2023年12月9日发(作者：往年河北单招真题数学试卷)

 历年(2020‐2023)全国高考数学真题分类(函数)汇编 

【2023年真题】

1.（2023·新课标I卷

第4题） 设函数f(x)2x(xa)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是(

) A. (,2] B. [2,0) C. (0,2] D. [2,) 2.（2023·新课标II卷

第4题）若f(x)(xa)lnA. 1 B. 0 C. 2x1为偶函数，则a(

) 2x1D. 1 1 23.（2023·新课标I卷

第10题）（多选）

噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp20lg声源

燃油汽车

10

混合动力汽车

10

电动汽车

p，其中常数p0(p00)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：

p0与声源的距离/m

10

声压级/dB

60~90

50~60

40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则( )

A.

p1…p2 B.

p210p3 C.

p3100p0 D.

p1„100p2

4.

（2023·新课标I卷

第11题）（多选）已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)y2f(x)x2f(y)，则(

) A. f(0)0 C. f(x)是偶函数 B. f(1)0 D. x0为f(x)的极小值点 

【2022年真题】

 5.（2022·新高考I卷

第12题）（多选）已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域为R，记g(x)f(x).3若f(2x)，g(2x)均为偶函数，则( )

2A.

f(0)0 B.

g()0

12C.

f(1)f(4) D.

g(1)g(2)

6.且f(xy)f(xy)f(x)f(y)，f(1)1，（2022·新高考II卷

第8题）若函数f(x)的定义域为R，则f(k)( )

k122A.

3 B.

2 C. 0 D. 1

【2021年真题】

7.（2021·新高考I卷

第13题）已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a__________.

8.（2021·新高考II卷

第7题）已知alog52，blog83，c1，则下列判断正确的是( )

2A.

cba B.

bac C.

acb D.

abc

9.（2021·新高考II卷

第8题）设函数f(x)的定义域为R，且f(x2)为偶函数，f(2x1)为奇函数，则 ( )

A.

f10

2B.

f(1)0 C.

f(2)0 D.

f(4)0

10.（2021·新高考II卷

第14题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数fx：_________.

①fx1x2fx1fx2；②当x(0,)时，f(x)0；③f(x)是奇函数．

【2020年真题】

11.（2020·新高考I卷

第6题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)ert描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率 r与R0，T近似 满足R01rT.有学者基于已有数据估计出R03.28，T6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln20.69)( )

A.

1.2天 B.

1.8天 C.

2.5天 D.

3.5天

12.（2020·新高考I卷、II卷

第8题）若定义在R上的奇函数f(x)在(,0)单调递减，且f(2)0，0的x的取值范围是( )

则满足xf(x1)…A.

[1,1][3,)

C.

[1,0][1,)

B.

[3,1][0,1]

D.

[1,0][1,3]

13.（2020·新高考II卷

第7题）已知函数f(x)lg(x24x5)在(a,)上单调递增，则a的取值范围是( )

A.

(2,)B.

[2,)C.

(5,) D.

[5,)

14.（2020·新高考I卷

第12题）（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取n，2，，且P(Xi)pi0(i1,2,,n)，pi1，定义X的信息熵H(X)值为1，i1nplogii1n2pi( )

A.

若n1，则H(x)0

B.

若n2，则H(x)随着p1的增大而增大

C.

若pi=1(i1,2,，n)，则H(x)随着n的增大而增大

n2，，m，随机变量Y的所有可能取值为1，且P(Yj)pj+p2m1j(j1,2,，m)，D.

若n2m，则H(X)H(Y)

 参考答案 1.（2023·新课标I卷

第4题）

1，所以a的取值范围是[2,);故选D. 解：结合复合函数单调性的性质，易得…2.（2023·新课标II卷

第4题）

解：f(x)为偶函数，f(1)f(1)，(1a)lna21(1a)ln3，a0，故选B. 33.（2023·新课标I卷

第10题）（多选）

解：L1L220lgp1ppp20lg220lg10，11，p1p2，所以A正确;

p0p0p2p21p21p2p2L2L320lg…10，lg…，…e2，所以B错误;

p32p3p3L320lgp3p40，3100，所以C正确;

p0p0L1L220lg故选ACD

p1pp„905040，lg1„2，1„100，所以D正确．

p2p2p24.

（2023·新课标I卷

第11题）（多选）

解：选项A，令xy0，则f(0)0f(0)0f(0)，则f(0)0，故A正确; 选项B，令xy1，则f(1)1f(1)1f(1)，则f(1)0，故B正确; 选项C，令xy1，则f(1)(1)2f(1)(1)2f(1)，则f(1)0， 再令y1，则f(x)(1)2f(x)x2f(1)，即f(x)f(x)，故C正确; 选项D，不妨设f(x)0为常函数，且满足原题f(xy)y2f(x)x2f(y)，而常函数没有极值点，故D错误. 故选：ABC. 5.（2022·新高考I卷

第12题）（多选）

33解：由f(2x)为偶函数可知f(x)关于直线x对称，

22由g(2x)为偶函数可知g(x)关于直线x2对称，

结合g(x)f(x)，根据g(x)关于直线x2对称可知f(x)关于点(2,t)对称，

根据f(x)关于直线x33对称可知：g(x)关于点(,0)对称，

22 综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，所以有f(0)f(2)t，所以A不正确;

f(1)f(1)，f(4)f(2)，f(1)f(2)，故f(1)f(4)，所以C正确.

13g()g()0，g(1)g(1)，所以B正确;

22又g(1)g(2)0，所以g(1)g(2)0，所以D不正确.

6.（2022·新高考II卷

第8题）

解：令y1得f(x1)f(x1)f(x)f(1)f(x)f(x1)f(x)f(x1)

故f(x2)f(x1)f(x)，f(x3)f(x2)f(x1)，

消去f(x2)和f(x1)得到f(x3)f(x)，故f(x)周期为6;

令x1，y0得f(1)f(1)f(1)f(0)f(0)2，

f(2)f(1)f(0)121，

f(3)f(2)f(1)112，

f(4)f(3)f(2)2(1)1，

f(5)f(4)f(3)1(2)1，

f(6)f(5)f(4)1(1)2，

故f(k)3[f(1)f(2)f(6)]f(19)f(20)f(21)f(22)

k122f(1)f(2)f(3)f(4)1(1)(2)(1)3

即

7.（2021·新高考I卷

第13题）

解：函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数；

f(x)x3(a2x2x)=f(x)(x)3(a2x2x)，

化简可得x3(a2x2xa2x2x)0，

解得a1，故答案为1.  8.（2021·新高考II卷

第7题）

解：alog52log55即acb.

故选C.

9.（2021·新高考II卷

第8题）

解：因为函数f(x2)为偶函数，则f2xf2x，可得fx3f1x，

因为函数f(2x1)为奇函数，则f12xf2x1，所以f1xfx1，

所以，f(x3)f(x1)，即f(x4)f(x2)f(x)，

故函数f(x)是以4为周期的周期函数，

因为函数Fxf2x1为奇函数，则F0f10，

故f1f10，其它三个选项未知.

故选B.

10.（2021·新高考II卷

第14题）

222解：取f(x)x2，则f(x1x2)(x1x2)x1x2f(x1)f(x2)，满足①，

1log822log83b，

2f(x)2x，x0时有f(x)0，满足②，

f(x)2x的定义域为R，

又f(x)2xf(x)，故是奇函数，满足③.

2n故答案为：f(x)x2(答案不唯一，fxx11.（2020·新高考I卷

第6题）

nN均满足)

*解：将R03.28，T6代入R01rT，

得rR013.2810.38，

6T 由Ite0.38t得tlnIt0.38，

当增加1倍时，所需时间为故选B.

，

12.（2020·新高考I卷、II卷

第8题）

x0x00可化为

或，

解：根据题意，不等式xf(x1)…fx10fx10由奇函数性质得f(2)-f(2)0，f(x)在(0,)上单调递减，

所以或，

x3或1剟x0.

解得1剟0的x的取值范围是x[1,0][1,3].

满足xf(x1)…故选D.

13.（2020·新高考II卷

第7题）

解：由x24x50，得x1或x5.

令tx24x5，

外层函数ylgt是其定义域内的增函数，

要使函数f(x)lg(x24x5)在(a,)上单调递增，

则需内层函数tx24x5在(a,)上单调递增且恒大于0，

5.

则(a,)(5,)，即a…a的取值范围是[5,).

故选：D.

14.（2020·新高考I卷

第12题）（多选）

解：A选项中，由题意知p11，此时H(X)1log210，故A正确；

B选项中，由题意知p1p21，且p1(0,1)，  H(X)p1log2p1p2log2p2p1log2p1(1p1)log2(1p1)，

设f(x)xlog2x(1x)log2(1x)，x(0,1)

，

111log2(1x)log2(1)，

xln2ln211当x(,1)时，f(x)0，当x(0,)时，f(x)0，

221故当p1(0,)

时，H(X)随着p1的增大而增大，

21当p1(,1)

时，H(X)随着p1的增大而减小，故B错误；

211C选项中，由题意知H(X)n()log2log2n，

nn则f(x)log2x故H(X)随着n的增大而增大，故C正确；

D选项中，由题意知H(Y)2mm(ppjj1m2m1j)log2(pjp2m1j)，

H(X)pjlog2pj(pjlog2pjp2m1jlog2p2m1j)，

j1j1H(X)H(Y)log2(pjp2m1j)j1mpjp2m1j(log2pjjlog2p2m1jj1pmpp2m1j)

=log2j1mm(pjp2m1j)pjjp2m1jp2m1jpjppjp2m1jp2m1jplog2j1m(pjp2m1j)j(pjp2m1j)pjjp2m1j0,

pp2m1jp2m1j

=log2(1j1)j(1pjp2m1j)p2m1j故D错误.

故答案为：

AC.

  


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