
，则
4(a3b)0
在R上
f(x)0
，故
是增函数.
易错原因：不善于利用导函数的
\"\"
来判别单调性.
\'22\'
1
3
xf
\'
(1)x
2
x5
，则
f
\'
(1)
=
3
1
32
\'2
解析：设
f(x)xaxx5
，则
f(x)x2ax1
.故
3
例3.若函数
f(x)
f
\'
(1)22a
.由
a22a
知
a2
.有
f
\'
(1)
=-2.
易错原因：不会运用待定系数法解题.
3
例4.
f(x)xx
，则当
x(0,2)
时，
f(x)
的值域为
解析：
f(x)3x1
，令
f(x)0x
\'2
\'
3
，
3
3
3
,2
上单调增，在区间
0,
f(x)
在区间
上单调减，
3
3
如皋市第一中学高三数学组 11
23
,6
.
f(x)
的值域为
9
易错原因：求导之后判别单调区间时概念模糊.
七.概率:
1.古典概型和几何概型的区别.
例如:(1)任意取实数x
[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为
(2)任意取整数x
[1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为
2．有关某个事件概率的求法：把所求的事件转化为等可能事件的概率，转化
为若干个互斥事件中有一个发生的概率，利用对立事件的概率.
（1）若A、B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）；
（2）若A、B对立，则
P(A)1P(A)
.
3.概率题的解题步骤:
(1)记事件
(2)交代总共结果数与A事件中结果数(几何概率即D,d )
(3)计算
(4)作答
例如.1、在等腰直角三角形ABC中，
（1）在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率；
（2）过顶点C在
ACB
内任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求
AMAC
的概率.
2．已知在矩形ABCD中，AB=5，AC=7，在矩形内任取一点P，求
APB90
0
的概率.
八、统计:
1.抽样方法主要有简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体数目较
少时，主要特征是从总体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时，主
要特征是均衡分成若干部分，每部分只取一个；分层抽样，主要特征是分层按
比例抽样，主要使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到
的概率相等。
2.样本估计总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方形的
面积为其频率.总体特征数的估计:
x
x
1
x
2
...x
n
x
1
1
x
2
2
...x
n
n
（
x
i
表示各组的组中值，
i
表
n
2
示各组的频率）
s
2
xx
x
12
x
2
...x
n
x
2
n
ss
2
3.线性回归方程:
如皋市第一中学高三数学组 12
步骤:(1)由散点图初步判定是否线性相关;
(2)列表求值;
(3)代入计算;
(4)交代结论
4.回归分析:
(1)相关系数
r具有如下性质:
r1
,并且
r
越接近于1,线性相关程度越
r
越接
近于0,线性相关程度越
(2)相关性检验步骤
①提出统计假设
H
0
：变量
x,y
不具有相关关系；
②计算出r的值；
③与临界值
r
0.05
比较（
r
0.05
根据95%的要求与n-2查表可得）；
④作出统计推断：如果
rr
0.05
表明
如果
rr
0.05
表明
5.独立性检验
（1）
2
，
2
越大说明X与Y
（2）独立性检验的步骤
①假设
H
0
②计算
③与临界值比较
④作出推断
九、立体几何:
(1) 有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线
线//面
面//面,
线
线
线
面
面
面,垂直常用向量来证.
(2) 已知斜三棱柱的相邻侧面组成的三个二面角中有两个分别为30和70,
那么第三个二面角的大小为 .
解析:作斜三棱柱的直截面,则第三个二面角的大小为80.
易错原因:不知道作直截面.
(2) 常见几个几何体的三视图,你都熟悉吗?
请根据下列几何体的三视图画出该几何体:
①
如皋市第一中学高三数学组 13
0
00
2
②
③
(3) 立体几何中的位置关系,你都搞清楚了吗?
1. 若
lm,ln,m,n
,则
l
( )
2. 若
m//n,n
,
则
m//
( )
3. 若
mn,m
,n
,
则
n//
( )
4. 若
,m
,n
,
则
mn
( )
5. 若
m,n
是异面直线,
m
,n
,m//
,
则
n//
( )
6. 经过直线
a
有且仅有一个平面垂直于直线
b
( )
7. 若
l
,l
,
,
是两个不同平面,则
//
( )
8．过平面
外两点，有且仅有一个平面与
垂直（ ）
9．若
l
上有两点到
距离相等，则
l//
（ ）
10．若
m//
,n//
,m,n
，则
//
（ ）
11．若
m
,n//
,
//
，则
mn
（ ）
12．若
mn,
//
,m//
,
则
n
（4）这些公式，你记住了没有？
1．
s
直棱柱侧
＝ch,s
正棱锥侧
高）
s
正棱台侧
1
ch
,
（
c
：底面周长，
h
：高，
h
,
：斜
2
1
(cc
,
)h
,
（
c
与
c
,
：上下底面周长，
h
,
：斜高）
2
,
2．
s
圆柱侧
2
rl
s
圆锥侧
rl
s
圆台侧
(rr)l
（
r
：底面半径，
l
：母线长）
如皋市第一中学高三数学组 14
3．
V
柱体
sh
V
锥体
4．
V
球
11
sh
V
台体
h(ss
,
33
ss
,
)
4
r
3
S
球
4
r
2
3
十、解析几何
1．设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，你是否注意到直线垂直于x轴
时，斜率k不存在的情况？（例如：一条直线经过点
3,
，且被圆
3
2
x
2
y
2
25
截得的弦长为8，求此弦所在直线的方程.该题就要注意，不要
漏掉x+3=0这一解.）
2．倾斜角的范围： ；两直线夹角的范
围： ；两向量夹角的范围：
（1）若
aR
，则直线
xcos
y10
的倾斜角的取值范围是
解析：
yxcos
1
，设倾斜角为
，则
tan
cos
，
3
,
.
4
4
3
易错原因：①倾斜角理解有误；②误以为倾斜角为
,
.
44
（2）直线
l
过点（-4，-1），横截距是纵截距的两倍，则直线
l
的方程是
yx
1
， 解析：设直线方程为
a2a
14
1
，故
a3
，则直线
l
的方程为
，有
直线
l
过点（-4，-1）
a2a
x2y60
.
1
易错分析：错了！！！遗漏了直线过原点的情况，正确答案是
yx
或
4
x2y60
.
（3）过点P（1，1）作直线
l
，设
l
与两坐标轴围成的三角形的面积为10，这
由
cos
1
知
1tan
1
，故
0,
样的直线有 条.
解析：设直线方程为
y1k(x1)
，则在
x,y
轴上的截距分别为
k1
,1k
k
S
1k1
1k10
，
k
有4解，故有4条.
2k
易错原因：距离与截距概念模糊.
3．直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式．以及
各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线）
4．对不重合的两条直线
l
1
:A
1
xB
1
yC
1
0
，
l
2
:A
2
xB
2
yC
2
0
，
有
A
1
B
2
A
2
B
1
；
l
1
l
2
A
1
A
2
B
1
B
2
0
．
l
1
//l
2
A
1
C
2
A
2
C
1
5．直线在坐标轴上的截距可正，可负，也可为0.
6．直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可设为
xy
1
，但不要忘记当
aa
a=0时，直线y=kx在两条坐标轴上的截距都是0，也是截距相等．
7． 两直线
AxByC
1
0
和
AxByC
2
0
的距离公式d=
8．直线的方向向量还记得吗？直线的方向向量与直线的斜率有何关系？当直
线L的方向向量为
m
=（x
0
，y
0
）时，直线斜率k= ；当直线斜率为k时，
如皋市第一中学高三数学组 15
直线的方向向量
m
=
9．已知两直线分别过（-2，3）和（3，-2），若这两条直线分别绕者这两个点
旋转且保持平行，则这两条直线间的距离的取值范围是
解析：这两条直线间的距离最大为
d52
，则取值范围为
0,52
错误原因：未注意“保持平行”.
10．处理直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方
程与圆的方程联立，判别式. 一般来说，前者更简捷．
11．过直线
yx
上的一点P向圆C：
x
2
y
2
6x70
作切线，则切线长
的最小值为
解析：P点在哪里切线长最小呢？
设
P(x,y)
，切点为A，则在
RtPAC
中，
PCAC
22
PA
2
35
(x3)
2
x
2
22(x)
2
22
10
33
.
当P在点
,
4切线长最小，为
2
22
易错原因：找不到等量关系：
PCAC
22
PA
.
2
12．处理圆与圆的位置关系，可用两圆的圆心距与半径之间的关系.
15．在圆中，注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多
联想到圆的几何性质.
13．在求圆的方程及圆的切线方程时，不妨回忆一下其几何作图方法.尤其是
三角形的外接圆、内切圆的作法，两圆内外公切线的作法.
14．垂径定理的几种形式：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于
弦；③垂直平分弦的直线过圆心.
15．圆的切线的判定：①圆心到直线的距离等于圆的半径；②经过半径外端垂
直于半径的直线；③直线与圆的方程联立
0
.
16．在利用圆锥曲线统一定义解题时，你是否注意到定义中的定比的分子分母
的顺序？两个定义常常结伴而用，有时对我们解题有很大的帮助，有关过焦点
弦问题用第二定义可能更为方便.（焦半径公式：椭圆：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
；双曲线：|PF
1
|=
———— ；
|PF
2
|=
————
（其中F
1
为左焦点F
2
为右
焦点
）；抛物线：|PF|=|x
0
|+
p
）
2
17．在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的
系数是否为零？判别式
0
的限制．（求交点，弦长，中点，斜率，对称，
存在性问题都在
0
下进行）.
18．椭圆中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；准线方程为
————
；焦
点到相应准线距离为
————
双曲线中，a，b，c的关系为
————
；离心率e=
————
；
准线方程为
————
；焦点到相应准线距离为
————
19．通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦.
20．你知道吗？解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化，特别是
一些很不起眼的条件，有时起着关键的作用：如：点在曲线上、相交、共线、
以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、中点、角平分线、中点弦
问题等.圆和椭圆参数方程不要忘，有时在解决问题时很方便.数形结合是解决
解几问题的重要思想方法，要记得画图分析哟！
21．你注意到了吗？求轨迹与求轨迹方程有区别的.求轨迹方程可别忘了寻求
范围呀!
x
2
y
2
1
的一个焦点，M在椭圆上，若
MF
1
2
，N是线（1）
F
1
是椭圆
259
段
MF
1
的中点，则|ON|的长度是（O是原点）
解析：考虑椭圆的定义，利用三角形的中位线，|ON|=4
如皋市第一中学高三数学组 16
易错原因：找不到快速解题的思路，对于三角形的中位线应用不熟练.
（2）已知过椭圆的左焦点F且倾斜角为
60
的直线交椭圆于A、B两点，若
|FA|=2|FB|，则椭圆离心率为
解析：作图，过B作AC的垂线，垂足为E，可知E为AC的中点.
cos60
AE
AB
DB
3BF
2
1
，故
e
.
3
3e
易错原因：应用定义解题不够熟练，构造三角形ABE有困难.
x
2
y
2
（3）若点P是以
F
1
、
F
2
为焦点的椭圆
2
2
1(ab0)
上的一点，且
ab
1
PF
1
PF
2
0,tanPF
1
F
2
，则椭圆离心率为
2
解析：
PF
1
F
2
为直角三角形.
1
PF
2
0
PF
1
又
tanPF
1
F
2
，则
PF
1
2PF
2
，设
PF
1
2x
，则
F
1
F
2
5x
2
故
e
5
.
3
1
未用好.
2
易错原因：①
PF
1
F
2
1
F
2
为直角三角形；②
tanPF
x
2
（4）已知点
F
若P为椭圆上的点，当
PFF
2
为椭圆
y
2
1
的焦点，
1
、
1
F
2
4
的面积为1时，
PF
1
PF
2
的值为
解析：猜想
PF
1
F
2
的面积为1，这种考虑抓住
1
PF
2
0
，然后验证此时
PF
了填空题的特殊性，若设
P(2cos
,sin
)
，由点到直线的距离公式求
PF
1
F
2
的高，同样可以完成解答.
易错原因：找不到解题的捷径.
（5）已知椭圆
xmy1
的焦点在
y
轴上，长轴长是短轴长的两倍，那么
m
的值为
解析：将椭圆方程转化为标准形式，注意焦点在
y
轴，故
m
易错原因：未考虑
22
1
4
1
1
的条件.
m
附加题 ( 二项式定理,概率)
1.分类加法原理（加法原理）
Nm
1
m
2
m
n
.
2.分步计数原理（乘法原理）
Nm
1
m
2
m
n
.
3.排列数公式
如皋市第一中学高三数学组 17
m
=
n(n1)(nm1)
=
A
n！
*
.(
n
，
m
∈N，且
mn
)．注:规
n
(nm)！
定
0!1
.
4.排列恒等式
（1）
A
m
nA
m1
nn1nmmm1
nn1
；（2）
nA
n
A
n1
A
n
；（3）
A
n1
A
n
mA
n
；
(4)
1!22!33!nn!(n1)!1
.
5.组合数公式
m
C
m
n(n1)
(n
n
=
A
n
A
m
=
m1)
=
n！
(
n
∈N
*
，
mN
，且
m
12
m
m！(nm)！
mn
).
6.组合数的两个性质
(1)
C
m
=
C
nm
m
m1m0
n
n
;(2)
C
n
+
C
n
=
C
n1
；注:规定
C
n
1
.
7.组合恒等式
（1）
C
m
n
n
m
C
m1
n
r
n
n1
； （2）
C
n
=
2
； （3）
r0
C
r
C
r
C
rrr1
r
r1r2
C
n
C
n1
；
(4)
C
1
C
350
C
24n1
n
n
C
n
C
nn
C
n
2
8.排列数与组合数的关系：
A
m
m！C
m
nn
.
9.二项式定理
(ab)
n
C
0n
C
1n12n22rnrrnn
n
a
n
abC
n
ab
C
n
ab
C
n
b
;
二项展开式的通项公式
T
rnrr
r1
C
n
ab
(r0，1，2，n)
.
例题：函数
f(x)(
a
x
x)
9
(a为实数并且是常数
)
（1）已知
f(x)
的展开式中
x
3
的系数为
9
4
，求常数
a.
（2）是否存在
a
的值，使
x
在定义域中取任意值时，
f(x)27
恒成立？
如存在，求出
a
的值，如不存在，说明理由.
3r
解析（1）T
r+1
=C
r
9
(
a
x
)
9r
(x)
r
C
9
r
a
9r
x
2
9
由
3r
2
93
解得
r8
C
9
8
a
98
9
4
a
1
4
（2）
f(x)(
a
x
x)
9
x(0,)
要使（
a
x)
9
x
27
1
只需
a
x3
3
x
1
0
当
a0
时，设
g(x)
a
x
x
1
2
g
(x)ax
2
1
2
x
2
0x(2a)
3
如皋市第一中学高三数学组 18
x
g
(x)
g(x)
a
2
(2a)
3
（0，
2
(2a)
3
)
2
(2a)
3
（
(2a)
3
)
，+
）
+
2
—
2
(2a)
3
0
极小值
1
a
3
g(x)
min
3
3
4
1
3
3
a
4
9
2
0
当
a0
时，不成立 3
0
当
a1
时，不成立 故当
a
4
时f(x)27
9
1
aaxxa
a
3
3
只需
3
3
3
3
,即a
4
另解法
g(x)x
xx224
49
10.等可能性事件的概率
P(A)
m
.
n
11.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
12.
n
个互斥事件分别发生的概率的和P(A
1
＋A
2
＋„＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)
＋„＋P(A
n
)．
例题:. 由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：
排队人数
概 率
0
0.1
1
0.16
2
0.3
3
0.3
4
0.1
5人以上
0.04
求：(1)至多有2个人排队的概率；
(2)至少有2人排队的概率．
解析:(1)设没有人排除为事件A，1个人排队为事件B，2个人排队为事件C，
则P(A)=0.1, P(B)=0.16, P(C)=0.3，依题意A、B、C彼此互斥，所以至多2
个人排队的概率为:
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)设至少2个人排队为事件D，则
D
为至多1个人排队，即
D
=A+B，因此
P(D)=1-P(
D
)=1-P(A+B)=1-［P(A)+P(B)］=1-(0.1+0.16)=0.74.
13.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).
14.n个独立事件同时发生的
P(A
1
· A
2
·„· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·„· P(A
n
)．
概率
kknk
15.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
P.
n
(k)C
n
P(1P)
16.离散型随机变量的分布列的两个性质：（1）
P
（2）
,2,)
；
i
0(i1
P
1
P
2
1
.
17.数学期望
E
x
1
P
1
x
2
P
2
x
n
P
n
18.数学期望的性质
（1）
E(a
b)aE(
)b
.（2）若
～
B(n,p)
,则
E
np
.
(3)
若
服从几何分布,且
P(
k)g(k,p)q
22
k1
p
，则
E
2
1
.
p
19.方差
D
x
1
E
p
1
x
2
E
p
2
x
n
E
p
n
例题.设
b
和
c
分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量
表示方
如皋市第一中学高三数学组 19
程
x
2
bxc0
实根的个数（重根按一个计）．
（1）求方程
x
2
bxc0
有实根的概率；
（2）求
的分布列和数学期望；
（3）求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程
x
2
bxc0
有实根
的概率．
解析: （1）基本事件总数为
6636
，
若使方程有实根，则
b
2
4c0
，即
b2c
.
当
c1
时，
b2,3,4,5,6
；当
c2
时，
b3,4,5,6
；当
c3
时，
b4,5,6
；
当
c4
时，
b4,5,6
；当
c5
时，
b5,6
；当
c6
时，
b5,6
,
目标事件个数为
54332219,
2
因此方程
xbxc0
有实根的概率为
(2)由题意知，
0
19
.
36
17
，
,1
，则
P(
0)
36
P(
1)
2117
,P(
2)
，
361836
故
的分布列为
的数学期望
P
0 1 2
17
36
1
18
17
36
E
0
17117
121.
361836
2
(3)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M，“方程
axbxc0
有实
根” 为事件N，则
P(M)
117
，
P(MN)
，
3636
P(NM)
P(MN)7
.
P(M)11
例题：袋中装有3个白球和4个黑球，现从袋中任取3个球，设ξ为所取
出的3个球中白球的个数．
（I）求ξ的概率分布； （II）求Eξ．
解：（I）ξ的可能取值为0，1，2，3.
如皋市第一中学高三数学组 20
3
4
C
4
∵P（ξ＝0）＝
3
＝；
C
7
35
12
C
3
C
4
18
P（ξ＝1）＝＝；
3
35
C
7
30
1
C
3
C
4
P（ξ＝3）＝＝.
3
35
C
7
1
12
C
3
2
C
4
P（ξ＝2）＝＝；
3
35
C
7
∴ξ的分布列为：
ξ
P
0 1 2 3
418121
35353535
4181219
＋1×＋2×＋3×＝.
35353535
7
20.标准差
=
D
.
（II）Eξ＝0×
21.方差的性质
若
～
B(n,p)
，则
D
np(1p)
.
如皋市第一中学高三数学组 21
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