2023年11月13日发(作者：遵义三模文科数学试卷及答案)
本溪十二中2019初三年级数学上册期中试卷
(含答案解析)
本溪十二中2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解
析)
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形
的是（）
A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 正五边形
2．（3分）下列各式：①x2+x3=x5 ；②a3?a2=a6 ；③ ；④ ；
⑤（π﹣1）0=1，其中正确的是（）
A． ④⑤ B． ③④ C． ②③ D． ①④
3．（3分）下列各式与 是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
4．（3分）下列命题是假命题的是（）
A． 四个角相等的四边形是矩形
B． 对角线相等的平行四边形是矩形
C． 对角线垂直的四边形是菱形
D． 对角线垂直的平行四边形是菱形
5．（3分）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其
角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接
EF，则线段EF的长为（）
A． B． 1 C． D． 7
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6．（3分）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，
点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）
A． （2，6） B． （2，﹣6） C． （2，﹣3） D． （2，
0）
7．（3分）希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调
查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是
根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正
确的是（）
A． 被调查的学生有200人
B． 被调查的学生中喜欢教师职业的有40人
C． 被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D． 扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°
8．（3分）如图，四边形ABCD、BEFD 、EGHD均为平行四边
形，其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、
EGHD的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，
下列何者正确？（）
A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． a=b=c
9．（3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分
别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为
60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带指示灯
的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部
分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，
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指示灯发光的概率为（）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，
Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最
小值为（）
A． 1 B． C． 2 D． +1
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，
比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为人．
12．（3分）将直线y= x向上平移个单位后得到直线y= x+7．
13．（3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的
长分别为4和 ，则它的面积为．
14．（3分）关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的
取值范围是．
15．（3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC
上的点，以AE为 折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接
FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．
16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0
有不相等的实数根，则k的取值范围是．
17．（3分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，
周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每
袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却
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比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根
据题意列得方程为．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形
依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，
从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），
阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、
Sn，则Sn的值为．（用含n的代数式表示，n为正整数）
三、计算题（本题满分12分）
19．（12分）（1）解方程：x2+2 x﹣6=0
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x2﹣9=0．
四、解答题（每小题12分，共24分）
20．（12分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实
验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画
树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的
概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数
字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方
案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
21．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）
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x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC
另外两边的边长，求这个三角形的周长．
五、解答题（22题10分，23题12分，共22分）
22．（10分）李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2019
千克蘑菇存放入冷库中，据预测，该品种蘑菇市场价格每天
每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蘑菇每天支付费用合
记340元，且蘑菇在冷库中最多保存120天，同时平均每天
有6千克蘑菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，所得销售
总金额为；
（2）李经理想获得22500元的利润，需将这批蘑菇存放多
少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
23．（12分）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下
出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时
爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，
与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、
爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小
明出发的时间x（分）的函数关系如图．
（1）图中a=，b=；
（2）求小明的爸爸下山所用的时间．
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六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点
F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE
与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）若EB=4，则△BAE的面积为．
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，
∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的
直线交射线AM于点N．
（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与
CN数量关系为；
（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）
中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说
明理由；
（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中
△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；
若不能，说明理由．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，以点A坐标为（6，
0），点B坐标为（0，8），动点P从点A开始沿折线AO﹣OB
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﹣BA运动，点P在AO，OB，BA边上运动的速度分别为每秒
3，4，5个单位，直线l从与OA重合的位置开始，以每秒 个
单位的速度沿OB方向平行移动，即移动过程中保持l∥OA，
且分别与OB，AB边交于E，F两点，同时出发，设运动时间
为t秒，当点P与点F相遇时，点P和直线l同时停止运动．
（1）线段AB所在直线的表达式为；点F横坐标为（用t的
代数式表示）；
（2）设△APE的面积为S（S≠0），请求出点P和直线l运
动过程中S与t的函数关系式；
（3）在点P和直线l运动过程中，作点P关于直线l的对
称点，记为点Q，若形成四边形PEQF是菱形，请直接写出t
的值．
本溪十二中2019初三年级数学上册期中试卷(含答案解析)
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形
的是（）
A． 等腰梯形 B． 平行四边形 C． 正方形 D． 正五边形
考点： 中心对称图形；轴对称图形．
分析： 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果
一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形
叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某
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一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心．
解答： 解：A、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，
故A选项错误；
B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选
项错误；
C、正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项正
确；
D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项
错误．
故选：C．
点评： 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴
对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）下列各式：①x2+x3=x5 ；②a3?a2=a6 ；③ ；④ ；
⑤（π﹣1）0=1，其中正确的是（）
A． ④⑤ B． ③④ C． ②③ D． ①④
考点： 二次根式的性质与化简；合并同类项；同底数幂的
乘法；零指数幂；负整数指数幂．
分析： 利用合并同类项、同底数幂的乘法、二次根式的化
简、负指数幂与零指数幂的性质求解即可求得答案．
解答： 解：①x2+x3≠x5 ，故错误；
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②a3?a2=a5，故错误；
③ =|﹣2|=2，故错误；
④ =3，故正确；
⑤（π﹣1）0=1，故正确．
故正确的是：④⑤．
故选A．
点评： 此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、二次根
式的化简、负指数幂与零指数幂的性质．此题比较简单，解
题的关键是掌握指数的变化．
3．（3分）下列各式与 是同类二次根式的是（）
A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
分析： 利用同类二次根式的性质与定义分别化简二次根式
进而判断得出即可．
解答： 解：A、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项
错误；
B、 =2 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误；
C、 =5 ，故不与 是同类二次根式，故此选项错误；
D、 =2 ，故，与 是同类二次根式，故此选项正确；
故选：D．
点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，正确化简二
次根式是解题关键．
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4．（3分）下列命题是假命题的是（）
A． 四个角相等的四边形是矩形
B． 对角线相等的平行四边形是矩形
C． 对角线垂直的四边形是菱形
D． 对角线垂直的平行四边形是菱形
考点： 命题与定理．
分析： 根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定
方法对C、D进行判断．
解答： 解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故
A选项不符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项
不符合题意；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项
符合题意；
D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项
不符合题意．
故选：C．
点评： 本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；
正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理
论证的真命题称为定理．
5．（3分）如图，△ABC中，AB=4，AC=3，AD、AE分别是其
角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于F，交AB于G，连接
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EF，则线段EF的长为（）
A． B． 1 C． D． 7
考点： 三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．
专题： 几何图形问题；压轴题．
分析： 由等腰三角形的判定方法可知△AGC是等腰三角形，
所以F为GC中点，再由已知条件可得EF为△CBG的中位线，
利用中位线的性质即可求出线段EF的长．
解答： 解：∵AD是其角平分线，CG⊥AD于F，
∴△AGC是等腰三角形，
∴AG=AC=3，GF=CF，
∵AB=4，AC=3，
∴BG=1，
∵AE是中线，
∴BE=CE，
∴EF为△CBG的中位线，
∴EF= BG= ，
故选：A．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形的中
位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第
三边的一半．
6．（3分）将点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，
点P2与点P1关于原点对称，则P2的坐标是（）
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A． （2，6 ） B． （2，﹣6） C． （2，﹣3） D． （2，
0）
考点： 关于原点对称的点的坐标；轴对称图形．
分析： 首先利用平移变化规律得出P1（﹣2，6），进而利用
关于原点对称点的坐标性质得出P2的坐标．
解答： 解：∵点P（﹣2，3）向上平移3个单位得到点P1，
∴P1（﹣2，6），
∵点P2与点P1关于原点对称，
∴P2的坐标是：（2，﹣6）．
故选：B．
点评： 此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的平
移规律，正确把握坐标变化性质是解题关键．
7．（3分）希望中学开展以“我最喜欢的职业”为主题的调
查活动，通过对学生的随机抽样调查得到一组数据，如图是
根据这组数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中，不正
确的是（）
A． 被调查的学生有200人
B． 被调查的学 生中喜欢教师职业的有40人
C． 被调查的学生中喜欢其他职业的占40%
D． 扇形图中，公务员部分所对应的圆心角为72°
考点： 条形统计图；扇形统计图．
分析： 通过对比条形统计图和扇形统计图可知：喜欢的职
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业是公务员的有40人，占样本的20%，所以被调查的学生数
即可求解；各个扇形的圆心角的度数=360°×该部分占总体
的百分比，乘以360度即可得到“公务员”所在扇形的圆心
角的度数，结合扇形图与条形图得出即可．
解答： 解：A．被调查的学生数为 =200（人），故此选项正
确，不符合题意；
B．根据扇形图可知喜欢医生职业的人数为：200×15%=30人，
则被调查的学生中喜欢教师职业的有：200﹣30﹣40﹣20﹣
70=40（人），故此选项正确，不符合题意；
C．被调查的 学生中喜欢其他职业的占： ×100%=35%，故
此选项错误，符合题意．
D．“公务员”所在扇形的圆心角的度数为：（1﹣15%﹣20%
﹣10%﹣ ×100%）×360°=72°，故此选项正确，不符合题
意；
故选：C．
点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运
用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决
问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；
扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部
分占总体的百分比大小．
8．（3分）如图，四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，
其中C、F两点分别在EF、GH上．若四边形ABCD、BEFD、EGHD
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的面积分别为a、b、c，则关于a、b、c的大小关系，下列
何者正确？（）
A． a＞b＞c B． b＞c＞a C． c＞b＞a D． a=b=c
考点： 平行四边形的性质．
分析： 利用平行四边形的性质以及三角形同底等高面积相
等，进而得出答案．
解答： 解：连接EH，
∵四边形ABCD、BEFD、EGHD均为平行四边形，
∴S△BDC=S△BDE，S△DEF=S△DEH，
∴四边形ABCD、BEFD、EGHD的面积分别为a、b、c，
则a=b=c．
故选：D．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质，得出
S△BDC=S△BDE，S△DEF=S△DEH是解题关键．
9．（3分）如图所示，将一个圆盘四等分，并把四个区域分
别标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，只有区域I为感应区域，中心角为
60°的扇形AOB绕点0转动，在其半径OA上装有带指示灯
的感应装置，当扇形AOB与区域I有重叠（原点除外）的部
分时，指示灯会发光，否则不发光，当扇形AOB任意转动时，
指示灯发光的概率为（）
A． B． C． D．
考点： 几何概率．
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专题： 压轴题．
分析： 假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指示
灯开始发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中
扇形转过的角度为90°+60°=150°，据此可计算出指示灯
发光的概率．
解答： 解：如图，∵当扇形AOB落在区域I时，指示灯会
发光；
假设扇形区域逆时针转动，当OB越过OE时，指 示灯开始
发光，当OB越过OC时，指示灯停止发光，此过程中扇形转
过的角度为90°+60°=150°．
∴指示灯发光的概率为： = ．
故选C．
点评： 本题主要考查了几何概率，用到的知识点为：概率=
所求情况数与总情况数之比．得到指示灯发光的区域是解题
的关键，本题难度中等．
10．（3分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，
Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最
小值为（）
A． 1 B． C． 2 D． +1
考点： 轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
专题： 压轴题；探究型．
分析： 先根据四边形ABCD是菱形可知，AD∥BC，由∠A=120°
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可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，
PC， 则P′Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q
与点C重合，CP′⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP′
中利用锐角三角函数的定义求出P′C的长即可．
解答： 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P′，连接P′Q，P′C，则P′Q
的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，
CP′⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP′中，
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴P′Q=CP′=BC?sinB=2× = ．
故选：B．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，
根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关
键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）
11．（3分）数据显示，今年高校毕业生规模达到727万人，
比去年有所增加．数据727万人用科学记数法表示为
7.27×106人．
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考点： 科学记数法—表示较大的数．
专题： 常规题型．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小
数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
解答： 解：将727万即7 270 000用科学记数法表示为：
7.27×106．
故答案为：7.27×106．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表
示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表
示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）将直线y= x向上平移7个单位后得到直线y= x+7．
考点： 一次函数图象与几何变换．
分析： 直接根据“上加下减”的原则进行解答．
解答： 解：由“上加下减”的原则可知，将直线y= x向上
平移7个单位所得直线的解析式为：y= x+7．
故答案为：7．
点评： 本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上
加下减”的原则是解答此题的关键．
13．（3分）一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的
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长分别为4和 ，则它的面积为4 ．
考点： 菱形的判定与性质；勾股定理的逆定理；平行四边
形的性质．
专题： 计算题．
分析： 根据平行四边的性质，可得对角线互相平分，根据
勾股定理的逆定理，可得对角线互相垂直，根据菱形的判定，
可得菱形，根据菱形的面积公式，可得答案．
解答： 解：∵平行四边形两条对角线互相平分，
∴它们的一半分别为2和 ，
∵22+（ ）2=32，
∴两条对角线互相垂直，
∴这个四边形是菱形，
∴S= 4×2 =4 ．
故答案为：4 ．
点评： 本题考查了菱形的判定与性质，利用了对角线互相
垂直的平行四边形是菱形，菱形的面积是对角线乘积的一
半．
14．（3分）关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的
取值范围是﹣3≤a＜﹣2．
考点： 一元一次不等式组的整数解．
专题： 计算题．
分析： 首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，
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根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况
可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
解答： 解：由不等式①得x＞a，
由不等式②得x＜1，
所以不等式组的解集是a＜x＜1，
∵关于x的不等式组 的整数解共有3个，
∴3个整数解为0，﹣1，﹣2，
∴a的取值范围是﹣3≤a＜﹣2．
点评： 考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组
的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大
大小中间找，大大小小解不了．
15．（3分）矩形纸片ABCD中，已知AD=8，AB=6，E是边BC
上的点，以AE为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，连接
FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为3或6．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 分类讨论．
分析： 分两种情况：①当∠EFC=90°时，先判断出点F在
对角线AC上，利用勾股定理列式求出AC，设BE=x，表示出
CE，根据翻折变换的性质可得AF=AB，EF=BE，然后在Rt△CEF
中，利用勾股定理列出方程求解即可；②当∠CEF=90°时，
判断出四边形ABEF是正 方形，根据正方形的四条边都相等
可得BE=AB．
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解答： 解：①当∠EFC=90°时，如图1，
∵∠AFE=∠B=90°，∠EFC=90°，
∴点A、F、C共线，
∵矩形ABCD的边AD=8，
∴BC=AD=8，
在Rt△ABC中，AC= = =10，
设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，
由翻折的性质得，AF=AB=6，EF=BE=x，
∴CF=AC﹣AF=10﹣6=4，
在Rt△CEF中，EF2+CF2=CE2，
即x2+42=（8﹣x）2，
解得x=3，
即BE=3；
②当∠CEF=90°时，如图2，
由翻折的性质得，∠AEB=∠AEF= ×90°=45°，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE=AB=6，
综上所述，BE的长为3或6．
故答案为：3或6．
点评： 本题考查了翻折变化的性质，勾股定理，正方形的
判定与性质，此类题目，利用勾股定理列出方程求解是常用
的方法，本题难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．
第 20 页
16．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0
有不相等的实数根，则k的取值范围是k＞ 且k≠1．
考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．
分析： 根据一元二次方程的定义和△的意义得到k﹣1≠0
且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的
公共部分即可．
解答： 解：根据题意得k﹣1≠0且△=4﹣4（k﹣1）×（﹣
2）＞0，解得k＞ ，
所以k的范围为k＞ 且k≠1．
故答案为k＞ 且k≠1．
点评： 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根
的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数
根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没
有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
17．（3分）小明上周三在超市恰好用10元钱买了几袋牛奶，
周日再去买时，恰遇超市搞优惠酬宾活动，同样的牛奶，每
袋比周三便宜0.5元，结果小明只比上次多用了2元钱，却
比上次多买了2袋牛奶．若设他上周三买了x袋牛奶，则根
据题意列得方程为（x+2）（ ﹣0.5）=12．
考点： 由实际问题抽象出分式方程．
分析： 关键描述语为：“每袋比周三便宜0.5元”；等量
关系为：周日买的奶粉的单价×周日买的奶粉的总数=总钱
第 21 页
数．
解答： 解：设他上周三买了x袋牛奶，则根据题意列得方
程为：
（x+2）（ ﹣0.5）=12．
故答案为：（x+2）（ ﹣0.5）=12．
点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，列方
程解应用题的关键步骤在于找相等关系．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形
依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，
从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），
阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、
Sn，则Sn的值为24n﹣5．（用含n的代数式表示，n为正整
数）
考点： 正方形的性质；一次函数图象上点 的坐标特征．
专题： 压轴题；规律型．
分析： 根据直线解析式判断出直线与x轴的夹角为45°，
从而得到直线与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角
形，再根据点A的坐标求出正方形的边长并得到变化规律表
示出第n个正方形的边长，然后根据阴影部分的面积等于一
个等腰直角三角形的面积加上梯形的面积再减去一个直角
三角形的面积列式求解并根据结果的规律解答即可．
解答： 解：∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
第 22 页
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
第n个正方形的边长为2n﹣1，
由图可知，S1= ×1×1+ ×（1+2）×2﹣ ×（1+2）×2= ，
S2= ×4×4+ ×（4+8）×8﹣ ×（4+8）×8=8，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长
为22n﹣2，
Sn= ?22n﹣2?22n﹣2=24n﹣5．
故答案为：24n﹣5．
点评： 本题考查了正方形的性质，三角形的面积，一次函
数图象上点的坐标特征，依次求出各正方形的边长是解题的
关键，难点在于求出阴影Sn所在的正方形和正方形的边长．
三、计算题（本题满分12分）
19．（1 2分）（1）解方程：x2+2 x﹣6=0
（2）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x2﹣9=0．
考点： 分式的化简求值；解一元二次方程-公式法．
分析： （1）根据公式法求出x的值即可；
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（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x
的值代入进行计算即可．
解答： 解：（1）∵△=（2 ）2﹣4×1×（﹣6）=4 ，
∴x= ，即x1=﹣3 ，x2= ；
（2）原式= ﹣ ÷
∵x2﹣9=0，
∴x=3或x=﹣3，
当x=﹣3时原式无意义，
∴当x=3时，原式= =0．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算
的法则是解答此题的关键．
四、解答题（每小题12分，共24分）
20．（12分）在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实
验先搅拌均匀．
（1）若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？
（2）若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画
树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的
概率．
（3）若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数
字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方
案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
第 24 页
考点： 游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．
分析： （1）由不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，
4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，利用概率公式
即可求得答案；
（2）首先画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结
果与两个球上的数字之和为偶数的情况，利用概率公式即可
求得答案；
（3）分别求得甲胜与乙胜的概率，比较概率，即可得出结
论．
解答： 解：（1）∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，
3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为： = ；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两个球上的数字之和为偶数的
有（1，3），（2，4），（3，1），（4，2）共4种情况，
∴两个球上的数字之和为偶数的概率为： = ；
（3）∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有（1，2），（2，
3），（2，1），（3，2），（3，4），（4，3）共6种情况，
∴P（甲胜）= ，P（乙胜）= ，
∴P（甲胜）=P（乙胜），
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性
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就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21．（12分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）
x+m2+5=0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC
另外两边的边长，求这个三角形的周长．
考点： 根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的
性质．
专题： 代数几何综合题．
分析： （1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5
﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；
（2）分7为底边和7为腰两种情况分类讨论即可确定等腰
三角形的周长．
解答： 解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2
（m+1）x+m2+5=0的两实数根，
∴x1+x2=2（m+1），x1?x2=m2+5，
∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1?x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）
+1=28，
解得：m=﹣4或m=6；
当m=﹣4时原方程无解，
∴m=6；
（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有
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两个相等的实数根，
∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，
解得：m=2，
∴方程变为x2﹣6x+9=0，
解得：x1=x2=3，
∵3+3＜7，
∴不能构成三角形；
②当7为腰时，设x1=7，
代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，
解得：m=10或4，
当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，
解得：x=7或15
∵7+7＜15，不能组成三角形；
当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，
解得：x=3或7，
此时三角形的周长为7+7+3=17．
点评： 本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，
解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．
五、解答题（22题10分，23题12分，共22分）
22．（10分）李经理按市场价格10元/千克在我市收购了2019
千克蘑菇存放入冷库中，据预测，该品种蘑菇市场价格每天
每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批蘑菇每天支付费用合
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记340元，且蘑菇在冷库中最多保存120天，同时平均每天
有6千克蘑菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，所得销售
总金额为﹣3x2+940x+20190；
（2）李经理想获得22500元的利润，需将这批蘑菇存放多
少天后出售？（利润=销售总金额﹣收购成本﹣各种费用）
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 销售问题．
分析： （1）根据等量关系：销售金额=x天后能售出的香菇
质量×售价，然后列式整理即可得解；
（2）根据利润=销售金额﹣成本，列出方程，然后解关于x
的一元二次方程即可解得．
解答： 解：（1）存放x天后，将这一批蘑菇一次性出售，
所得销售总金额为=×（10+0.5x）=﹣3x2+940x+20190
（1≤x≤110，且x为整数）；
（2）获得利润22500元时，﹣3x2+940x+20190﹣340x﹣
2019×10=22500，
整理得，x2﹣200x+7500=0，
解得x1=50，x2=150，
∵香菇在冷库中最多保存120天，
∴x=50天．
答：李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放50天
第 28 页
后出售．
点评： 本题考查的是一元二次方程在实际生活中的应用，
找出销售金额的等量关系是解题的关键．
23．（12分）小明和爸爸进行登山锻炼，两人同时从山脚下
出发，沿相同路线匀速上山，小明用8分钟登上山顶，此时
爸爸距出发地280米．小明登上山顶立即按原路匀速下山，
与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发地．小明、
爸爸在锻炼过程中离出发地的路程y1（米）、y2（米）与小
明出发的时间x（分）的函数关系如图．
（1）图中a=8，b=280；
（2）求小明的爸爸下山所用的时间．
考点： 一次函数的应用．
专题： 数形结合．
分析： （1）根据图象可判断出小明到达山顶的时间，爸爸
距离山脚下的路程．
（2）由图象可以得出爸爸上山的速度和小明下山的速度，
再求出小明从下山到与爸爸相遇用的时间，再求出爸爸上山
的路程，小与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出
发地．利用爸爸行的路程除以小明的速度就是所求的结果．
解答： 解：（1）由题可知图中a=8，b=280，
故答案为：8，280．
（2）由图象可以得出爸爸上山的速度是：280÷8=35米/分，
第 29 页
小明下山的速度是：400÷（24﹣8）=25米/分，
∴小明从下山到与爸爸相遇用的时间是：（400﹣280）÷
（35+25）=2分，
∴2分爸爸 行的路程：35×2=70米，
∵小明与爸爸相遇后，和爸爸一起以原下山速度返回出发
地．
∴小明和爸爸下山所用的时间：（280+70）÷25=14分．
点评： 本题考查函数的图象的知识，有一定的难度，解答
此类题目的关键计算出小明下山的速度及爸爸上山的路程．
六、解答题（本题满分12分）
24．（12分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点
F在边BC的延长线上，连接EF与边CD相交于点G，连接BE
与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．
（1）求证：EF∥AC；
（2）求∠BEF大小；
（3）若EB=4，则△BAE的面积为2．
考点： 正方形的性质．
分析： （1）利用平行四边形的判定及其性质定理即可解决
问题；
（2）作辅助线构造出一对全等三角形，利用等边三角形的
判定及其性质即可解决问题；
（3）借助旋转变换将△BCG与△BAE拼接到一起，通过作辅
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助线求出△BHE的高，问题即可解决．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AE∥CF，
又∵AE=CF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
故EF∥AC．
（2）连接BG
∵四边形ABCD是正方形，且EF∥AC，
∴∠DEG=∠DAC=45°，∠DGE=∠DCA=45°；
故∠CFG=∠DEG=45°，∠CGF=∠DGE=45°，
∴∠CGF=∠CFG，CG=CF；
∵AE=CF，
∴AE=CG；
在△ABE与△CBG中，
∴△ABE≌CBG（SAS），
∴BE=BG；
又∵BE=EG，
∴BE=BG=EG，△BEG是等边三角形，
故 ∠BEF=60°．
（3）延长EA到M，使AH=CG ；过点M作MK⊥BE于点K；
∵△BEG是等边三角形，
∴∠EBG=60°，
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∴∠ABE+∠CBG=90°﹣60°=30°；
在△ABM与△BCG中，
∴△ABM≌△BCG（SAS），
∴BM=BC=4，∠ABM=∠CBG；
故∠ABM+∠ABE=∠ABE+∠CBG=30°，
∴MK= ，
∴△BME的面积= ，△BAE的面积═ ．
点评： 考查了正方形的性质、全等三角形的判定及其应用
问题；解题的关键是通过作辅助线构造出全等三角形，结合
等边三角形的判定及其性质来解决问题；对综合运用能力及
探究思维能力提出了较高的要求．
七、解答题（本题满分12分）
25．（12分）如图，已知△BAD≌△BCE，∠BAD=∠BCE=90°，
∠ABD=∠BEC=30°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的
直线交射线AM于点N．
（1）如图1，当A，B，E三点在同一直线上时，判断AC与
CN数量关系为AC=CN；
（2）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转到图2位置时，（1）
中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说
明理由；
（3）将图1中△BCE绕点B逆时针旋转一周，旋转过程中
△CAN能否为等腰直角三角形？若能，直接写出旋转角度；
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若不能，说明理由．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）首先证明△MEN≌△MDA，得BC=EN；然后证明
△ABC≌△CEN，得到AC=CN；
（2）与（1）同理可证明结论仍然成立；
（3）当旋转角为60°时，△CAN能成为等腰直 角三角形，
此时点A、B、C在一条直线上，点N、E、C在一条直线上．
解答： 解：（1）AC与CN数量关系为：AC=CN．理由如下：
∵△BAD≌△BCE，
∴BC=AD，EC=AB．
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA．
在△MEN与△MDA中，
∴△MEN≌△MDA（ASA），
∴EN=AD，
∴EN=BC．
在△ABC与△CEN中，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN．
（2）结论仍然成立．理由如下：
与（1）同理，可证明△MEN≌△MDA，∴EN=BC．
设旋转角为α，则∠ABC=120°+α，
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∠DBE=360°﹣∠DBA﹣∠ABC﹣∠CBE=360°﹣30°﹣
（120°+α）﹣60°=150°﹣α．
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE= （180°﹣∠DBE）=15°+ α．
∵EN∥AD，
∴∠MEN=∠MDA=∠ADB+∠BDE=60°+（15°+ α）=75°+ α．
∴∠CEN=∠CEB+∠BED+∠MEN=30°+（15°+ α）+（75°+ α）
=120°+α，
∴∠ABC=∠CEN．
在△ABC与△CEN中，
∴△ABC≌△CEN（SAS），
∴AC=CN．
（3）△CAN能成为等腰直角三角形，此时旋转角为60°．如
下图所示：
此时旋转角为60°或240°，点A、B、C在一条直线上，点
N、E、C在一条直线上．
点评： 本题考查了图形的旋转变换．解题要点是由旋转性
质得出旋转过程中不变的量，再利用全等三角形证明题设中
的结论．
八、解答题（本题满分14分）
26．（14分）如图，在平面直角坐标系中，以点A坐标为（6，
0），点B坐标为（0，8），动点P从点A开始沿折线AO﹣OB
第 34 页
﹣BA运动，点P在AO，OB，BA边上运动的速度分别为每秒
3，4，5个单位，直线l从与OA重合的位置开始，以每秒 个
单位的速度沿OB方向平行移动，即移动过程中保持l∥OA，
且分别与OB，AB边交于E，F两点，同时出发，设运动时间
为t秒，当点P与点F相遇时，点P和直线l同时停止运动．
（1）线段AB所在直线的表达式为y=﹣ x+8；点F横坐标为
6﹣t（用t的代数式表示）；
（2）设△APE的面积为S（S≠0），请求出点P和直线l运
动过程中S与t的函数关系式；
（3）在点P和直线l运动过程中，作点P关于直线l的对
称点，记为点Q，若形成四边形PEQF是菱形，请直接写出t
的值．
考点： 一次函数综合题．
分析： （1）根据待定系数法求一次函数，F与E的纵坐标
相同，即可求得F的横坐标；
（2）此题要掌握点P的运动路线，要掌握点P在不同阶段
的运动速度，即可求得；
（3）此题需要分三种情况分析：点P在线段OA上，在线段
OB上，在线段AB上；根据菱形的判定可知：在线段EF的垂
直平分线上与x轴的交点，可求的一个；当点P在线段OB
上时，形成的是三角形，不存在菱形；当点P在线段BA上
时，根据对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形求得．
第 35 页
解答： 解：（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，根据题意得： ，
解得： ，
则直线AB的解析式是：y=﹣ x+8．
在解析式中，令y= t，则﹣ x+8= t，
解得：x=6﹣t；
（2）当0＜t≤2时（如图1），P在OA上，OA=3t，E的坐标
是（0， t），则S= ×3t? t=2t2；
当 t=4（t﹣2），解得：t=3，
则2＜t＜3时，P和E都在OB上，且P在E的下边，则PE=
t﹣4（t﹣2）=8﹣ t，
则S= （8﹣ t）×6=24﹣8t；
当3＜t＜4时，P和E都在OB上，且P在E的上边，且PE=4
（t﹣2）﹣ t= t﹣8，
则S= （ t﹣8）×6=8t﹣24；
当t＞4时，当P在BA上时（如图2），则BP=5（t﹣4），作
PM⊥y轴于点M．
则△BPM∽△BAO，
即 = = ，
解得：PM=3t﹣12，BM=4t﹣16．
当 t=8﹣（4t﹣16）时，t= ，即当t= 时，P和F重合，点
P和直线l同时停止运动．
当4≤t≤ 时，S△AOE= OE?OA= × t×6=4t，S△BEP= ×（8
第 36 页
﹣ t）×（3t﹣12）=﹣2t2+20t﹣48，S△OAB= ×6×8=24，
则S=24﹣4t﹣（﹣2t2+20t﹣48）=2t2﹣24t+72；
（3）当P在OA上时，当P在EF的中垂线上时，能构成菱
形，此时OP= EF，即6﹣3t= （6﹣t），解得：t= ；
当P在P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当P在AB上时（如图2），PM= EF时，即3t﹣12= （6﹣t），
解得：t= ．
点评： 此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，还考
查了菱形的性质与判定以及相似三角形的判定与性质，解题
的关键要注意数形结合思想的应用，还要注意答案的不唯一
性．
第 37 页
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