高中数学教案 数学归纳法

2024年4月10日发(作者：去年潮州中考数学试卷)

高中数学教案 数学归纳法

课题名称：数学归纳法

教案编写人：XXX

教学目标：

1. 了解数学归纳法的概念和应用场景。

2. 掌握数学归纳法的基本原理和方法。

3. 能够运用数学归纳法证明数学命题。

教学重点：

教学准备：

1. 相关的数学教材资料。

3. 活动道具：白板、彩色粉笔、计算器等。

教学过程：

【导入】（约5分钟）

1. 以一则故事引入：

今天，班里的小明考试成绩第一，老师要给他颁发一本数学竞赛的书。大家都为小明

感到高兴，但是小红并没有高兴。她看了看桌子上的试卷，想到了自己还要继续努力，决

定好好学习数学，争取下次考试也能和小明一样取得好成绩。

2. 引入话题：

1. 概念介绍：

在数学证明中，数学归纳法是一种证明方法。它的基本思想是，在已知一个结论成立

的情况下，证明下一个结论成立。

2. 原理和方法介绍：

数学归纳法的基本原理是：如果一个命题在某个时刻成立，而且在该命题成立的情况

下，它在下一个时刻也一定成立，那么这个命题就对所有的时刻都成立。

数学归纳法的基本方法分为三步：

①.证明当n=1时，命题成立；

②.假设当n=k时命题成立，试证当n=k+1时命题也成立；

③.由①、②可得出论断：“命题对于所有的正整数n都成立”。

3. 实例演示：

通过一些具体的例子让学生们理解数学归纳法的应用，练习使用数学归纳法证明数学

命题。

1. 自主学习：发放相关习题，学生自行阅读后自己思考，并完成习题。

2. 小组讨论：将自己的思考结果和小组成员交流，共同商讨解题方法。

3. 课堂讲解：学生可以进行演讲并向全班展示并讲解自己的思考和解题过程。

1. 引导学生回顾本节课所学的知识和方法。

2. 安排时间提出一些疑问，让学生进行思考和交流。

板书设计：

方法：①.证明当n=1时，命题成立；②.假设当n=k时命题成立，试证当n=k+1时命

题也成立；③.由①、②可得出论断：“命题对于所有的正整数n都成立”。数学归纳法是

一种非常基础、实用的数学证明方法。它常常应用于求和、证明等方面，是初中、高中、

甚至在大学中都非常重要的一种知识。掌握了数学归纳法，可以轻松地解决一些看起来复

杂的问题。有些同学对数学归纳法并不熟练，觉得很困难，下面我们来详细讲解一下。

在学习数学归纳法时，第一件事情是要理解数学归纳法的基本原理和方法。我们要找

到初始条件，并证明在初始条件下命题成立。然后，我们需要给出归纳假设，假定当命题

成立k时，命题也成立k+1；接下来尝试通过归纳假设和已知条件来证明命题也在k+1时成

立。我们可以得出结论，命题对于所有的正整数n都成立。

下面我们就以一个简单的例子来进行讲解。假设我们要证明这个等式：

1+2+3+...+n=n(n+1)/2。首先我们要证明当n=1时，这个等式成立，也就是1=1(1+1)/2。

然后我们需要证明，如果当命题成立k时命题也成立k+1，那么命题对于所有的正整数n

都成立。我们假定当命题成立k时，命题也成立k+1，也就是1+2+3+...+k=k(k+1)/2。然

后我们可以把k+1加进等式里，得到1+2+3+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)。进一步计算得

到，1+2+3+...+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。因此命题对于所有的正整数n都成立。

数学归纳法的应用还有很多。比如证明斐波那契数列（Fibonacci sequence）一个常

见的公式：F1=1、F2=1、Fn=Fn-1+Fn-2。我们可以使用数学归纳法证明，当n=1时，显然

等式成立；当n=2时，等式也成立；接下来，我们需要证明当命题成立k和k-1时，命题

也成立k+1，也就是Fn-1+Fn-2=Fn。通过计算发现，

Fn-1+Fn-2=(Fn-2)+[(Fn-3)+(Fn-4)]+[(Fn-5)+(Fn-6)]+...+[(F2)+(F1)]。根据归纳假设，

我们可以知道Fn-2可以用Fn-3和Fn-4表示，以此类推，我们可以得到所有的Fn都是由

F1和F2相加而来。因此命题对于所有的正整数n都成立。

需要注意的是，在使用数学归纳法证明一个等式时，初始条件和归纳假设是非常重要

的。如果设定的初始值或者归纳假设不正确，就不能保证最后的结论成立。有时候也需要

证明归纳假设，确保它的正确性，这样结论才是正确的。

需要提醒同学们，虽然数学归纳法是证明数学等式非常有用的方法，但是在考试中和

实际应用中，也需要灵活运用其他证明方法和技巧。学习数学归纳法是为了掌握一种非常

实用基础的数学证明方法，但并不代表其他数学知识和证明方法的不重要性。除了在数学

中证明等式外，数学归纳法也常常应用于证明某些陈述在所有正整数上成立的问题。我们

可以通过数学归纳法来研究某些公式和结论的性质，以此为基础进一步探索更加复杂的数

学知识。例如在组合数学、数论、微积分等领域都可以看到数学归纳法的应用。

C(n+1,k+1) = C(n,k+1) + C(n,k)

其中C(n,k)是组合数，表示从n个物体中选出k个物体的方案数。当n=1时，我们可

以直接计算C(2,2), C(1,2)和C(1,1)，很容易地发现等式成立。接下来，我们为n=k时证

明等式成立，即C(k+1,k+1) = C(k,k+1) + C(k,k)。这里有一个技巧，我们可以从n=k的

情况下考虑，把组合数转换为组合恒等式的形式。具体来说，我们可以将左边的式子表示

为C(k+1,k+1) = C(k,k) + C(k,k+1)。然后我们可以通过观察等式的模式，把右边的式子

变成C(k+1,k+1) = C(k+1,k) + C(k,k+1)。由于组合数具有递推性，我们可以将右边的式

子转换为组合数的形式，即C(k,k+1) + C(k,k) = C(k+1,k) + C(k+1,k+1)，就得到了下一

步操作所需的归纳假设。

使用数学归纳法还可以证明一些数学结论。我们可以使用数学归纳法证明下列几个关

于正整数的基本结论：

1. 所有自然数的和是n(n+1)/2。

2. 对于所有自然数n，1+2+4+8+...+2^n=2^(n+1)-1。

3. 每个正整数可以表示为若干个不同的三角数之和。

证明这些结论时，我们需要首先证明初始条件，然后通过归纳来证明对于每个n都成

立。对于第一个结论，我们可以证明当n=1时等式成立；然后假设当n=k时等式成立，试

证当n=k+1时也成立。由于1+2+...+k=k(k+1)/2，因此1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2，

等式成立。这样我们就可以得到结论对于所有的正整数n都成立。

数学归纳法是一种非常有用的数学证明方法。它解决了很多我们看似复杂的问题，并

且也可以帮助我们更好地理解数学中存在的规律性和特性。学生们应该根据自身的需要和

实际问题，掌握数学归纳法的基本原理和方法，并灵活运用它在数学领域中的各种问题的

解决中。