2011年湖南省高中数学竞赛

2024年3月21日发(作者：数学试卷初三可复制)

２０１２年第４期　３Ｉ　

２０１　１年湖南省高中数学竞赛　

中圈分类号：Ｇ４２４．７９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００５—６４１６（２０１２）０４～００３１—０３　

一

、

填空题（每小题７分，共７０分）　

８．已知平面内三点Ａ、Ｂ、Ｃ满足　

・——

１．已知函数　

÷・—＿—－—＋　

ｌＡ　Ｉ＝３，ＩＢＣｌ＝４，ｌＣＡＩ：５．　

）＝　＋口戈　＋　＋１（口∈Ｒ）　

则　・——　—　Ｃ＋ＢＣ・ＣＡ＋ＣＨ・—．＋・——・｝——＿——＿—ＡＢ＝　—　

在区间（—　２，—　１）内为减函数，在区间　

９．将边长为４的正方形ＡＢＣＤ沿ＢＤ折　

成６０。的二面角．则ＢＣ的中点与Ａ的距离　

（一一｝，＋ａｏ）内为增函数．则ｎ：——．　

为　．　

２．设Ａ、Ｂ是两个集合，称（Ａ，　为一个　

１Ｏ．有黑、自、黄筷子各８支，不用眼睛看　

“对子”．当Ａ≠　时，将（Ａ，　）与（　，Ａ）视为　

任意地取出筷子，使得至少有两双筷子不同　

不同的对子．则满足条件　

色．则至少要取出　支筷子才能做　

Ａ　ＵＢ＝｛１，２，３，４｝　

得到．　

的不同的对子（　，　）的个数为　

二、解答题（每小题２Ｏ分，共８０分）　

３．设函数　

ｌ１．将抛物线的焦点所在的区域称为抛　

）＝　＋　＋ｍ（ｍ∈Ｒ＋）．　

物线的内部．试问：在允许将抛物线平移或旋　

若　ｔ）＜０，则你对函数Ｙ＝，（　）在区间　

转的条件下，平面内２　０１１条抛物线的内部　

（￡，ｔ＋１）中零点存在情形的判断是　．　

能否盖住整个平面？请作出判断，并证明你　

的结论．　

４．已知椭圆ｃ：冬＋ｙ　＝１的两个焦点分　

１２．设口　：…　一　１

１２．设口　＝’∑了．

．

证明：　

２　

别为Ｆ．、　，点ＪＰ（　ｏ，Ｙｏ）满足ｏ＜　＋　≤１．　

则Ｉ　Ｉ　Ｉ＋Ｉ尸　Ｉ的取值范围是

２　ｏｌｌ∈ｆ１∈（　，　ａ２　０１０，　１．ａ２　ＯＩ１）．，　　

．　

——

５．已知复数　，满足　

ｌ３．（１）设实数ｔ＞０．证明：　

（＝　－２）（Ｉ＋ｉ）＝ｌ—ｉ（ｉ为虚数单位），　

（１＋÷）　（１＋ｆ）＞２・　

复数的虚部为２。则　，　为实数的条件是　

（２）从编号为ｌ一１００的ｌＯ０张卡片中，　

・　

…一

每次随机地抽取一张，然后放回，用这种方式　

６．已知数列｛口　｝满足递推关系式　

连续抽取２０次，设抽得的２Ｏ个号码互不相　

口　＋１＝２ａ　＋２　一ｌ（ｎ∈Ｎ＋），　

同的概率为Ｐ．证明：　

且ｆＩ　竺　１‘　Ｉ　为等差数列．则　的取值｛　——．　

Ｐ＜　１

．　

７．过甬数　

１４．已知由△ＡＢＣ的顶点Ａ引出的两条　

）＝　＋ＣＯＳ　一　ｓｉｎ　

射线ＡＸ、ＡＹ分别与ＢＣ交于点　、　证明：　

的图像上一点的切线斜率为　则　的取值　

ＡＢ　・ＣＹ・ＣＸ＝ＡＣ２・ＢＸ・ＢＹ成立的充要条件　

范围是　．　

是　ＢＡＸ＝　ＣＡＥ　

３２　中等数学　

参考答案　

因为（　１－２）（１＋ｉ）＝１一ｉ，所以，　

ｌ－－－２一ｉ．　

一

、

１．２．　

设Ｘ２；口＋２　ｉ（ａ∈Ｒ）．　

由题设知　

则　ｌ　＝（２一ｉ）（ａ＋２　ｉ）　

，　（　）：３ｘ　＋２ａｘ＋ｌ，　

：

（２ａ＋２）＋（４一口）ｉ．　

且　＝一÷是函数　）的极值点，即　

因ｚ。ｚ：为实数，所以，ｎ＝４．　

Ｊ　

故７＇２＝４＋２　ｉ．　

，　（一÷）：一号口＋÷＝０．　

６．一１．　‘　

解得口＝２．　

注意到，　

口ｎ＋ｌ＋　口　＋　

２．８１．　

一　

当集合　中没有元素，即Ａ＝　时，集合　

２ａ　＋２　一ｌ＋Ｊ＝Ｌ　口　＋　

中有４个元素，有１种情形；当集合Ａ中含　

２“　。　２“　

有ｋ（ｋ＝ｌ，２，３，４）个元素时，集合　中含　

２　一ｌ一｜＝Ｌ　

有除这ｋ个元素外的另外４一ｋ个元素，集　

一　

２　＋ｌ　’　

合Ａ中含有的元素集合Ｂ中可有可无，共有　

ｃ：×２ｋ种情形．　

由　为常数知｜＝【：一１．　

综上，共有不同的对子的数目为　

７．【１．１，３］．　

１＋∑　ｘ２　＝８１．　

ｆ　（　．）＝ｌ—ｓｉｎ　一√３　ＣＯＳ　

３．存在一个零点．　

＝１—２ｓｉｎ（　＋詈）∈［－ｌ’３］．　

因为　ｔ）＜０，所以，　）＝　＋　＋ｍ的　

８．一２５．　

图像与　轴有两个交点Ａ、　．　

由条件知　上葳则　

设横坐标分别为　、　：（　＜　：）．　

・

曰Ｃ＋ＢＣ・ＣＡ＋（　・Ａ　

由条件得　

＝ＣＡ－（ＡＢ十ＢＣ）＝一ＣＡ　＝一２５．　

瞪≥　

９．２　．　

取ＢＤ的中点Ｄ．易知，△ＡＣＯ是边长为　

故一１＜　ｌ＜ｔ＜　２＜０　

２　的正三角形．所以，ＡＣ＝２　．　

设ＢＣ的中点为　

在△ＡＣＢ中，有　

ｔ＋１）＞０．　

从而，函数Ｙ＝，（　）在区间（ｔ，ｔ＋１）中存　

Ａ　＝

／１（ＡＣ２＋　）一　ｃ２＝２　．　

在一个零点．　

１Ｏ．１１．　

４．［２，２√乏］．　

因为１　１支筷子中必有一双筷子同色（不　

２　

由０＜　＋　≤１，知点Ｐ（ｘ。，ｙｏ）在椭圆　

妨设为黄色），所以，黑色或白色的筷子至少　

』。　

有３支，其中必有一双同色，即同为黑色或白　

Ｃ的内部（含边界）．　

色．故ｌ１支筷子保证成功．但如只取ｌ０支筷　

故２≤Ｉ　Ｉ　ｌ＋ＩＰＦ２　Ｉ≤２　．　

子，就可能出现８支黄色、黑色和白色各１支　

５．４＋２　ｉ．　

的情形，不符合要求．　

２０１２年第４期　３３　

又９９×８１＜９０　，９８×８２＜９０　，　・，　

９１×８９＜９０　，　

二、１１．不能．　

因为每条抛物线有一条对称轴，所以，至　

多有２　０ｌｌ条对称轴．　

在平面上任作一条不平行于每一条对称　

轴的直线ｚ．于是，直线ｚ和２　０１ｌ条抛物线至　

多相交得２０１ｌ×２个交点，将直线Ｚ截成有　

限段，其中２条射线不在这些抛物线内部．　

故Ｐ＜（　

在（１）的结论中令ｔ＝吉．得　

所以，抛物线不能盖住平面上的直线Ｚ，　

９　ｎ　＞２　（　）　＞ｅ２．　

当然不能盖住整个平面．　

１２．易知，ａ　的表达式共有２Ｉｉ｝＋ｌ项．　

分别考虑其前ｋ项的和与后ｋ＋１项的　

和．则　

＋ｋ－’ｌ　ｋ　１　

了＞　丽，　

＋ｋ－’１　ｋ　ｌ　

ｉ、ｋ　一ｋ’　

即　＜　÷＜　．　①　

同理，　＜‘　÷＜　．　②　

①＋②得　

丽三＜口＜　＜　＜２　Ｔ　　２＜ｋ＋１＜

＜“＜　

　

’

．

　

ａｋ

取ｋ＝２　０１０，得　

，＇　，＇　

＜２　Ｏ１１＜－竺－，　

ａ２　０１０　ａ２　Ｏｌ１　

１３．（１）构造函数　

）＝Ｉｎ（１＋　）一　・　

（　）　‘　

当　＞０时，／　（　）＞０，　）在（０，＋Ｏ０）　

上为增函数．　

所以，　ｔ）＞　０），即　

ｌｎ（１＋ｔ）一　２ｔ＞０　

（１＋）ｌｎ（１＋￡）＞２．　

（２）由条件知　

ｐ一　

一　

ＱＱ　：：：　墨　

１Ｏ０２ｏ　‘　

故Ｐ＜　．　

１４．充分性．　

若　ＢＡＸ＝　ＣＡＹ，设　

ＢＡＸ＝　ＣＡＹ＝　．　

则　＝　＝嚣　

ＡＢ・ＡＸ　ＢＸ　

：＝≯一ＡＣ

・

Ａｙ　Ｃｙ‘

＝一．　

　

①　

同理，　＝　．　

②　

①×②得　

Ａ

Ｂ２

—

一　

ＡＣ２一Ｃｙ・Ｃ　

ＡＢ　．ＣＹ．ＣＸ＝ＡＣ２・ＢＸ・ＢＹ．　

必要性．　

设　ＣＡＹ＝　，　ＸＡＹ＝ａ　

则　：　

ＡＢ・ＡＸｓｉｎ　

③　

△＾Ｃｙ　

ＡＣ・ＡＹｓｉｎ　８　一ＣＹ’　

．ｓ　

Ａ

ＡＣ　ＡＸｓ

Ｂ．Ａ

＝

而

—

・　

Ｙｓｉ

ｉ

ｎ（丽

ｎ（￣

ａ＋０）

＋　）　

＝　．

’　

④　

③×④得　

ＡＢ　ｓｉｎ　ａ・ｓｉｎ（　＋０）　ＢＸ・ＢＹ　ＡＢ　

ＡＣ　ｓｉｎ卢・ｓｉｎ（ｆｌ＋　）一ＣＹ・ＣＸ—ＡＣ。　

＝　ｓｉｎ　０ｃ・ｓｉｎ（　＋　）＝ｓｉｎ卢・ｓｉｎ（ｆｌ＋　）　

ｃｏｓ（２ａ＋　）＝ｃｏｓ（Ｚ　＋　）　

ｓｉｎ（　一　）・ｓｉｎ（０ｃ＋ｐ＋０）＝０．　

因为ａ＋卢＋０＝　ＢＡＣ∈（０，兀），所以，　

ｓｉｎ（０［一　）＝０　Ｏ／＝卢　

ＢＡＸ：　ＣＡ　

（黄仁寿提供）