2024年3月28日发(作者：高中生挑战小学数学试卷)
2023-2024学年广东省广州市高考数学押题模拟试题（二模）
一、单选题
π
1
．设全集
U
2,
1,0,1,2
,
A
yy
sin
π
x
,
x
N
,
B
x
x
1
x
2
0
，则图中阴影
2
部分所表示的集合为（）
A．
{1,1,2}
【正确答案】D
B．
{2,1,0,2}
C．
{1}
D．
{2,0}
【分析】由正弦函数性质求集合A，解一元二次方程求集合B，根据韦恩图、集合的并、补运算
求结果.
【详解】由题设得
A{1,1},B{1,2}
，则
AB{1,1,2}
，
由图知：阴影部分为
ð
U
AUB
{
2,0}
.
故选：D
2．.已知0＜a＜2，复数
zai
(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是
A
．
(1,
3
)
【正确答案】B
【分析】求出复数
z
的模，再根据
a
的范围即可得出答案.
【详解】解：
|z|a
2
1
，而
0a2
，即
1a
2
15
，
B
．
(1,
5
)C
．
(1,3)D
．
(1,5)
1|z|5
.
故选：B.
3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班
共抽取10名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为
1
，方差为
1
；高三（2）
班答对题目的平均数为
1.5
，方差为
0.35
，则这10人答对题目的方差为（）
A．
0.61
【正确答案】D
【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.
B．
0.675
C．
0.74
D．
0.8
【详解】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为
30
10
4
，
45
30
45
10
6
，高三（2）班抽取的人数为
45
30
设高三（1）班（6人）答对题目数依次为
x
1
,x
2
,,x
6
，高三（2）班（4人）答对题目数依次为
y
1
,y
2
,y
3
,y
4
，
由题意可得：
1
6
1
6
1
6
2
1
4
1
4
1
4
2
22
x
i
1,
x
i
1
x
i
6
1,
y
i
1.5,
y
i
1.5
y
i
4
1.5
2
0.35
，
6
i
1
6
i
1
6
i
1
4
i
1
4
i
1
4
i
1
2
可得
x
i
6,
x
12,
y
i
6,
y
i
10.4
，
i
1
i
1
i
1
i
1
66
2
i
44
4
1
6
则这10人答对题目的平均数
x
i
y
i
1.2
，
10
i
1
i
1
1
6
2
4
22
这10人答对题目的方差
x
i
y
i
10
1.2
0.8
.
10
i
1
i
1
故选：D.
a2b
4．已知
，若
a
与
b
的夹角为120°，则
2ba
在
a
上的投影向量为（
A．
33a
【正确答案】B
3
B．
a
2
1
C．
a
2
D．
3a
）
【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的运算律求
2ba
在
a
上的投影向量.
a
【详解】
2ba
在
a
上的投影向量为
|2
b
a
|cos2
b
a
,
a
，
|
a
|
(2
b
a
)
a
2
a
b
a
2
，
|2
b
a
|cos2
b
a
,
a
|
a
||
a
|
2
2
a
b
a
|
a
|
2
cos120
|
a
|
2
3
所以，
2ba
在
a
上的投影向量为
a
a
a
.
2
|
a
|
2
|
a
|
2
故选：B
5．已知数列
a
n
为等比数列，
a
3
,a
7
是函数
1
3
f
(
x
)
x
4
x
2
4
x
1
的极值点，
3
）
D．2C．
18
设等差数列
b
n
的前
n
项和为
S
n
，若
b
5
a
5
，则
S
9
（
A．
18
或
18
B．
18
【正确答案】C
【分析】根据极值点的定义可得
a
3
,a
7
是
f
(x)x
2
8x40
的两个实数根，进而由等比以及等差
数列的性质，结合求和公式即可求解.
【详解】由
1
3
f
(
x
)
x
4
x
2
4
x
1
得
f
(x)x
3
2
8x4
，
由题意可知
a
3
,a
7
是
f
(x)x
2
8x40
的两个实数根，
2
所以
a
3
a
7
=40,a
3
a
7
=80,a
3
0,a
7
0,
又
a
3
a
7
a
5
，
2
所以
a
5
a
3
q0,a
5
2
，因此
S
9
b
1
b
9
9
9
b
2
5
18
，
故选：C
6．函数
f
x
3cos
x
的图象如图所示，则（
ax
2
bx
c
）
A．
a0
，
b0
，
c0
C．
a<
0
，
b0
，
c=0
【正确答案】A
B．
a<
0
，
b0
，
c0
D．
a0
，
b0
，
c0
【分析】由图象分析函数奇偶性，特殊位置，及函数定义域即可.
【详解】由图象观察可得函数图象关于
y
轴对称，即函数为偶函数，
所以
f
x
3
cosx
f
x
得：
b0
，故C错误；
ax
2
bx
c
4
0
c
0
，故D错误；
c
由图象可知
f
0
因为定义域不连续，所以
ax
2
bxc0
有两个根可得
b
2
4ac0
，即
a、c
异号，
a0
，即B
错误，A正确.
故选：A
7．如图圆柱
O
1
O
2
的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱
O
1
O
2
内部，现用
一垂直于轴截面
ABB
A
的平面
去截圆柱
O
1
O
2
，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心
率为（）
A
．
22
3
B
．
2
3
C
．
3
3
D
．
3
【正确答案】A
1
【分析】根据题意作出截面图，分析出平面
与底面夹角余弦值为，再利用立体图形得到
b1
，
3
12
,
a
3
，再计算出
c
值得到离心率
.
32
a
【详解】作出截面图，显然平面
经过
O
1
O
2
中点，设中点为
G
，切点分别为
E
，
F
，
半径为
1
，
O
1
O
2
6
，则
O
2
E1
，
O
2
G3
，
sin
O
2
GE
1
1
，则
cos
O
2
A
E
，作出以下立
3
3
1
体图，则平面
与底面夹角余弦值为，
3
圆柱的底面半径为
1,
椭圆的短轴
MN2b2
,得
b1
，
1
又
椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为
,
3
以
G
为原点建立上图所示平面直角坐标系，
1
FH
2
a
2
,
a
3
，则椭圆标准方程为
b
2
1
，
3
EF
2
a
9
ca
2
b
2
22
，故离心率
e
故选：A.
8．已知实数
a
，
b
，
cR
，满足
A．
abc
C．
bca
【正确答案】D
【分析】构造函数，求导，利用函数的单调性判断.
【详解】由题意，
b
2,
b
1
0,
又
b
11
c
c
,
1
c
0,
c
1
，
e
b
e
c
22
,
a
3
ln
a
1
b
11
c
b
c
，
b2
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（
a
eee
B．
acb
D．
bac
）
ln
a
1
b
1
b
,
ln
a
1
0,
a
1
1,
a
2
，即
ac,bc
；
a
ee
1
\'
\'
设
g
x
xlnx
，则
g
x
1
，当
x1
时，
g
x
0
，单调递增，
x
x1
时，
g
x
g
1
10,xlnx
，
a
1
ln
a
1
,
a
1
ln
a
1
，
e
a
e
a
ln
a
1
b
1
a
1
b
1
b
,
a
b
，
e
a
eee
x
1
2
x
\'
设
h
x
x
，则
h
x
x
，当
x2
时，
h
x
0
，
h
x
单调递减，
e
e
又
ab
，
bac
；
故选：D.
二、多选题
9．下图是某汽车公司100家销售商2022年新能源汽车销售数据频率分布直方图（单位：辆），则
（）．
A．a的值为0.004
B．估计这100家销售商新能源汽车销量的平均数为135
C．估计这100家销售商新能源汽车销量的
80%
分位数为212.5
D．若按分层抽样原则从这100家销售商抽取20家，则销量在
[200,300]
内的销售商应抽取5家
【正确答案】ACD
【分析】A.根据频率和为1，计算
a
的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判
300]
内的频率，再结合分层抽样，即可判断D.断C；计算销量在
[200，
【详解】A.由频率分布直方图可知，
500.002500.00350a500.00650a500.001
，
得：
a0.004
，故A正确；
50.001
50
150
，故B错误；B.
250.002750.0031250.0041750.0062250.00427
C.设
80%
百分位数
x
，易得
x
200,250
，
0.0040.8
则
500.002500.003500.004500.006
x200
，
解得：
x212.5
，故C正确；
D.则销量在
200,300
的频率为
500.004500.0010.25
所以抽取的20家，则销量在
[200,300]
内的销售商为
20
故选：ACD
10．已知事件A，B，且
P(A)0.4,P(B)0.3
，则（
A．如果
B
A
，那么
P(AB)0.3
B．如果
B
A
，那么
P(AB)0.4
C．如果A与B相互独立，那么
P(AB)0.7
D．如果A与B相互独立，那么
P(AB)0.42
【正确答案】ABD
【分析】根据事件关系及运算有
P(AB)P(B)
、
P(AB)P(A)
，由事件的相互独立知
P(AB)P(A)P(B)
，结合事件的运算求
P(AB)
、
P(AB)
1
5
家，故D正确.
4
）
【详解】A：由
B
A
，则
P(AB)P(B)0.3
，正确；
B：由
B
A
，则
P(AB)P(A)0.4
，正确；
C：如果A与B相互独立，则
P(AB)P(A)P(B)0.12
，
P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.58
，错误；
D：由C分析及事件关系知：
P
AB
1P
AB
0.42
，正确.
故选：ABD.
11．若函数
f
(
x
)sin
4
x
cos
4
x
，则（
A．函数
f(x)
的一条对称轴为
x
π
4
）
π
B．函数
f(x)
的一个对称中心为
,0
4
π
C．函数
f(x)
的最小正周期为
2
3
D．若函数
g
(
x
)
8
f
(
x
)
，则
g(x)
的最大值为2
4
【正确答案】ACD
【分析】根据三角函数的同角关系和二倍角的正、余弦公式化简可得
f
(
x
)
cos4
x
，结合余弦
函数的性质依次判断选项即可.
【详解】由题意得，
f(x)sin
4
xcos
4
x
sin
2
xcos
2
x
1
4
3
4
2
113
2sin
2
xcos
2
x1sin
2
2xcos4x
.
244
A：当
x
所以
x
1π
31
π1
时，
f
x
cos
4
，又
f
(
x
)
min
，
44
42
42
π
是函数
f(x)
的一条对称轴，故A正确；
4
π
1
π
B：由选项A分析可知
f
，所以点
,0
不是函数
f(x)
的对称点，故B错误；
4
4
2
2πππ
，知函数
f(x)
的最小正周期为，故C正确；
C：由
T
422
3
D：
g
(
x
)
8
f
(
x
)
2cos4
x
，所以
g(x)
max
2
，故D正确.
4
故选：ACD．
12．如图，在棱长为2的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，E为边AD的中点，点P为线段
D
1
B
上的动
点，设
D
1
P
D
1
B
，则（）
1
A．当
时，EP//平面
AB
1
C
3
46
C．
PAPC
的最小值为
3
B．当
1
时，
PE
取得最小值，其值为
2
2
1
4
D．当
C
1
平面CEP时，
【正确答案】BC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用两点间距离公式计算
判断BC；确定直线
D
1
B
与平面CEP交点的位置判断D作答.
【详解】在棱长为2的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，建立如图所示的空间直角坐标系，
A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D
1
(0,0,2),B
1
(2,2,2),E(1,0,0)
，
D
1
B(2,2,2),D
1
P
D
1
B(2
,2
,2
)
，则点
P(2
,2
,22
)
，
224124
1
对于A，
，
P
(,,)
，
EP
(
,,)
，而
AC(2,2,0),AB
1
(0,2,2)
，
3
333333
显然
D
1
BAC2(2)22)0,D
1
BAB
1
22220
，即
D
1
B
是平面
AB
1
C
的一个法向量，
124
而
EPD
1
B(22(2)0
，因此
EP
不平行于平面
AB
1
C
，即直线
EP
与平面
AB
1
C
不
333
平行，A错误；
对于B，
EP(2
1,2
,22
)
，则
1
|
EP
|
(2
1)
2
(2
)
2
(2
2
)
2
12
2
12
5
12(
)
2
2
，
2
1
时，
PE
取得最小值
2
，B正确；
2
对于C，
AP(2
2,2
,22
),CP(2
,2
2,22
)
，
因此当
2
2246
于是
|AP||CP|2(2
2)
2
(2
)
2
(22
)
2
43(
)
2
，当且仅当
时取等
3
333
号，C正确；
对于D，取
A
1
D
1
的中点
F
，连接
EF,C
1
F,CE
，如图，
因为E为边AD的中点，则
EF//DD
1
//CC
1
，当
C
1
平面CEP时，
P
平面
CEFC
1
，
连接
B
1
D
1
C
1
FQ
，连接
BDCEM
，连接
MQ
，显然平面
CEFC
1
平面
BDD
1
B
1
MQ
，
因此
MQD
1
BP
，
BB
1
//CC
1
,CC
1
平面
CEFC
1
，
BB
1
平面
CEFC
1
，则
BB
1
//
平面
CEFC
1
，
即有
MQ//BB
1
，而
故选：BC
关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一
平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.
三、填空题
13．在
(1
x
1
x
2023
DPDQ
1
D
1
QD
1
F
1
，所以
1
1
，D错误.
D
1
BD
1
B
1
3
QB
1
B
1
C
1
2
)
12
的展开式中，
x
3
项的系数为______.
【正确答案】220
【分析】根据给定条件，分析展开式中
x
3
项出现的情况，再列式计算作答.
【详解】
(1
x
x
)
12
[(1
x)
2023
1
x
2023
11
x
2023
]
12
的展开式通项
r
T
r
1
C
12
(1
x
)
12
r
(
r
)
r
(
1)
r
C
12
(1
x
)
12
r
x
2023
r
,
r
N,
r
12
，
当
r1
时，
(1
x
)
12
r
展开式中
x
的最高指数小于12，而
x
2023r
的指数小于等于
2023
，
因此
T
r
1
中
x
的指数是负整数，要得到
x
3
项，当且仅当
r0
，
3
所以展开式中
x
3
项的系数是
(1x)
12
展开式中
x
3
项的系数
C
12
12
11
10
220
.
3
2
1
故220
14．有
5
个身高均不相等的学生排成一排合影，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右
边的身高都递减，则不同的排法有____种.（用数字作答）
【正确答案】
6
【分析】根据排队问题中的顺序固定问题只选不排，以及分步计数原理计算求解即可．
【详解】最高的学生站在中间，有
C
1
1
种排法，
再从其余四个同学中任意选取两个，站在最高同学的左边，由于身高从中间到左边递减，所以共
2
有
C
4
6
种不同排法，
1
最后两名同学站在最高同学的右边，按身高从中间到右边递减，共有
1
种排法，
则
5
个身高均不相等的学生排成一排合影，不同的排法有
1616
种，
故
6
15．已知
sin
cos
【正确答案】
1
，
是三角形的内角，则
cos2
__________．
5
7
25
24
0
，而
sin
>0,cos
>0
，所以
25
【详解】由题设可得
2sin
cos
sin
cos
1
2sin
cos
案
7
．
25
7
717
，则
cos2
(cos
sin
)(sin
cos
)
，应填答
5525
5
四、双空题
16．在平面上给定相异两点A，B，设点P在同一平面上且满足
|
PA
|
，当
0
且
1
时，P
|
PB
|
点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼
x
2
y
2
斯圆.现有双曲线
2
2
1(
a
0,
b
0)
，
F
1
,F
2
分别为双曲线的左､右焦点，A，B为双曲线虚轴的
ab
上､下端点，动点P满足
|
PB
|
2
，
PAB
面积的最大值为4.点M，N在双曲线上，且关于原点O
|
PA
|
对称，Q是双曲线上一点，直线
QM
和
QN
的斜率满足
k
QM
k
QN
3
，则双曲线方程是
______________；过
F
2
的直线与双曲线右支交于C，D两点(其中C点在第一象限)，设点
M
､
N
分别为
△CF
1
F
2
､
△DF
1
F
2
的内心，则
MN
的范围是____________.
43
)
3
|
PB
|
5
b
4
b
2
，求得
x
2
(
y
)
2
()
2
，结合
PAB
的最
【分析】设
A(0,b),B(0,b),P(x,y)
，根据
|
PA
|
33
【正确答案】
2
y
2
x
1
3
[
2,
2
y
大面积得到
b3
，再根据
k
QM
k
QN
3
，得出
x
设边
CF
1
,CF
2
,F
1
F
2
上的切点分别为
R,S,T
，
1
，
3
2
根据内心的性质，得到
MNx
轴，设直线
CD
的倾斜角为
，在
MF
2
N
中，得到
MN
，
sin
2
2
进而求得
MN
的取值范围.
【详解】设
A(0,b),B(0,b),P(x,y)
，
由题意知
|
PB
|
2
，可得
PB2PA
，即
x
2
(yb)
2
2x
2
(yb)
2
，
|
PA
|
2
整理得
x
(
y
5
b
2
4
b
2
5
b
4
b
)
()
，可得圆心为
(0,)
，半径
r
，
33
33
14
b
x
2
y
2
2
4
，解得
b3
，即
2
所以
PAB
的最大面积为
2
b
1
，
23
a
3
设
Q(x,y),M(x
1
,y
1
)
，则
N(x
1
,y
1
)
，
3(a
2
x
1
2
)
3(a
2
x
2
)
x
1
2
y
1
2
22
则
2
，同理
y
1
，可得
y
1
a
2
a
2
a
3
则
k
QM
y
y
1
y
y
2
,
k
QN
，则
k
k
x
x
1
x
x
2
QMQN
2
3(
a
2
x
2
)
3(
a
2
x
1
2
)
2
y
2
y
1
2
aa
2
2
3
，
222
x
x
1
x
x
1
y
2
整理得
a1
，所以双曲线的方程为
x
1
.
3
2
如图所示，设边
CF
1
,CF
2
,F
1
F
2
上的切点分别为
R,S,T
，
则
M,T
横坐标相等，则
CRCS,F
1
MFT
1
,F
2
SF
2
T
，
由
CF
1
AF
2
2
，即
CRRF
1
(CSSF
2
)2
，即
RF
1
SF
2
2
，
F
2
T2
，即点
M
的横坐标为
x
0
，则
T(x
0
,0)
，即
FT
1
于是
x
0
c(cx
0
)2
，可得
x
0
1
，
同样内心
N
的横坐标也为
1
，则
MNx
轴，
设直线
CD
的倾斜角为
，则
OF
2
N
2
,
MF
2
O
90
2
，
sincos
22
)
在
MF
2
N
中，
MN
(
c
a
)[tan
tan(90
)]
(
c
a
)(
22
cossin
22
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