2024年4月15日发(作者：初中摸底考试试卷数学试卷)
2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）
高一年级试题及参考解答
2020年6月 27日
8:30～10:30
一、填空题（满分40分，每小题8分）
2
1．已知实函数f(x)满足f
(x+y)=f
(x)+f
(y)+4xy，且f
(−1)·f
(1)≥4．则
9f()
______．
3
解：令x=y=0得f(0)=0，令x=−1，y=1，得f (1)+f (−1)=4．
平方得f
2
(1)+2f
(1)·f
(−1)+f
2
(−1)=16，又因为f
(−1)·f
(1)≥4，
所以f
2
(1)+2f
(1)·f
(−1)+f
2
(−1)≤4f
(1)·f
(−1)．即(f
(1)−f
(−1))
2
≤0．
所以f (1)=f (−1)=2．
2
1212
1
因为
f(1)f
()
f()f()4()()
3
3333
3
1118
)4()()
，
3339
1412
所以
3f()2.
因此
f().
3339
=3f(
2
2148
所以
f()2f().
于是
9f()
8．
3
3399
2．等腰梯形ABCD（AB=CD）的内切圆与腰CD的切点为M，与AM、BM的
交点分别为K和L．则
AMBM
的值等于______．
AKBL
解：设N是边AD的中点，a=AN，x=AK，y=AM，α=∠ADM，（如图）．则ND=DM=a，
且根据余弦定理，对于△ADM，有
B
L
M
x
A
K
a
y
α
N
D
C
y
2
=4a
2
+a
2
−4a
2
cosα=a
2
(5−4cosα)．
另一方面，根据切割线定理，有xy=a
2
，所以
AMyy
2
=5−4cosα．
AKxxy
类似地对于△BCM，得到
BM
54cos
.
BL
因此，
AMBM
10.
AKBL
2020年北京市中学生数学竞赛（邀请）高一年级试题及参考解答 共5页 第1页
3．四位数
abcd
比它的各位数字的平方和大2020，在所有这样的四位数中最大
的一个是______．
解: 设
abcd
为所求的自然数，则根据条件
1000a+100b+10c+d=a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+2020．
考虑到 2000＜a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+2020≤9
2
+9
2
+9
2
+9
2
+2020=2344，
可以断定a =2，于是100b+10c+d=b
2
+c
2
+d
2
+24．
即 b(100−b)+c(10−c)=d(d−1)+24 (*)
由于c(10−c)＞0，当b≥1时，b(100−b)≥99，所以(*)式左边大于99，而(*)式
右边小于9×8+24=96，因此要(*)式成立，必须b=0．
当b=0时，(*)式变为 d
2
−d=10c−c
2
−24．
由于四位数
abcd
中a=2，b=0，要使
20cd
最大，必需数字c最大．
若c=9，c
2
−c−24=90−9
2
−24＜0，而d
2
−d≥0故(*)式不能成立．同理，c=8和c=7
时，(*)式均不能成立．
当c=6时，c
2
−c−24=60−6
2
−24=0，这时，d=0及d=1，均有d
2
−d=0，即(*)式均
成立．
于是
abcd
=2060或2061．
所以满足题设条件的四位数中最大的一个是2061．
4．已知点O在△ABC内部，且
2021AB2020BC2019CA3AO
，记△ABC
S
的面积为S
1
，△OBC的面积为S
2
，则
1
______．
S
2
解：由
2021AB2020BC2019CA3AO
，得
2ABBC2019(ABBCCA)3AO
，
因为
ABBCCA0
，所以
2ABBC3AO
，故
2ABACAB3AO
.
所以
ABAC3AO
，取BC的中点D，则
2AD3AO
.
S
AD
3
． 于是A、D、O三点共线，且
AD3OD
．所以
1
S
2
OD
5．有4个不同的质数a, b, c, d，满足a+b+c+d是质数，且a
2
+bc、a
2
+bd都是完
全平方数，那么a+b+c+d = ______．
解：由a+b+c+d是质数，可知a, b, c, d中有2．如果a≠2，那么b, c, d中有2，
从而a
2
+bc、a
2
+bd中有一个模4余3，不是完全平方数．故a=2．
假设2
2
+bc=m
2
，那么bc=(m−2)(m+2)．如果m−2=1，那么m=3，bc=5，与已知
矛盾．故不妨设b=m−2，c=m+2，则c=b+4．同理d=b−4，所以{a, b, c, d}={a, b, b+4,
b−4}．而b−4, b, b+4中有一个是3的倍数，又是质数，所以只能是b−4=3，此时
a+b+c+d=2+3+7+11=23．
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二、（满分15分）面积为S
1
，S
2
，S
3
，S
4
，S
5
，S
6
的正方形位置如图所示．求证：
S
4
+S
5
+S
6
=3(S
1
+S
2
+S
3
)．
证明：见右图：AKLB，BMNC，ACPQ都是正方
形，对应的面积为S
1
、S
2
和S
3
．设
BAC
,ABC
,ACB
.
因为
ABS
1
,BCS
2
,ACS
3
,
则根据余弦
定理，有
S
1
S
2
S
3
2S
2
S
3
cos
S
2
S
1
S
3
2S
1
S
3
cos
S
3
S
1
S
2
2S
1
S
2
cos
由此，
2S
2
S
3
cos
2S
1
S
3
cos
2S
1
S
2
cos
S
1
S
2
S
3
.
①
又因为
QAK180
,LBM180
,NCP180
,
以及
QKS
5
,LMS
6
,NPS
4
,
则有
S
5
S
1
S
3
2S
1
S
3
cos
②
S
6
S
1
S
2
2S
1
S
2
cos
③
S
4
S
2
S
3
2S
2
S
3
cos
④
由等式①～④得 S
4
+S
5
+S
6
=3(S
1
+S
2
+S
3
)．
三、（满分15分）存在2020个不是整数的有理数，它们中任意两个的乘积都是
整数吗？如果存在，请给出例证，如果不存在，请说明理由．
解：存在. 例证如下：
因为质数有无限多个，所以任选2020个两两不同的质数
p
1
,p
2
,
2020个两两不同的数：
,p
2020
，构造
x
i
易知，因为
x
1
,x
2
,
意两个数的乘积
p
1
p
2
p
2
i
p
2020
，i=1, 2, 3, …, 2020．
,x
2020
的分子不被分母整除，皆为不是整数的有理数．而任
x
i
x
i
p
1
p
2
p
i
2
2
p
1
2
p
2
p
2020
p
1
p
2
p
2
j
2
p
2020
2
p
1
2
p
2
p
2020
2
p
2
j1
p
j
2
．
p
2020
p
i
2
p
2
j
p
i
2
1
p
i
2
11
这2018个质数平方的乘积是整数，满足题意要求．
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