分类讨论思想

2024年4月17日发(作者：重庆中考数学试卷压轴题)

分类讨论思想

1. 分类讨论思想的概念。

人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对

象按照一定的标准实行分类并逐类实行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决，这

种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。其实质是把问题“分而治之、各个击破、

综合归纳”。其分类规则和解题步骤是:（1）根据研究的需要确定同一分类标准；（2）恰当

地对研究对象实行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有

子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗

漏”；（3）逐类逐级实行讨论；（4）综合概括、归纳得出最后结论。

分类讨论既是解决问题的一般的思想方法，适合于各种科学的研究；同时也是数学领域

解决问题较常用的思想方法。

2. 分类讨论思想的重要意义。

课程标准在总目标中要求学生能够有条理地思考，这种有条理性的思考就是一种有顺序

的、有层次的、全面的、有逻辑性的思考，分类讨论就是具有这些特性的思考方法。所以，

分类讨论思想是培养学生有条理地思考和良好数学思维品质的一种重要而有效的方法。无论

是解决纯数学问题，还是解决联系实际的问题，都要注意数学原理、公式和方法在一般条件

下的适用性和特殊情况下的不适用性，注意分类讨论，从而做到全面地思考和解决问题。

从知识的角度来说，把知识从宏观到微观不断地分类学习，既能够把握全局、又能够由

表及里、细致入微，有利于形成比较系统的数学知识结构和构建良好的认知结构。分类讨论

思想与集合思想也有比较密切的联系，知识的分类无时不渗透着集合的思想。另外，分类讨

论思想还是概率与统计知识的重要基础。

3. 分类讨论思想的具体应用。

分类讨论思想在小学数学的学习中有许多应用，例如从宏观的方面来说，小学数学能够

分为数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用四大领域。从比较具体的知识来

说，几大领域的知识又有许多分支，例如小学数学中负数成为必学的内容以后，小学数学数

的理解范围实际上是在有理数范围内，有理数能够分为整数和分数，整数又能够分为正整数、

零和负整数，整数根据它的整除性又能够分为偶数和奇数。正整数又能够分为1、素数和合

数。

小学数学中分类讨论思想的应用如下表。

思想方法 知识点 应用举例

分类讨论分类 一年级上册物体的分类，渗透分类思想、集合思想

思想

数的理解 数能够分为正数、０、负数

有理数能够分为整数和分数（小数是特殊的分数）

整数的性质 整数能够分为奇数和偶数

正整数能够分为1、素数和合数

图形的理解 平面图形中的多边形能够分为:三角形、四边形、五边形、

六边形…

三角形按角能够分为:锐角三角形、直角三角形、钝角三

角形

三角形按边能够分为；不等边三角形、等腰三角形，其中

等腰三角形又能够分为等边三角形和腰与底边不相等的

等腰三角形

四边形按对边是否平行能够分为:平行四边形、梯形和两

组对边都不平行的四边形

统计 数据的分类整理和描述

排列组合 分类讨论是小学生了解排列组合思想的基础

概率 排列组合是概率计算的基础

植树问题 先确定是几排树，再确定每排树的情况

:两端都不栽、一端栽一端不栽、两端都栽

抽屉原理

4．分类讨论思想的教学。

构建抽屉实际上是应用分类标准，把所有元素实行分类

如前所述，分类讨论思想在小学数学中占有比较重要的地位，而且应用比较广泛。在教

学中应注意以下几点。

第一，在分类单元的教学中，注意渗透分类思想和集合思想，一方面是一般物体的分类，

如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数

的理解和运算等。同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作

为一个整体，就能够看作一个集合。

第二，在三大领域知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和

立体图形的分类、数的分类。

第三，注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、

抽屉原理等问题经常使用分类讨论思想解决。

第四，在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。现实生活中的数据丰富多彩，许

多时候需要把收集到的数据实行分类整理和描述，从而有利于分析数据和综合地做出推断。

第五，注意让学生体会分类的目的和作用，不要为了分类而分类。如对商品和物品的分

类是为了便于管理和选购，对数学知识和方法实行分类，是为了更深入地研究问题、理解知

识、优化解决问题的方法。

第六，注意相关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。也就是说，

有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不一定成立；而这种特殊性在小学数学里往

往被忽略，长此以往，容易造成学生思维的片面性。如在小学里经常有争议的判断题:如果

5a＝2b，那么a:b＝2:5；有人认为是对的，有人认为是错的。严格来说，这道题是错的，

因为这里并没有规定a和b不等于0。之所以产生分歧，是因为在小学数学里有一个不成文

的约定：在讨论整数的性质时，一般情况下不包括0。这种约定是为了避免麻烦，有一定道

理；但是这样就造成了在解决有关问题时产生分歧，而且不利于培养学生思维的严密性，尤

其是学生进入初中后的学习中，经常会因为解决问题不全面、忽略特殊情况而出现低级错误。

案例1：下图中共有多少个长方形？

分析：此题可分类计数，分以下几步：

单一的长方形：3×3＝9；

由两个单一长方形组成的长方形：横数2×3＝6，竖数2×3＝6，6+6=12；

由三个单一长方形组成的长方形：横数1×3＝3，竖数1×3＝3，3+3=6；

由四个单一长方形组成的长方形：4；

由六个单一长方形组成的长方形：4；

由九个单一长方形组成的长方形：1。

共计 9+12+6+4+4+1=36（个）。

案例2：任意给出4个两两不等的整数，请说明：其中必有两个数的差是3的倍数。

分析：任意一个整数除以3，余数只有三种可能：0，1和2。运用分类思想，构造这样

的三个抽屉：除以3余数分别是0，1和2的整数。根据抽屉原理，必有一个抽屉里至少放了两

个数，这两个数除以3的余数相等，设这两个数分别为3m+r和3n+r(m、n都是整数)，它们的

差是3(m-n)，必是3的倍数。