2023年11月13日发(作者：东湖中学初中数学试卷)
新)人教版九年级数学上册第一次月考试
卷含答案
九年级（上）第一次月考数学试卷(解析版)
一、选择题：
1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的有（）
A。x(2x-1)=2x^2 B。-2x=1 C。ax^2+bx+c=0 D。x^2=0
2.方程x^2=x的解是（）
A。x=1 B。x=0 C。x1=-1，x2=0 D。x1=1，x2=0
3.用配方法解方程x^2-2x-5=0时，原方程应变形为（）
A。(x+1)^2=6 B。(x-1)^2=6 C。(x+2)^2=9 D。(x-2)^2=9
4.设a，b是方程x^2+x-2015=0的两个实数根，则
a^2+2a+b的值为（）
A。2012 B。2013 C。2014 D。2015
5.为了庆祝教师节，市教育工会组织篮球比赛，赛制为单
循环比赛（即每两个队比赛一场）共进行了45场比赛，则这
次参加比赛的球队个数为（）
A。8 B。9 C。10 D。11
6.等腰三角形两边长为方程x^2-7x+10=0的两根，则它的
周长为（）
A。12 B。12或9 C。9 D。7
7.某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总
营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则由题意列
方程应为（）
A。200(1+x)^2=1000 B。200+200×2x=1000 C。
200+200×3x=1000 D。200[1+(1+x)+(1+x)^2]=1000
8.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金
色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的
面积是5400cm^2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方
程是（）
A。x^2+130x-1400=0 B。x^2+65x-350=0 C。x^2-130x-
1400=0 D。x^2-65x-350=0
9.已知a，b是方程x^2-6x+4=0的两实数根，且a≠b，则
a+b的值是（）
A。7 B。-7 C。11 D。-11
10.方程(m-2)x^2+x-3=0有两个实数根，则m的取值范围
是（）
A。m>2 B。m≤且m≠2 C。m≥3 D。m≤3且m≠2
二、填空题：
11.把方程（2x+1）(x-2)=5-3x整理成一般形式后，得x^2-
7x+13=0.
12.如果最简二次根式√(ax+b)与√(cx+d)能合并，那么a=c
且b=d。
13.若方程x^2-3x-3=0的两根为x1，x2，则x1^2+3x2=12.
14.某种品牌的手机经过八、九月份连续两次降价，每部
售价降低了19%，则平均每月降价的百分率是5.65%。
15.解一元二次方程x2+2x-2m+1=0，得到两个实数根为
x1和x2.根据题意，x1*x20，则有x1+x2>0，即-2<0，与前面
的结果矛盾。因此，该方程无解。
16.从图中可以看出，在12分钟时，水量达到了最高点，
为8升。因为进水管关闭后，内的水只能通过出水管流出，所
以在12分钟后内的水量会逐渐减少。设关停进水管后t分钟
内的水量为y，则有y=8-(t/3)。当y=0时，解得t=24.因此，内
的水恰好放完需要24分钟。
17.将2n2-mn+2m+2015分解因式，得到2n2-
mn+2m+2015=(2n+m+2015)(n-m+1)。因为m2-m=3，所以m2-
m+1=4，即(m-1/2)2=15/4.因此，m有两个取值：m=1/2+√15/2
或m=1/2-√15/2.当m=1/2+√15/2时，代数式的值为
(2n+√15+2015)(n-√15/2+1)；当m=1/2-√15/2时，代数式的值为
(2n-√15+2015)(n+√15/2+1)。
18.根据___定理，a和b的和为2015，a和b的积为1.因
此，b=1/a，代入a2-2014a+b中，得到a2-2014a+1/a。因为a
是方程x2-2015x+1=0的一个根，所以有a2=2015a-1，代入上
式，得到a2-2014a+1/a=2015a-1-2014a+1/a=1/a2.因此，代数式
的值为1.
19.化简4sin2x/(1+cos2x)。根据三角函数的基本公式，有
cos2x=1-2sin2x，代入原式，得到4sin2x/(1+cos2x)=4sin2x/(2-
sin2x)=2(2sin2x)/(2-sin2x)=4/(1+csc2x)。因此，原式化简为
4/(1+csc2x)。
20.(1) 将x2-3x-1=0移项，得到x2=3x+1.将右边的3x+1代
入左边的x2，得到x4=9x2+6x+1.移项，化简得到x4-9x2-6x-
1=0.因此，原方程的解为上式的根之一。
2) 将x2-2x-3=0移项，得到x2=2x+3.将右边的2x+3代入
左边的x2，得到x4=4x2+12x+9.移项，化简得到x4-4x2-12x-
9=0.因此，原方程的解为上式的根之一。
21.因为x=-1是方程的一个实数根，所以将x=-1代入方程，
得到(-1)2+(-1)+m2-2m=0，化简得到m2-2m=0，即m(m-2)=0.
因此，m=0或m=2.当m=0时，方程化为x2+x=0，解得x=0
或x=-1；当m=2时，方程化为x2+x-2=0，解得x=1或x=-2.
因此，方程的实数根为-2、-1、0、1，其中-1已知。
22.将第一个方程的第一项乘以2，得到2x+2y=6；将第二
个方程的第一项乘以3，得到3x+6y=15.将第一个方程乘以3，
得到6x+6y=18.因此，第一个方程的两倍等于第二个方程，所
以它们是同一条直线的不同表达式。因此，该方程组无解。
23.设小路的宽为x，则种植面积为(40-2x)(32-2x)。根据题
意，有(40-2x)(32-2x)=1140，化简得到x2-36x+245=0.解得x=5
或x=31.因为小路的宽必须小于矩形的长和宽，所以小路的宽
为5米。
24.(1) 根据韦达定理，方程的两个实数根之和为2m+3，
积为m2+2.因为方程有实数根，所以有m2+2>=0，即m>=-√2
或m0且m2+2>0时，方程有两个实数根；当2m+3=-3/2.
2) 根据题意，有x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，以及
x1x2=(x1+x2)2-2x1x2=31+|x1x2|。代入x1x2=m2+2，化简得到
x1+x2=31/(m2+2)+m2+2.因为方程有实数根，所以有m2+2>0，
即m不等于±√2.将x1+x2和x1x2代入上式，得到
31/(x1+x2)+x1+x2=31/(m2+2)+m2+5.将x1+x2和x1x2代入
x1x2=(x1+x2)2-2x1x2，化简得到x1+x2=1±√(2m+1)。代入上
式，得到31/(1±√(2m+1))+1±√(2m+1)=31/(m2+2)+m2+5.解得
m=±√6.
25.(1) 设降价x元后每天的销售量为y斤，则有
y=100+20(2.0-x)/0.1=300-200x。因此，每斤的售价降低x元后，
每天的销售量为300-200x斤。
2) 设每斤的售价降低y元后，每天的销售量为z斤，则有
z=100+20(2.0-y)/0.1=300-200y。因为每天的盈利为销售额减去
进货成本，所以有300y=2x(100+y)-2x(100-260)，化简得到
y=0.4x+40.因此，每斤的售价需要降低0.4元才能保证每天盈
利300元。
26.(1) 因为EF是正方形ABCD的中线，所以EF平分AB
和BC，即EF垂直于AD，CE，DF。因为CE和DF交于点
M，所以M在EF上。因此，DF与CE相交于EF上的点M。
2) 因为EF是正方形ABCD的中线，所以EF等于AB和
BC的一半，即EF=20.因为CE和DF平分AB和BC，所以
CE和DF的长度都为20√2.因为CE和DA的延长线相交于点
G，所以AG=CE=20√2.因为MA和DG平分AB和BC，所以
MA=BG/2=20/√2，DG=BC/2=20.因为MA和DG都是直角三
角形的斜边，所以MA MA 分析】题目中已知一月份的营业额为200万元，第一季度 的总营业额为1000万元，因此第二、三月份的总营业额为 1000-200=800万元。设第二月的营业额为200(1+x)万元，则 第三月的营业额为200(1+x)×(1+x)=200(1+x)2万元。因此，由 题意可得200+200(1+x)+200(1+x)2=1000，即200(1+x)2=800， 化简可得200(1+x)2=1000，即选A． 解答】解：设平均每月增长率为x，则第二月的营业额为 200(1+x)万元，第三月的营业额为200(1+x)×(1+x)=200(1+x)2 万元，由题意可得： 200+200(1+x)+200(1+x)2=1000 化___： 200(1+x)2=800 两边同除以200，得： 1+x)2=4 开方得： 1+x=±2 x=1或x=-3 因为增长率不能为负数，所以得x=1，代入选项可知选A． 点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的能力， 需要将题目中的信息转化为方程，然后解方程得到答案。在计 算过程中需要注意细节，如第二、三月份的总营业额为800万 元等。 分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，当判别式 大于等于0时，方程有两个实数根，代入判别式中求解即可得 到m的取值范围． 解答】解：由题意得：（m﹣2）x2﹣ x+=0。 判别式为：（﹣）2﹣4（m﹣2）×0≥0。 即4m﹣8≥0。 m≥2。 故选：A． 点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式的应 用，需要熟记根的判别式的公式和含义，才能正确解答此类题 目． 某品牌手机连续两次降价，每次降价19%，求平均每月 降价率为多少。 解：设平均每月降价率为x，手机原价为1.根据手机现在 的价格为等量关系建立方程，得（1-x）^2 = (1-19%)。解得 x1=1.9（不符合题意，舍去），x2=0.1.因此，平均每月降价率 为10%。 解析：本题考查了增长率问题在实际问题中的运用，一元 二次方程的解法的运用，解答时根据手机降价后的价格为等量 关系建立方程是关键。 给出一元二次方程x^2+2x-2m+1=0，已知两实数根之积 为负，求实数m的取值范围。 解：设x1、x2为方程的两个实数根，由方程有实数根以 及两根之积为负可得出关于m的一元一次不等式组，解不等 式组即可得出结论。设Δ=4+8m-4，由Δ>0得8m>0，即m>0. 解析：本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一 元一次不等式，解题的关键是得出关于m的一元一次不等式 组。本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根 的情况结合根的判别式以及根与系数的关系得出关于m的一 元一次不等式组是关键。 一个装有进水管和出水管，先打开进水管进水，再打开出 水管放水，求关停进水管后，出水经过的时间。 解：根据函数图象求出进水管的速度为20/4=5（升/分）， 根据函数图象求出出水管的速度为5-(30-20)/(12-4)=3.75（升/ 分），因此，关停进水管后，出水经过的时间为30/3.75=8分 钟。 解析：本题考查了函数的图象，一次函数的应用。根据函 数图象求出进水管和出水管的速度，再求出出水经过的时间是 关键。 时，$2x^2-2=0$，其中$x=-1$。 a-1+frac{1}{a-1}=2015-1=2014$。 点评】本题主要考查了分式的化简求值这一知识点，要求 把式子化到最简，然后代值。 20.选择适当的方法解下列方程： 1）$x^2-3x-1=0$； 2）$x^2-2x-3=0$。 考点】解一元二次方程-因式分解法。 分析】（1）公式法求解可得； 2）因式分解法求解即可得。 解答】解：（1）$because a=1，b=-3，c=-1$。 because Delta=b^2-4ac=9+4=13>0$。 ___{-bpmsqrt{Delta}}{2a}=frac{3pmsqrt{13}}{2}$； 2）分解因式得：$(x-3)(x+1)=0$。 可得$x-3=0$或$x+1=0$。 解得：$x_1=3，x_2=-1$。 点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的 方程选择合适的方法是解题的关键。 21.已知关于$x$的一元二次方程$x^2+x+m^2-2m=0$有一 个实数根为$-1$，求$m$的值及方程的另一实根。 考点】一元二次方程的解；根与系数的关系。 分析】把$x=-1$代入已知方程列出关于$m$的新方程，通 过解该方程来求$m$的值；然后结合根与系数的关系来求方程 的另一根。 解答】解：设方程的另一根为$x_2$，则$-1+x_2=-1$，解 得$x_2=0$。 把$x=-1$代入$x^2+x+m^2-2m=0$，得$m(m-2)=0$，即 $m_1=0，m_2=2$。 综上所述，$m$的值是$0$或$2$，方程的另一实根是$0$。 点评】本题主要考查了一元二次方程的解。一元二次方程 的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的 未知数的值。即用这个数代替未知数所得式子仍然成立。 22.解方程组： begin{cases} x^2+y^2=20 x-2)^2+(y+3)^2=13 end{cases} 考点】高次方程。 分析】根据解方程组的方法可以解答此方程。 解答】解：由第一个方程得$x^2=20-y^2$，代入第二个方 程得： 20-y^2-4x+4)+(y+3)^2=13$$ 化简得$2y^2+4x-21=0$，即$y^2+2x-frac{21}{2}=0$。 代入$x^2=20-y^2$，得$x^2+2x-frac{41}{2}=0$。 解得$x=-1pmsqrt{frac{49}{2}}$， $y=pmsqrt{frac{9}{2}}$。 故原方程组的解是$(- 1+sqrt{frac{49}{2}},sqrt{frac{9}{2}})$，$(-1- sqrt{frac{49}{2}},-sqrt{frac{9}{2}})$。 点评】本题考查解高次方程，解题的关键是明确解方程组 的方法。 23.如图，某农场有一块长$40m$，宽$32m$的矩形种植地， 为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽 的小路，要使种植面积为$1140m^2$，求小路的宽。 考点】一元二次方程的应用。 分析】本题可设小路的宽为$x$，将4块种植地平移为一 个长方形，长为$(40-x)m$，宽为$(32-x)m$。根据长方形面积 公式即可求出小路的宽。 解答】解：设小路的宽为$x$，则种植面积为$(40-x)(32- x)$。 因为种植面积为$1140m^2$，所以$(40-x)(32-x)=1140$。 化简得$x^2-72x+1040=0$，解得$x=10$或$x=62$。 故小路的宽为$10m$。 点评】本题考查一元二次方程的应用，需要将问题转化为 方程，再通过解方程来得到答案。 解答】解：（1）根据题意得到方程： 100+200x≥260，解得x≥0.8； 又因为每降低0.1元，每天可多售出20斤。 每降低1元，每天可多售出200斤。 即每降低x元，每天可多售出200x斤。 每天的销售量为100+200x斤． 2）设每斤的售价降低了y元，则每天的销售额为400（2 ﹣y）（100+200y）元。 因为每天盈利300元，所以有400（2﹣y）（100+200y） ﹣=300。 化简得y2﹣2y﹣23=0。 解得y=﹣3，y=5（舍去）。 每斤的售价需降低3元． 点评】本题考查了一元二次方程的应用，要注意理解题意， 理清思路，设定变量，列方程，解方程，最后得到正确答案． AE的长度，以及平行四边形的性质。需要注意的是，在 文章中有一些符号和单位的错误，需要进行修改。同时，需要 将第一段中的一些无关信息删除，只保留与题目相关的内容。 在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60 cm，∠A=60°。点D 从点C出发沿CA方向以4 cm/秒的速度向点A匀速运动，同 时点E从点A出发沿AB方向以2 cm/秒的速度向点B匀速运 动。当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动。设 点D、E运动的时间是t秒（＜t≤15）。过点D作DF⊥BC于 点F，连接DE，EF。 1）求证：AE=DF； 2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t值，如果不能，说明理由； 3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由。 考点】相似形综合题。 分析】（1）利用t表示出CD以及AE的长度，然后在直 角△CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长度，即可证 明； 2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四 边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值； 3）分两种情况讨论即可求解。 解答】（1）证明：∵直角△ABC中，∠C=90°-∠A=30°。 CD=4t，AE=2t。 又∵在直角△CDF中，∠C=30°。 DF=CD=2t。 DF=AE。 2）∵DF∥AB，DF=AE。 四边形AEFD是平行四边形。 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形。 即___。 解得：t=10。 即当t=10时，四边形AEFD是菱形。 3）当t=8时，△DEF是直角三角形（∠EDF=90°）； 当t=12时，△DEF是直角三角形（∠DEF=90°）。 理由如下： 当∠EDF=90°时，DE∥BC。 ADE=∠C=30°。 AD=2AE。 CD=4t。 DF=2t=AE。 AD=4t。 4t+4t=60。 t=8时，∠___°。 当∠DEF=90°时，DE⊥AD。 ADE是直角三角形，∠ADE=90°。 A=60°。 DEA=30°。 AD=AE。 AD=AC-CD=60-4t，AE=DF=CD=2t。 ___。 解得t=12. 综上所述，当t=8时，△DEF是直角三角形 ∠EDF=90°）。 （
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