考研数学归纳法的两种形式

2024年4月10日发(作者：高考数学试卷写得规范卷)

考研数学归纳法的两种形式

一、第一数学归纳法

第一数学归纳法可以概括为以下三步：

（1）归纳奠基：证明n=1时命题成立；

（2）归纳假设：假设n=k时命题成立；

（3）归纳递推：由归纳假设推出n=k+1时命题也成立。

从而就可断定命题对于从所有正整数都成立。

正确性证明：

假设我们已经完成下面的推理：

归纳基础：P（0）真；

归纳推理：对于任意k（P（k）→P（k+1））

但是还并非所有自然数都有性质P。

将这些不满足性质P的自然数构成一个非空自然数子集，这样，子集中必定有一个最

小的自然数，设为m。

显然m>0，记做n+1，这样n一定具有性质P，即P（n）为真

存在n（P（n）∧¬；P（n+1））╞╡对于任意的k（¬；P（k）∨P（k+1））不

满足╞╡对于任意的k（P（k）→P（k+1））不满足。

假设推理结果与已经完成的归纳推理矛盾，所以假设错误。

所有自然数都有性质P。

二、第二数学归纳法

第二数学归纳法原理是设有一个与正整数n有关的命题，如果：

（1）当n=1时，命题成立；

（2）假设当n≤k（k∈N）时，命题成立，由此可推得当n=k+1时，命题也成立。

那么根据（1）（2）可得，命题对于一切正整数n来说都成立。

用反证法证明：

假设命题不是对一切自然数都成立。命N表示使命题不成立的自然数所成的集合，显

然N非空，于是，由最小数原理N中必有最小数m，那么m≠1，否则将与（1）矛盾。

所以m-1是一个自然数。但m是N中的最小数，所以m-1能使命题成立。这就是说，命

题对于一切≤m-1自然数都成立，根据（2）可知，m也能使命题成立，这与m是使命题

不成立的自然数集N中的最小数矛盾。因此定理获证。