1.5 归纳法原理与反归纳法

2024年4月10日发(作者：朝阳2019中考数学试卷)

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1.5 归纳法原理与反归纳法

1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用

的方法． 中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：

如果一个命题与自然数有关， 命题对 n=1 正确； 若假设此命

题对 n－1 正确， 就能推出命题对n 也正确， 则命题对所有自然

数都正确． 通俗的说法：

命题对 n=1 正确， 因而命题对 n=2 也正确， 然后命题对 n=3

也正确， 如此类推， 命题对所有自然数都正确． 对于中学生来说，

这样形象地说明就足够了； 但是毕竟自 然数是无限的， 因而上述

描述是不够严格的， 有了皮阿罗公理后， 我们就能给出归纳法的严

格证明． 定理 1.19 如果某个命题Ｔ ， 它的叙述含有自然数， 如

果命题Ｔ 对 n=1 是正确的， 而且假定如果命题Ｔ 对 n 的正确性

就能推出命题Ｔ 对 n+1 也正确， 则命题Ｔ 对一切自然数都成

立． （第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ 正确的

自然数集合， 则 M1． 设Mn ， 则命题Ｔ 对 n 正确， 这时命题

对(2) Mn 所以由归纳公理Ｄ ， Ｍ含有所有自 然数， 即命题Ｔ 对

所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命

题． 例１ 求证 (1) nn=+1也正确， 即 6)

证明 (1)当 n=1 时， 有 16) 112 () 11

(112=+++= 所以 n=1， 公式正确． (2)假设当 k=n 时， 公式正

确， 即

那么当 k=n＋１ 时， 有

1 / 9

12)(1(nnnn =++++6) 1( 6) 12)(1(2nnnn =+++6+)]1( 6) 12 (n)[1(nnn

=+++6) 672)(1(2nnn =+++6+6) 32)(2)(1(nnn =++++) 1) 1( 2)(1)

1)((1(nnn 所以公式对 n+1 也正确． 在利用数学归纳法证明某

些命题时， 证明的过程往往归纳到 n-1 或 n-2， 而不仅仅是 n-1，

这时上述归纳法将失败， 因而就有了第二数学归纳法． 在叙述第二

归纳法以前， 我们先证明几个与自然数有关的命题． ba ， 则

cbca++． 证明 因为ba 所以 kba+=命题１ 若

kcbckbca++=++=+)( 所以 命题２ １ 是自然数中最小的一

个． 1a， 则 a 有前元 b， 所以 cbca++ 证明

若.)1( 1+,==abaab 命题 3 若（即数a 与 a ＋１ 是邻接的两个

数， 中间没有其他自 然数， 不存在 b， 使得ab ,则kab+=． 因

为1k， 所以1++aka， 即由上述有关自然数大小的命题， 我们得出

下面定理， 有时也称为最小数原理． ab ， 则1+ ab． aba+1． ）

证明 若1+ ab． 定理 1.20 自然数的任何非空集合Ａ含有一个最

小数， 即存在一个数合Ａ中任意数 b， 均有ab ． 证明 设 M 是

这样的集合：

对于 M 中任意元素Mm， 对 A 中任意元素 a ， 均有 Aa ， 使

得对集ma 则 M 是非空集合． M1但Mm m现在我们证明 因为， 由

归纳公理(4)知， 一定存在一个元素Mm+1， MmM得Ｍ＝Ｎ， 这显

然不可能． Am． 因为若 Mm． ， 即否则由Am， 则Ａ中任意元

素ma 1+ ma 所以Mm+1， 与Mm+1矛盾， 所以 m 即为Ａ中最小元