初中数学分类讨论教学研究初中数学中的分类讨论问题是近年来中考的热点

2024年4月17日发(作者：初三数学试卷真题北师)

初中数学分类讨论教学研究

初中数学中的分类讨论问题是近年来中考的热点内容之一。它是教学的难点，怎样在教学中

实施分类讨论问题的教学？这是许多教师都在研究的课题。本文从抓住分类讨论的动因与讨

论的方法入手，讲述了怎样在初中数学教学中实施分类讨论问题的教学。有关初中数学中分

类讨论的动因本文归纳了以下几个方面：由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对

其进行分类讨论；由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论；由于问

题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；由于问题中几何图

形的不确定而需要对其进行分类讨论。知道了分类讨论的动因，可以得出分类讨论的方法。

其中由于问题涉及到分类讨论思想的概念而需要对其进行分类讨论是最重要的分类讨论思

想。 在数学中，如果一个命题的题设或结论不唯一确定，有多种可能情况，难以统一解答，

就需要按可能出现的各种情况分门别类地加以讨论，最后综合归纳出问题的正确答案，这种

解题方法叫做分类讨论法。它是一种比较重要的解题方法，也是近年来中考命题的热点内容

之一。要用分类讨论法解答的数学题目，往往具有较强的逻辑性、综合性和探索性，既能全

面考查学生的数学能力又能考查学生的思维能力。分类讨论问题充满了数学辨证思想，它是

逻辑划分思想在解决数学问题时的具体运用。掌握好这类问题对提高综合学习能力会有很大

帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态

度。 然而，初中数学中的分类讨论问题往往是学生不容易掌握好的一类问题，学生碰到此

类问题常常是不知道要进行分类讨论或者知道了要分类讨论而无从入手，造成解答此类问题

时得分率偏低，原因大多数是没有掌握好初中数学中的分类讨论思想。 那么，怎样才能使

学生掌握好初中数学中的分类讨论思想呢？ 明确分类讨论的动因与讨论的方法，分类时要

条理分明，做到分类讨论既不重复也无遗漏。这是解答初中数学中分类讨论问题的基本方法。

在解题时，要抓住分类讨论的动因，明确分类讨论的方法。运用分类讨论方法解题的关键就

是思辨清楚讨论的动因与讨论的方法，就是为什么要讨论？怎样讨论？思路清了，解题的框

架确定了，解题就严密完整、叙述就条理分明。 在初中数学中，有关涉及到分类讨论思想

的问题很多，题目也比较繁杂。这类问题有没有一种共性？解此类题目有没有一种切实可行

的方法？实际上，初中数学中涉及到分类讨论的问题大多是以下四种情形的分类讨论，掌握

好以下四种情形的分类讨论，学生就能知道分类讨论问题并不怎么神秘，当碰到问题时基本

上能够抓住分类讨论的动因从容应答了。(说明：本文为叙述方便，把一些分情况讨论的问

题也作为分类讨论问题。) 一、由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行

分类讨论。 在教学中，要让学生对涉及到分类讨论思想的概念有正确的认知、理解和牢固

的掌握。 首先，教师应对初中数学中的概念有全面、系统、完整的认识，尤其是涉及到分

类讨论思想的概念。在初中数学中的一些概念中，有许多概念涉及到分类讨论思想，作为一

名初中数学教师更应对这些概念有正确、深入、透彻的理解，在讲授这些概念时要准确、科

学，不能含糊不清或图一时的省力而随意篡改这些概念。 曾听说过这样一个事例：某教师

在讲授绝对值这一概念时，图一时的省力，教学生求一个数的绝对值只要把绝对值里面的负

号去掉就可以了，如：|3|=3；|-0.5|=0.5；……。 结果出现了象｜a｜=a这样的错解。究其原

因，该教师没讲清绝对值这一概念，让学生对这一概念的有了一个错误的认识：求绝对值只

要去掉绝对值里面的负号。把学生引入歧途，害人不浅。实际上，绝对值概念是一个需要分

类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数

轴上表示这个数的点与原点的距离。学生自然而然的会得出绝对值的三种分类讨论情况，也

就是: a ( a>0) |a| = 0 ( a = 0 ) -a ( a<0 ) 该教师讲授的绝对值的概念

非但错误，而且也抹杀了学生的创新精神和探索精神。所以，教师对概念的讲解必须准确、

科学，特别是涉及到有关分类讨论思想的概念，要让学生对这样的概念有正确的认识、理解。

其次，使学生牢固掌握初中数学中有关涉及到分类讨论思想的概念。要达到这一目的可以采

用讨论式归纳出概念、教师加以归纳精炼和增加变式训练的教学方法。 例如，初中数学中

两圆的五种位置关系是一个分类讨论思想的概念，在讲授两圆位置关系这一课时，教师可让

学生准备大小不等的两个圆，让学生自己动手操作、归纳出两圆(半径不等时)有哪几种位置

关系，教师再加以归纳总结，得出两圆(半径不等时)的五种位置关系：相离(外离、内含) 、

相切(外切、内切) 、相交。这样既培养了学生的探索精神，又有助于学生牢固掌握两圆的

五种位置关系。两圆的五种位置关系中归纳出的两圆的半径r1、r2与两圆的圆心距d之间

的关系，比较繁琐，学生不容易记忆，为了帮助学生牢固掌握，可以精炼成这样一个图形：

内含 相交 外离 ———————

——————————————————————→d 0 ｜r1-r2｜

r1+r2 d=｜r1-r2｜←→两圆内切；d= r1+r2 ←→两圆外切。

这样学生就能形象、直观、生动和牢固的掌握这一知识点，在碰到问题时也就能迎刃而解了。

例如： 如果⊙O1、⊙O2的半径分别为4、5，那么下列叙述中，正确的是( ) (A) 当

O1O2=1时，⊙O1与⊙O2内切； (B) 当O1O2=5时，⊙O1与⊙O2有两个公共点； (C) 当

O1O2>6时，⊙O1与⊙O2必有公共点； (D) 当O1O2>1时，⊙O1与⊙O2至少有两条公

切线。(上海市2001年中考18题) 运用以上提到的记忆两圆位置关系的方法就能迅速、准

确的判断出四个选项中两圆的位置关系：(A) 内切；(B) 相交；(C) 相交、外切或外离；(D)

相交、外切或外离。这样问题也就迎刃而解，得正确答案：(ABD) 。在讲授一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△时，我们都知道要适当增加一些变式训练，及时反馈教学信

息，以帮助学生牢固掌握一元二次方程根的判别式的三种分类情况： △>0←→一元二次

方程有两个不相等的实数根； △=0←→一元二次方程有两个相等的实数根； △<0←→一

元二次方程没有实数根。 学生只有对初中数学中涉及到分类讨论思想的概念有了正确的认

知、理解和牢固的掌握，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，有利于培养和发展学生

思维的条理性、缜密性，从而提高学生分析问题和解决问题的能力。 二、由于问题的题设

和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论。 例如： 求函数y=(k-1)x2+kx+1与x轴

的交点坐标。（外省市中考题） 本题的条件是不唯一的，该函数是什么函数？问题中没有

说明。有几种可能情况呢？两种：一次函数或二次函数。所以要分为二类：(1) 当此函数为

一次函数时，k=1，求得与x轴交点为(-1，0) ；(2) 当此函数为二次函数时，k≠1，△=(k-2)2 ，

①△>0，即k≠2时，有两个交点(-l，0) 、(1/(1-k) ，0) ；② △=0，即k=2时，有一个交

点(-1，0) ；③△<0，即(k-2)2 <0，不存在k的取值。综合以上分类解题过程，得出本题的

正确答案为：k=1时，与x轴交点为(-1，0) ；k≠1且k≠2时，与x轴交点为(-1、0) 、(1/(1-k) ，

0) ；k=2时，与x轴交点为(-1，0) 。 又如： 如图，如果四边形CDEF旋转后能与正方

形ABCD重合，那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有____个。(上海市1999

年中考填空题第19题) 本题的题设和结论也是不唯一确定的，显然，符合条件的旋

转中心必在边CD上，可以这样分类：(1) 绕点C旋转，有一解；(2) 绕点D旋转，有一解；

(3) 绕CD上异于C、D的点旋转，只能是CD的中点。这样就得出了本题的正确答案：有

3个。 由以上两例，我们知道解此类问题的关键是审清题意。审题是解题的重要一环，在

教学中应强调审题的重要性。教师在讲解例题时，应作出认真审题的示范并要求学生养成认

真审题的习惯。学生解此类问题的错误往住是由于不细心审题，没有弄清已知条件或未知结

论中的不定因素而急于解题所造成。只有审清了题意，全面、系统的考虑问题，把握住了问

题中的不定因素和不定因素的各种可能情况，就可以确定出分类的框架，分类时也能做到标

准一致，条理清楚，解答此类问题就不易造成重复或漏解。 三、由于问题中含有的参变量

的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论。 已知一次函数y=-x+8和反比例函

数y=k/x (k≠0) (1) k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标平面中的图象有两个交点？