2024年4月10日发(作者：河南历年单招考试数学试卷)

数学归纳法的发展及其在数学中的应用

摘要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某

些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。本文叙述

了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归

纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做

了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。

举了几种常见的数学归纳法的形式，

本文也列

如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推

本文重点叙述了数归纳法、螺旋式归纳法。在了解数学归纳在数学中的应用后，

学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明几何问题、探索与正

整数有关的问题中的具体应用过程。通过本文，能使读者更加深入的了解数学归

纳法，并且能更好的运用数学归纳法解决数学学科中的一些问题。

关键词：数学归纳法发展原理应用

一、数学归纳法的发展

（一）数学归纳法名称的发展

“数学归纳法”名称是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用

1838年在伦敦出版的推广。在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根。

《小百科全书》中，德摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法”。但

，这是我们所能看到这一术语在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法

的最早使用。

无论是毛罗利科还是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的数学家们，虽然都

在不断地使用数学归纳法，但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称。

只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作，才引进了“归纳法”这一名称。并

在两种截然不同的意义上应用于数学：(1)以特此获得一般结论的沃利斯方式

指定的步骤论证，并且影响了其后的数学家们，使这种混用状态大约持续了

年。到l9世纪上半叶，英国的数学家皮科克在他的《代数学》的排列与组合部

分，谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意数，是从预攫f 意义上以沃利斯方式使

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用归纳法的。后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳法。

皮科克和德摩根的名称后来为英国数学家托德亨特的《代数》(1866年第4

版)所采用并因而得到广泛传播。他在该书中介绍这种证明方法时，使用了两个

名称“数学归纳法”和“证明归纳法”，但该章的题目却用的是前者。

这两个名称后来又为英国逻辑学家杰文斯以及菲科林所使用，后者宣称是受

惠于托德亨特。随着时间的推移，后来的通用教科书的作者们，如英国教育家、

数学家克里斯托(chrysta1．1851-1911)的《代数》第2卷以及霍尔(H．S．Hal1)

和纳特(s．R．KmgM)台著的《代数》(1898)、奥尔迪斯的代数教科书(Textbook 0f

Algebra．1887)等都只用数学归纳法而不再使用“证明归纳法”。

（二）数学归纳法的历史

1.数学归纳法最早的使用

数学归纳法是数学中一种重要的证明方法，从普通不严密的“归纳法”到精

确的“数学归纳法”，再到更一般的“超穷归纳法”、“连续归纳法”等，数学

归纳法已经有两千多年的历史了。


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