考研高数习题集上

2024年3月30日发(作者：长沙雅礼中学数学试卷)

上册目 录

第一讲: 极限与连续……………………………2

单元一: 未定型极限(1)……………………………………………………………………………2

单元二: 未定型极限(2)……………………………………………………………………………3

单元三: 未定型极限(3)……………………………………………………………………………4

单元四: 未定型极限(4)(含



x

a

f(t)dt

)……………………………………………………………6

单元五: 特殊求极限法…………………………………………………………………………….7

单元六: 无穷小比较..……………………………………………………………………………...9

单元七: 函数连续性……………………………………………………………………………...10

单元八: 渐近线讨论……………………………………………………………………………...12

单元九: 介值定理………………………………………………………………………………...13

第二讲: 导数和应用…………………………...14

单元一: 定义求导………………………………………………………………………………..14

单元二: 公式与法则……………………………………………………………………………..16

单元三: 特殊求导法……………………………………………………………………………..18

单元四: 斜率与切线……………………………………………………………………………..20

单元五: 单调性与极值…………………………………………………………………………..20

单元六: 单调性应用……………………………………………………………………………..23

单元七: 二阶导应用……………………………………………………………………………..26

单元八: 中值定理………………………………………………………………………………..28

单元九: 泰勒公式………………………………………………………………………………..30

第三讲: 一元积分学…………………………32

单元一: 原函数与不定积分……………………………………………………………………...32

单元二: 定积分性质……………………………………………………………………………...35

单元三: 定积分计算……………………………………………………………………………...36

单元四: 定积分几何应用………………………………………………………………………...39

单元五: 定积分物理应用………………………………………………………………………...41

第四讲: 微分方程……………………………43

单元一: 一阶方程………………………………………………………………………………...43

单元二: 可降阶方程……………………………………………………………………………...44

单元三: 高阶线性方程…………………………………………………………………………...45

单元四: 应用方程………………………………………………………………………………...46

1 / 49

第一讲: 极限与连续

单元一: 未定型极限(1)

1. 若

limf(x)4

, 则: [

D

]

x2

A:f(2)4

;

B:f(2)4

;

D:xU(2)

时

f(x)4

;

D:xU(2)

时,

3f(x)5

00

x

sinxsinx

[]

]

lim

n

n

n

x

2

n

x

2sin

n

2



x

x0

nx



1

xe

(2)

lim

; [



2

,x0

]

n

1e

nx



x0



1

2. (1)

lim[cos

xx

cos

24

cos

3. (1)

lim(x

x

xxx)

; [

lim

2x

xxxx

x

1

]

(2)

limx(x10x)

[lim

x

2

10x

x10x

2

x

5]

1

5

11112

1)limx(0())

]

x

xx3x5xx15

(3)

lim(xx

x

3

32

5

x

5

x

4

)

[

limx(

3

1

x

f(x)2x

3

f(x)

2,lim3

, 求

f(x)

. 4. 设

f(x)

是多项式, 且

lim

xx0

x

2

x

[

f(x)2x2x3x

]

5.

lim[axbxc(kxd)]0,(a0)

,求

k,d

与

a,b,c

的关系.

x

2

32

[

lim

ax

2

bxc(kxd)

2

axbxckxd

2

x

0,ka,d

b

2a

]

6.

limx[]

, 其中: (1)

x3

; (2)

x

; (3)

x2

xx

0

2

x

[(1)

limx[]0

; (2)

f(),f()0

; (3)

f(2)2,f(2)0

]

x3

2

x

x

2

axb

(x2)(x4)

,a2,b8]

2

,求:

a,b

.

[lim

7.

lim

2

x2

xx2

x2

(x2)(x1)

8.

f(x)

e1

e1

1

x

1

x

1



arctan

, 求:

limf(x)

[

f(0)f(0)

]

x0

x

2

2 / 49

单元二: 未定型极限(2)

1. 求极限:

(1)

(1)

lim



sinx



x

tanx





. [

1

] (2)

lim(1

x

2

1

x

3

)

[

0

]

2

x

(3)

lim



2x



x1

tanx

2



x

3e

)

cscx

[

e

1

] [

e



] (4)

lim(

x0

2x

2

1

1

sinx

x

2



1

6

)

[

e

] (6)

lim



lnx



xe

[

e

e

] (5)

lim(

x0

xe

x

1

2

(lnaln

2

b)

a

x

xlna

x

2

2

)

[

e

[

e

] (8)

lim(

x

]

x0

bxlnb

x

1

(7)

lim



cosxxsinx



x

2

x0

1

x

1

1

2

1

(9)

lim(1e)

x

x

cot

[

e

x

e

x

lim

e

0

1

]

1

2

ln(1x)1

(1x)

1

1

1

ln(1x)x1

x

x

]

[

lim[e1]lim;

(10)

lim[

x0

x0

x

x0

e

x

2

2

1

x

e

]



2.

K,L,



0

, 求:

lim[



K

x0

x

(1



)L]

K



L

1



]

x



1

x

[

lime

x0

1

[



K

x





(1



)L

x

(1



)]

x

e

1

[



xlnk(1



)xlnL]

x

3.求极限(对比)

(1)

lim(

x0

34

)

[

lime

x0

2

xx

1

x

ln(3

x

4

x

)ln2

x

3

x

ln34

x

ln4

lime

x0

3

x

4

x

12

]

3

x

ln34

x

ln4

ln(3

3

x

4

x

1

)

x

[

lime

(2)

lim(

x

x

2

x

4

x

)ln2

x

lime

x

3

x

4

x

4

]

4.求极限

(1)

lim(cos

n

xxxx



x1





sin)

n

; [

limn(cos



sin1)limn[0()]



x;e



x

]

nn

nnnnnn

1

1

n

2

(2)

lim(ntan)

[

e

3

]

n

n

1

n

(3)

lim(1n)

n

[

lime

x

ln(1x)

x

lime

x

2x

1x

1

]

sinxlncotx

(4)

lim(cot)

x0

sinx

[

lime

x0

e

0

1

]

3 / 49

单元三: 未定型极限(3)

5x4

5x4

[

lim5

]

x

x

2

1

x

xsin

x

0

2. 求极限:

()

0

1.

lim

1

1

3sinxx

2

cos

x

[

lim

x



3

] (1)

lim

x0

(1cosx)ln(1x)

x0

2x2

3sinxx

2

cos

x

x

1x

x

1e

xlnx

1

[limlim1]

(2)

lim

x1

xlnx

x1

xlnx

x1

xlnx

(3)

limlnxcot(x1)

[

lim

x1

x1

2

lnxx11

lim

]

x

2

1

x1

x

2

12

x

1

4

(4)

limtan2xtan(x)

[lim]





cos2x

4

2

x

x





4

4

(5)

lim

x1

lncos(x1)

1sin



2

[

lim

t0

lncost

1sinx



2

lim

t0

cost1

1cos(1t)



2



t

4



2

]

arctan(x

2

2x)2t2t2

arctan(x

2

2x)

limlim

(6)

lim

[

lim

]

x2t0t0

x2

sin3



xsin3



(t2)sin3



t3



sin3



x

ln(1xx

2

)ln(1xx

2

)ln(1x

2

x

4

)

1

] (7)

lim

[

lim

2

x0x0

secxcosxx

1(x1)

2

1

(1x)(1

3

x)



] (8)

lim

[

lim

2

2

x1

x1

6(1x)6

(1x)

(9)

lim

x0

1xsinxcosx

1xsinxcosx1

[

lim

]

x0

x

2

2x

2

2

3. 求极限(洛必达法则):

3

x

ln3

x

1

2

tanxsinx

[ln3]

(1)

lim

[

3

] (2)

lim

x0

x0

1cosx

xsinx

(3)

lim

arctanxx

1xsin(sinx)1

[]lim[]

(4)

x0

ln(1x

3

)

x0

3x

3

3

1



2

1x1x2

1

(5)

lim

[]

(6)

lime

x

x

100

[0]

2

x0

x0

x

4

4 / 49

(7)

lim

ax

xa

xa

xa



a0



[a

a

(lna1)]

(8)

lim

x0

(1x)e

e

[]

x

2

1

x

(9)

lim

lnx

lnsin5x1

[]

[1]

(10)

lim

x0

ln(sinx)

2

2

x0

lnsin2x

a

x

b

x

lnalnb

1

22

)

(11)

lim(

[(lnalnb)]

2

x0

xx

2

(12)

lim

x0

x2cosxsinx1

12cosx

x

[limln()lim)]

[()1]

x0

x

3

x0

2x(2cosx)36

x

3

3

4. 求极限(对比)

e

x

1xe

x

e

x

11

1e

x

1

)lim

] (1)

limln

; [

lim(

x

x0

e1

x0

x(e

x

1)

x0

x

x2

x

e

x

1xe

x

e

x

1

1e

x

1

)lim1

] (2)

limln

[

lim(

xx

xx

x

x

e1xx(e1)

x

5.

lim[(x2)ln(x2)2(x1)ln(x1)xlnx]

x

[

lim[(x2)ln(1

x

11

)xln(1)]110

]

x1x1

6. 求极限(泰勒公式)

x

2

1x1

2

[



1

] (1)

lim

x

2

x0

(ecosx)sinx

2

12

2

cosxe

(2)

lim

x0



x

2

2



x

6

2

1

4

x

12

[

7

]

360

(3)

lim[xxln(1)][]

x

1

x

1

2

a

2

a1

2

(4)

lim[(

2

a)ln(1ax)]

[]

x0

x

2

x

ln(1x)(axbx

2

)

2

, 求:

a,b

7. 已知:

lim

2

x0

x

1

xx

2

0(x

2

)axbx

2

5

2

[

lim

]

2,a1,b

2

x0

x2

5 / 49

单元四: 未定型极限(4)(含

1. 求极限:

(1)

lim



x

a

f(t)dt

)

x



x

0

(1t

2

)e

t

x

2

x

2

dt

x

[lim



0

(1t

2

)e

t

dt

xe

x

2

2

x

1

]

2

(2)

lim

1

cos2t

1

1

cos2t

1

dt

[limxdt]

1

2

2



x

n

n



x0

4t4

n

4t

sinx



(3)

lim



x0

0

tanx

0

tantdt

sintdt

x

2

[lim

tan(sinx)cosx

sin(tanx)secx

2

x0

1]

2. 设

f(x)



x

(1

1

t

1

1

)sindt,(x0)

, 求

limf(n)sin

.

n

2t

n

t

[

lim

x

f(x)

2e

]

x

x

n

0

3.

f(x)

在

[0,)

上连续,

limf(x)A0

, 证明:

lim



1

f(nx)dxA

.

x



[

lim

n

n

0

f(t)dt

n



lim

x

0

f(t)dt

x

limf(x)A

]

x

x

2

x

f(t)dt

,其中

f(x)

为连续函数



a0



,则

limF



x





[

B

] 4. 设

F(x)

xa

xa



a



A



a

2

;



B



a

2

f



a



;



C



0

;



D



不存在

5.



f(x)

连续,

f(0)1

, 求

lim

x0

x

2

0

x

2

0

(xt)f(t)dt

xln(1x)

2

.



[

lim

x0

f(t)dt2x

2

f(x

2

)2x

2

f(x

2

)

3x

2

1

x

6.

f(x)

连续,证明:

lim



[f(th)f(t)]dt

f(x)f(a)

h0

h

a

ah

1

xh

f(t)dt



f(t)dt]f(x)f(a)

] [

lim[



xa

h0

h

6 / 49

2xf(x

2

)1

lim

]

x0

6x3

单元五: 特殊求极限法

1. 求:

limx

n

n

(1)

x

n



n

13

n

5

n

2009

n

[

2009x

n

2009

n

1005

]

nbnnbnb

]

x

n



anaanan

1111

n

(3)

x

n



[

0x

n



]





1



nn1nnn

(2)

x

n

[]

; [

({})

2

n

4

(4)

x

n



[

0x

n



]

n!

n

n

(12

(5)

x

n



n!

1

2

n

2

n)

[

0x

n



]

n!

(6)

x

n

(n!)

n

[

1x

n



n

n

]

nn

x

n

x

n

(a1)

n

(nN)

] 2. 设

limx

n

a0

, 求:

lim

[

0

n

n!

n

n!n!



3.

{a

n

}

非负不增,



a

n

发散, 证明:

lim

n1

a

2

a

4

a

2n

1

n

aaa

2n113

a

2n1

aa

x

n



13

a

2n1

a

1

a

3



a

2n1

1

]

a

2n1

[

1

aa

a

1



35

a

1

a

3

a

2n1

a

1

a

3



nn

4.

(a)



nn1

为单调递增正数列, 证明:

lim[a

1

a

2



n

a]lima

n

.

n

1

n

n

n

[

a

n

x

n



n

na

n

]

5.

f(x),g(x)C[a,b]

,且

f(x)0,g(x)

非负,求:

lim

n

a



b

g(x)

n

f(x)dx

[Nf(x)M,

n

N



g(x)dxx

n



n

M



g(x)dx]

aa

bb

6. 设非负连续函数

f(x)

在

[0,)

上单调递减,

a

n





k1

n

f(k)



f(x)dx(n1,2,3,)

,

1

n

证明数列

{a

n

}

的极限存在

[a

n

a

n1

f(n)

7. 设

x

1

1,x

n

1



n

n1

f(x)dx0

,

a

n

f(n)

]

x

n1

n2,3,



1x

n1



, 证明数列



x

n



极限存在,并求此极限.

, 且

x

n

2

,

limx

n



n

[

x

2



3x1

x

1

,f(x)1,f\'(x)0,x

n

2

21x(1x)

7 / 49

15

]

2

1

)(n2,3,)

, 证明:



a

n



收敛.

n

2

111

(1

4

)(1

4

)(1

4

)



1

23n



1

2

] [法(1)



ln(1

2

)

收敛; 法(2)

a

n

,a

n



111n1

n

n2

(1

2

)(1

2

)(1

2

)

23n2n

8. 设

a

n

(1

11

)(1)

2

2

3

2

(1

9.

a

1

3,a

n1

3a

n

, 求:

lima

n

.

n



a

3

[法(1):准则

a

n

3,

n1

1

; 法(2):

a

n

3

24

a

n

a

n

11



1

2

n

3

]

10. 设

a

1

2,a

n1



11

(a

n

),(n1,2,3,)

, 证明:

lima

n

存在, 并求出其极限

a

.

n

2a

n

[

a

2



511

11

a

1

,a

n

1,a

n1

a

n

(1)(a

n

a

n1

)0

,

a(a),a1

]

42a

n1

a

n

2a

n

11. 设

x

n1

6x

n

(n1)

, 证明:

limx

n

存在, 并求出其极限

a

, 其中:

(1)若

x

1

10

[

x

n

(2)若

x

1

0

[

x

n

12. (1)

lim(sin

x

,x

n

0,limx

n

3

]

n

,x

n

3,limx

n

3

]

n

x1sinx)

[

limcos



(x1x)0

]

x

x

2

1

] (2)

limx[arctan(x1)arctanx]

[

lim

x

1(x



)

2

x

2

1

13. (1)

lim

n



n1



n2



n

n

n



nn



[

e



1

0

ln(1x)dx



4

]

e

lnxdx

n!

1



0

lim

e

] (2) [

n

n

e

1

i

sin



n

n

. 14.

lim



n

i

i1

n

n

1

1

n

i1

n

i2

sin



xsin



,limxsin



xdx

[]



n



n

n

n



0

n

n1

i1

n

i1



8 / 49

单元六: 无穷小比较

1. 当

x

时, 变量

1

的(

D

)无穷小.

x

2

A:

高阶;

B:

同阶不等价;

C:

等价;

D:

低价.

x

2

2x

2

2

是

2. 当

x0

时,

f(x)232

是

x

的什么无穷小？

xx

2

x

3

x

2

ln6

同阶不等价] [

lim

x0

x

3. 当

x0

时,

cosx1x

2

是

x

的什么无穷小?

2

cosx1x

2

0

, 高阶] [

lim

x0

x

2

4. 当

x0

时,

11



,低价] 是

x

的什么无穷小？ [

lim

x0

xlnxlnx

1

的什么无穷小?

n

1

n

1e

[

(1)ee[nln(1)1]

,同阶不等价]

nn2n

5. 当

n

时,

(1)e

是

n

1

n

6. 当

x0

时,

[

8

]



xxx



x

, 求:



x

2

x

7. 当

x0

时,比较无穷小:





[



\'cosx

2





x

0

costdt,







tantdt,







sint

3

dt

的阶

00

2

1,



\'2xtanx

tanx

2x,



\'

2

1

2x

sinxx

x



2

2

3

x,



3

x

2

,



4

x

]

8. 当

x0

时,

ee

x

是

x

的几阶无穷小?

22

[

(tanxx)\'secx1tanx

1

1x

x

2

,

e

tanx

e

x

e

x

(e

tanxx

1)tanxx

1

3

x

]

3

9. 当

x0

时,

(1x)

[



1

是

x

的几阶无穷小?

1x

ln(1x)

ln(1x)

1x

1

3

x

]

2

10. 当

x0

时,

f(x)

(1)

ln(2xe)

(2)

22x

kx

n

?

, 其中:

f(x)

?

[

2x

2

e

2x

12x

]



x

0

ln(1arctant)dt?

[



x

0

tdt

1

2

x

]

2

9 / 49

1

3

x]



0



0



0

3

11

2

2

2222

(4)

ln(1xx)x?

; [

xx(xx)xo(x)x

]

22

15

3

3

3333

(5)

sin(xx)x?

[

xx(xx)xo(x)x

]

3!6

(3)

x

arctan(tx)dt

2

?

[

x

arctantdt

2

x

t

2

dt

(6)

12x

3

13x

[

1

?

111111121

2

(2x)()(2x)

2

1(3x)()(3x)

2

o(x

2

)x

]

222232332

x

f(x)

11.

f

有连续导数,且

lima0

,当

x0

时,

F(x)



(x

2

t)f(t)dt

?

F\'(x)?

0

x0

x

[

F\'(x)2x



x

0

F\'(x)

f(t)dtxf(x)xf(x),lim

2

a

,

F(x)

x0

x

2

ax

3



,

F\'(x)

3

ax

2

]

12.

f(x)

在

x0

的某邻域内具有一阶连续导数, 且

f(0)0,f\'(0)0

, 若:

af(h)bf(2h)f(0)

在

h0

时是比

h

高阶的无穷小, 求:

a,b

.

[F(0)(ab1)f(0)0,F\'(0)(a2b)f\'(0)0a2,b1]

13. 设



,



为无穷小, 且







,

(1)证明:

ln



1





ln



1











;

[ln



1





ln



1





ln(1

(2)问:

ln



1





ln



1











)







]

1









?

[ln



1





ln



1















, 否]

单元七: 函数连续性

1. 设

f(x)

和

g(x)

在

(,)

内有定义,

f(x)

为连续函数,且

f(x)0,g(x)

有间断点, 则

必有间断点的函数是:

[D]

A:

g[f(x)]

;

B:

[g(x)]

2

;

C:

f[g(x)]

;

D:

2. 考察函数连续性:

10 / 49

g(x)

f(x)

(1)

f(x)

1

1e

x

1x

;

[(1)

limf(x)x0

无穷; (2)

f(1)0,f(1)1x1

跳跃]

x0

(2)

f(x)(1x)arctan

1

1x

2

[(1)

limf(x)0x1

可去; (2)

f(1)



,f(1)



x1

跳跃]

x1

3. 设

f



x







x3



x1



43xxx1

2

. (1)写出连续区间; (2)确定间断点,并判别其类型.

[(1)

[1,3),(3,4]

; (2)

limf(x)

x3

x

16

x3

可去]

7

4. 求

f(x)(1x)

tan(x)

4



在

(0,2



)

内的间断点, 并判别类型

[(1)

x

3



7





5



可去; (2)

x,

第二类]

,

4444



pa

x

qa

b

xb



5.

f



x







xb

,确定

p,q

,使

f



x



在

xb

处连续.



a

b

lnaxb



[

pq0,palnaalna,p1,q1

]

6. 考察

f(x)

在

x0

处为何种间断点, 其中

f(x)

:

(1)

f(x)e



[x]

x

bb

[

f(0)0,f(0)1x0

跳跃]

(2)

f(x)[

(3)

f(x)[

1

]

[

f(0)1,f(0)0x0

跳跃]

1x

1

]

[

limf(x)0,f(0)1x0

可去]

x0

1x

2

x2



x



x

x1



,,g(x)



2(x1),2x5

, 考察

f[g(x)]

的连续性. 7. 设

f(x)





1x

x1



x3x5



[

g(x)

连续,

g(x)1x1

时,

f[g(x)]

为跳跃间断点]



1

(n1)x



,x0

8. 求

f(x)lim

的间断点, 并判别类型. [

f(x),x0

无穷]



x

n

nx

2

1





0x0

11 / 49

单元八: 渐近线讨论

1. 求曲线

f(x)xln(e)(x0)

的渐近线.

[

limf(x),limf(x)0,alim

xx0

1

x

x

f(x)11

1,blim[f(x)x]yx

]

x

xee

2. 求曲线

f(x)3x

lnx

1

的渐近线方程.

2x

[

(1)x0;(2)y3x1

]

3. 考察下列函数曲线的渐近线.

1

[

y1

]

x

1

(2)

yxcos

[

yx

]

x

1

(3)

y(x1)cos

[

yx1

]

x

(1)

yxsin

(4)

y(x1)cos

1

x

1

1

[

yx

]

2

x

(5)

yxe

[

yx1

]

4. 已知

lim[x(1)axb]0

, 求:

a,b

.

x

1

x

x

[

alim(1)e;blim[x(1)ex]lim

xxt0

1

x

x

1

x

x

(1t)ee



]

t2

1

t

12 / 49

单元九: 介值定理

1.

f



x



在

[0,)

上连续, 且



1

0

f



x



1

f



x



dx,lim0

, 证明:









0,



, 使:

2

x

x

f











0

.

[

F



x



f



x



x

,(1)

(2)

lim



F



x



dx0x[0,1],F(x)0

,

0

11

1

F



x



1x

2

1,F(x

2

)0

,





(0,),F(



)0

]

x

x

2.

yf(x)

在

[0,1]

上非负连续,(1)证明:

x

0

(0,1)

,使在

[0,x

0

]

上以

f(x

0

)

为高的矩形面

积等于在

[x

0

,1]

上以

yf(x)

为曲边的梯形面积

(2)又若

f(x)

在

(0,1)

内可导,且

f\'(x)

[(1)

(x)xf(x)

3.

f(x)

在

[0,1]

上连续, 非负, 且

f(0)f(1)0

, 证明:

l(0l1),



[0,1]

,使得:

2f(x)

, 则证明(1)中的

x

0

是唯一的

x



1

x

f(t)dt,(0)0,(1)0

, (2)

\'(x)2f(x)xf\'(x)0

]

f(



)f(



l)

[

F(x)f(x)f(xl)F(0)f(l),F(1l)f(1l)

异号

F(



)0

]

4. 若

f(x)

在

[a,b]

上连续,

m,n0

, 证明:





[a,b]

, 使得:

(mn)f(



)mf(a)nf(b)

[

f

min



13 / 49

mf(a)nf(b)

f

max

]

mn

第二讲: 导数和应用

单元一: 定义求导

f(x)cosx1

[

[f(x)cosx]\'

x0

x

f(x)(cosx1)f(x)f(0)

[

lim10f\'(0)2

]

x0

x

1. 设

f(0)1,f\'(0)2

, 求:

lim

2. 设

f



x



可导,

f



0



1,f\'



0



0

, 求:

lim

x0

x0

2

]

f(sinx)1

lnf(x)

[lim

x0

f(sinx)f(0)x0sinx

1]

sinx0lnf(x)lnf(0)x

xa

3. 设

lim

f(x)bsinf(x)sinb

.

A

, 求:

lim

xa

xaxa

sinf(x)sinbf(x)b

Acosb

]

xa

f(x)bxa

[

lim

4. 设

f(x1)af(x),f\'(0)b(a,b0)

, 求:

f\'(1)

.

[

f\'(1)lim

x0

f(x1)f(1)a[f(x)f(0)]

limab

]

x0

xx

5. 设

f(1x)3f(1x)8x(1sinx)

, 并且

f(x)

可导, 求

f\'(1)

.

[f(1)0,f\'(1)3f\'(1)lim

x0

8x(1sinx)

f(1x)3f(1x)

lim8,f\'(1)2]

x0

xx

6.

yy(x)

满足:

yln[tan(xx)]xo(x)

, 求:

y\',y\"

.

[

y\'lim

1

2

2

y1

]

ln(tanx),y\"

x0

xsinxcosx

7. 若

yf(x)

在

xx

0

处有:

y(1x)1(x)

, 则在

xx

0

处有:

dy?

[

y\'lim

8. 求

f\'



a



,其中

f



x



分别为:

(1)

f(x)(xa)



(x)

,



连续; [

lim

x0

y11

,dydx

]

x22

(xa)



(x)





(a)

]

xa

xa

xa

(2)

f(x)xa



(x)

,



连续,



(a)0

; [

lim

xa



(x)

0

]

xa

(xa)

2



(x)

0

] (3)

f(x)(xa)



(x)

,



有界. [

lim

xa

xa

2

14 / 49

9.

f(x)2

ax

\'\'

, 求:

f\'(a)

. [

f



(a)ln2,f



(a)ln2,f\'(a)

不存在]

10.

f(x),g(x)

在

(,)

上满足: (1)

f(xy)f(x)g(y)g(x)f(y)

(2)

f(0)0,g(0)1,f\'(0)1,g\'(0)0

, 证明:

f\'(x)g(x)

.

[

f\'(x)lim

x0

f(xx)f(x)



x

f(x)g\'(0)g(x)f\'(0)g(x)

]

11. 问

f



x



在

x0

处是否连续?可导?



x

,x0

1



\'\'

(1)

f(x)



1e

x

[

f



(0)1,f



(0)0

]





0,x0



1cosx

,x0



\'\'

(2)

f(x)



,其中

g



x



有界 [

f



(0)f



(0)f\'(0)0

]

x



x

2

g(x),x0





2





x

1

2

x

2t



2,x0

(3)

f(x)



[

f\'(0)limlim

t

2

0

]

x0t

x

2



0x0



1

1

1



g(x)cos



g(x)cos,x0

x

0

] (4)

f(x)



, 且

g(0)g\'(0)0

.[

f\'(0)lim

x

x0

x



0x0





(xsinx)f(x)

,x0



12. 奇函数

f(x)

在

x0

处可导,问:

F(x)



在

x0

处是否连续?

x



0x0



可导? [

f(0)0,F\'(0)lim

(xsinx)f(x)

2f\'(0)

]

2

x0

x

1



2



xcos,x0

13. 设



(x)



且

f(x)

在

x0

处可导,令

F(x)f[



(x)]

,求

F\'(0)

x



0x0



[



(0)0,



\'(0)0,F\'(0)f\'[



(0)]



\'(0)f\'(0)00]

14. 设函数



(x)

在

(,)

上连续, 又

f(x)cos



(x)

,

f\'(x)sin



(x)

, 证明: 对满

足



(x)n



的一切

x

,



\'(x)1

.

[f\'(x)lim

cos



(xx)cos



(x)

sin



(x)



\'(x)]

x0

x

15 / 49

1



xarctan,x0



x

15. 考察函数

f(x)



在

x0

处的连续性,可导性,以和

f\'(x)

的连续性.



0x0



x

1



1



[

f\'(0)limarctan,f\'(x)arctan(x0),limf\'(x)f\'(0)

]

x0x0

x2x1x

2

2



1

x

tf(t)dt



16. 若

f(x)

有连续的导数,且

f(0)0

,设

F(x)



x

2



0





c

F(x)

连续,并问此时

F\'(x)

是否连续?

x0

x0

,确定常数

c

,使

[

limF(0)0c,F\'(0)

x0

f\'(0)

,F\'(x)

3

x

2

f(x)2



tf(t)dt

0

x

x

3

,limF\'(x)

x0

f\'(0)

]

3

单元二: 公式与法则

1. 设

yf(

dy

3x2

)

,且

f\'(x)arctanx

2

,求:

dx

3x2

. [

f\'(

x0

3x212

)

3x2(3x2)

2

x0

3





]

4

2.

f(x)

在

x1

处具有连续导数, 且

f\'(1)2

, 求

lim

d

f(cosx)

.

x0

dx

x0

[

limf\'(cosx)(sin

f(x)

x)

1

2x

1

]

3.

f

可导,

f(0)f(1)2,f\'(0)f\'(1)1,F(x)e

[

dFe

f(x)

f(lnx)

,求:

dF(x)

x1

(f\'(x)f(lnx)

f\'(lnx)

)dx,dF

x

2

edx

]

x1

4. 求

y\'

:(1)

yln

e

x

x

e

x

2

x1

[

y\'1

e2x1



]

x2(x

2

x1)

1x1x1e

x

xx

1

sine

[

y\'xsine[

2

cote

x

]

] (2)

yx

1x1xxx12

(3)

yx

(4)

y



x1



x2



[

y\'x

(x1)(x2)

[(2x3)lnx

(x1)(x2)

]

]

x

xxcosx

[

y\'xxcosx[

11sinx

]

]

2x4(xcosx)

16 / 49

xx

2

a

2

x

2

a

2

12x

2

a

2

5. 求

y\'

:(1)

y

[

y,y\'

2

[2x]

2

2222

aa

xxaxa

(2)

y

x

2

a

2



b

a

e

(xy)

dy

[

y



2

bx

ax

e

t

dt,y\'e

(bx)

e

(ax)

]

222

(3)

yln(1



1

,x0





x1

]

x)

[

y\'





1

,x0





x1

222

(4)

yf(x



(xx))

,求

y\'

[

y\'f\'(x



(xx))[1(12x)



\'(xx)]

]

6.

f(x)





ln(xe)x0

,,(a0)

,求

a

.使

f\'(0)

存在.

x

ax0



\'

[

f(0)f(0)1,f



(0)

1

\'

,f



(0)lna,a

e

e

]

e

7. 选定参数

A,C

, 使立方抛物线:

yA(xa)(xb)(xC)

,

(axb)

与曲线



k

1

(xa)

xa

kk

2

k

1

bk

2

a

,C

光滑连接起来. [

A

1

]

y



,

2

k(xb)

(ab)kk

xb

12



2

\'\'\'\'

[

f



(a)k

1

,f



(a)A(ab)(aC);f



(b)A(ba)(bC),f



(b)k

2

]

x

2

e

n



x1



axb

8.

f(x)lim

, 问

a,b

为何值时,

f(x)

可导, 并求

f\'(x)

n

e

n(x1)

1

x1



axb



1



2x1



[f(x)



(1ab),x1,a2,b1,f\'(x)



,]



2xx1



2

x

2

x1





9. (1)

yxsinx

,求

y

22



10



1

y(

.[

x0

2

2

8

10

x

8!

),y

(10)

2

8

10!

(0)452

8

]

28!

,f

(5)

(0)5!120

]

x

3

(5)

(2)

f(x)

,求

f(0)

. [

f(x)

1x

x

5





sinx

x0

1

2



(3)

f(x)



x

,

, 求

f\"(0)

; [

f(x)1x

3!

x0



1





e

x

1

,x0



(n)

(4)

f(x)



x

, 求:

f(0)

. [

f(x)



1x0



17 / 49

1

,f\"(0)

]

3



1

x

n



(n1)!

,f

(n)

(0)

1

]

n1

10.(1)

ycos3x

, 求

2

dy

1

(n)

(n1)

[

y(1cos6x),y

n

dx

2

23

n

6

n

cos(6x

2

n



)

2

]

(2)

f(x)(1x)(1x)(1x)

,求

f\'\'\'(x)

x1

[f(1x)

3

(1x)(1xx

2

),f\"\'6(1x)(1xx

2

),f\"\'(1)36]

x

5

(5)

(3)

f(x)

, 求:

f(x)

.

x1

[

f(x)xxxx1

432

15!

f

(5)

(x)

]

x1(x1)

6

11. 设

f(x)arctanx

, 证明:

f

(n1)

(x)(1x

2

)2nxf

(n)

(x)n(n1)f

(n1)

()0(n1)

.

22(n)

[

(1x)f\'(x)1,[(1x)f\'(x)]

单元三: 特殊求导法

1.

e

y

0

]



y

0

e

t

dtx10

确定

yy(x)

, 证明:

y(x)

单调,并求

y\'(0)

2

[

y\'

1

e

y

e

y

2

0,y;x0,y0,y\'(0)

1

]

2

2. 设

yx2x1

, 求其反函数

x



(y)

的导数

5

d



dy

y1

[

y1,x0,

d



dy

=

y1

111



4



]

y\'

x0

5x2

x0

2

11



2

]

x\'3y3

3.

yy(x)

由方程

y3yx

确定, 求

y\'(x)

. [

y\'

3

4.

(cos



)(sin



)

,求:



d



d



,

. [

lncos



d







tan



d



lnsin



d







cot



d



]

d



d



dyyx

y1

y

x

lny



y

2(1ln2)

] 5.

xy3

, 求:

y\'(1)

. [

x1,y2,

x1

dxxlnxxy

yx

6.

yy(x)

由方程

exy0

确定, 求

dy

x0

[

x0,y1,e(ydxxdy)dx3ydy0,dy

x0



7.

yf(x)xf(y)x

,

f

:可导, 求

2

xy3

xy2

2

dx

]

3

dy2xf(y)yf\'(x)

dy



. []

dxf(x)xf\'(y)

dx

18 / 49

t222

8. 已知

ytex

, 而

t

是由方程

ytx1

所确定的

x,y

的函数, 求:

dy

.

dx



dy(1t)e

t

dtdx

dyt(1t)xe

t

[



]

,

t



ydytdtxdx

dxt(1t)ye

9.

F(x)

可导单调,

F\'(x)0

,

F(0)0

,由

F(xy)F(x)F(y)



yy(x)

,求

dy

dx

x0

[

x0,y0!F\'(xy)(ydxxdy)F\'(x)dxF\'(y)dy,dxdy0

,

dy

dx

1

]

x0

d

2

y

10. 设函数

yy(x)

由等式

ytan(xy)

所确定, 求: 。

2

dx

[

y\'csc(xy),y\"2csc(xy)cot(xy)

]

223

dy

11. 由

yxe1

确定的隐函数为

yy(x)

, 求:

dx

y

yy

d

2

y

,

dx

2

x0

y

。

x0

y2

[

x0,y1,y\'exey\',y\'(0)e;y\"(0)2ey\'x(ey\')\'2e

]

12.

f(x)

单调可导,其反函数为

g(x)

,且已知

f(1)2,f\'(1)

1

,f\"(1)1,

求

g\"(2)

3

[yg(x),f(y)x,x2,y1,y\'

t

2



x2cos(ts)ds

dy





0

13.



,求

2t

dx

t0





yxsinye

1f\"(y)y\'

3,y\"33]

f\'(y)

x2

[f\'(y)]

2

x2



x0

dy

[



,x\'2cost

2

2,y\'x\'sinyxcosyy\'2e

2t

2sin12,1sin1]

y1

dx

t0





xlncost

d

2

ydyd

2

y

tcost,

2

(cottt)cost

] 14.求

2

: (1)



;[

dxdx



ysinttcost

dx



xln(1t

2

)1

dyd

2

y(12t)(1t

2

)

2

(1tt),

2



(2)



. []

2

dxdx2t



y2arctant(t1)

15. 设

yy(x)

由:

x2tt,y5t4tt

确定,考察

yy(x)

在相应于

t0

处的可微性

2

[t0x0,y0,y\'(x)

t0

lim

t0

5t

2

4tt

2tt

0]

19 / 49

单元四: 斜率与切线



1. 求对数螺线:

re

在点

(e

2

,





2

)

处的切线方程.









2





xe



cos



dysin



cos



2

,(0,e),

[





dxcos



sin





yesin



1,xye

2

]

2. 求

yxax

与

yxbx(ba0)

的公切线方程.

22



(ak)

2

4c0



ykxc

ab(ab)

2

2

[



]

x(ak)xc0,



,k,c

2

2

216



yxax



(bk)4c0

3. 问: 曲线

y

1

sinx

与曲线

y

2

tanx

在哪些点相切, 哪些点直交.

[相切:





sinxtanx



sinxtanx

; 直交:

x2n



x(2n1)



]



22



cosxsecx



cosxsecx1

4.

f(x)

为周期为

5

的连续函数, 它在

x0

的某个邻域内满足:

f(1sinx)3f(1sinx)8xo(x)

其中

o(x)

是当

x0

时比

x

高阶的无穷小量, 且

f(x)

在

x1

处可导, 求曲线

yf(x)

在点

(6,f(6))

处的切线方程.[

lim

x0

f(1sinx)3f(1sinx)

4f\'(1)8

,

sinx

f(6)f(1)0;,f\'(6)f\'(1)2;2xy12

]

单元五: 单调性与极值



xlnx



1x

x0,x1



1. 设

f(x)



0,x0

试考察:(1)定义域内连续性; (2)单调性; (3)

f\'(1)



1x1





[

(1)f(0)0,limf(x)1

,连续; (2)

f\'(x)

x1

s

t

0

1xlnx

1

0!

f\'(1)

递减; (3)]

(1x)

2

2

2. 设

f(x)

为已知的连续函数,令

It



f(tx)dx

,其中

t0,s0

, 则

I

的值:

[A]

A:

依赖于

s

,不依赖于

t

;

B:

依赖于

t,s

和

x

;

C:

依赖于

t

和

x

,不依赖于

s

;

D:

依赖于

t

和

s

.

20 / 49



ln(1x)

,1x0



3. 函数

f(x)



的单调减少区间为?

x



x0



1x



x(1x)ln(1x)

,1x0



2

x(1x)

[

x0

连续!,

f\'(x)



,f\'(x)0!

(1,)

递减]



1x0



4.

yf(x)

由:

3xy4xy0

所确定, 求

yf(x)

的单调区间.

[

y\'

23

46x2

,(,]

13y

2

3

2

,[,)

3

]

5.

f(x):[a,b]

上二阶可导,且

f\'\'(x)0

,证明

F(x)

[

F\'(x)

f(x)f(a)

在

(a,b)

内递增.

xa

(xa)f(x)[f(x)f(a)]f\'(x)f\'(



)

0

]

(xa)

2

xa

x



6. 设

f(x)

在

(,)

内连续,且

f(x)0

, 求证:



(x)



xx

0

x

0

tf(t)dt

f(t)dt

当

x0

时单调增加.

[



\'(x)

xf(x)



f(t)dtf(x)



tf(t)dt

00

(



f(t)dt)

0

x

2



f(x)



(xt)f(t)dt

(



f(t)dt)

0

0

x

2

x

0

]

9

10

10

10

11

10

x

10

x

9

(10x)10

10

,F

max

(10)

10

]

7. 三数:

9

,

10

,

11

中哪个最大?

[F

x

,F\'

x

eeeeee

tany

y

与 的大小.

2tanx

x

tanxxsinxcosx



tanyy

[

F,F\'0(x(0,),

]

22

xxcosx2tanxx

8. 设

0xy

, 判断:

9. 设可导函数

f(x)

,

g(x)

大于零,

axb

, 且

f\'(x)g(x)f(x)g\'(x)0

, 则: [

A

]



A:f(x)g(b)f(b)g(x)

;

B:f(x)g(a)f(a)g(x)

C:f(x)g(x)f(b)g(b)

;

D:f(x)g(x)f(a)g(a)

10. 考察

y(ab)

的单调性.

x

1

x

x

a

x

b

x

x

aln

x

bln

x

1

xx

xx

x

abab

0,y

[

y\'(ab)

x

2

(a

x

b

x

)

x

]

21 / 49

11. 讨论函数

f(x)x2cosx

在区间

(0,



)

内的单调性与极值.

[

f\'(x)12sinx,(0,



6

)



5



,(,)

66

,(

5



,



)

6

,



5



5



f

max

()3,f

min

()3

]

6666

12. 设三次函数

yaxbxcxd

有两个极值点和其对应的两个极值均为相反数,则函

数图形关于什么对称?

32

2b

0,b0;y(x

1

)y(x

2

)2d0

奇函数]

3a

11

13.

f(x)

满足:

f(x)4f()

, 求

f(x)

的极值

xx

[

y\'3ax2bxc0,x

1

x

2



2

1114x

2

1414

[f(x)(4x),f\'(x),f(),f()]

maxmin

15x15x

2

215215

14. 求

yax

2

b

(a,b0)

的极值’

x

3

2

2ax

3

bb2b32ab

[

y\'

]

0,x

0



3

,y\"(x

0

)2a

3

0,y

min

(x

0

)

2

x2ax

0

2

15.

f(x)

在

(,)

上连续,

f\'(x)

x(x1)

2

(x2)

3

(x1)

1

3

(x1)

,求驻点和极值点.

[驻点:

x0,1,2;

极小值点:

x0

; 极大值点:

x2,1

]

16.

f\'(x)

在

xa

处连续,

lim

xa

f\'(x)

1

, 问:

xa

是什么点?

xa

[

f\'(a)0,(xa)f\'(x)0,xa:

极大值点]

17. 已知

f(x)

在点

x0

的某邻域内连续,且

lim

f(x)

2

,则

x0

处

f(x)

必: [

D

]

x0

1cosx

A:

不可导;

B:

可导,但

f\'(0)0

;

C:

取到极小值;

D:

取到极大值

x

4

a

3

b

2

xx2x

仅有两个相异负值驻点,且有唯一极值点

x2

18. 求

a,b

,使

f(x)

432

[

f\'(x)xaxbx2(x2)(x1),a4,b5

]

1





x

2

lnx

x0

,

19. 求

f(x)



的极值点. [极小值点

xe

2

；极大值点

x0

]

x0



0

322

[

f\'(x)x(12lnx)0xe,x0,f\"(x)32lnx

]



1

2

22 / 49

单元六: 单调性应用

1. 设

f(x)nx(1x)

, (

n

为自然数), (1)求

maxf(x)

; (2)证明:

maxf(x)

x[0,1]

x[0,1]

n

1

.

e

1n

n

n

n

1

)()

;(2)

()f

max



]

n1n1n1e

x

22

2.

f(x)

在

x1

上正值连续,求

F(x)



[lnx(lnt)]f(t)dt

(x1)

的最小值.

1

xt

x2

x

[

F\'(x)f(t)dt,

最小值:

F

min

(2)

]

x

2



1

[

(1)f\'n(1x)

n1

[1(n1)x]0f

max

(

3. 求

f(x)

11

(a0)

的最大值.

1x1xa



11

x0



(1x)

2

(1ax)

2

0





11

[

f\'(x)



,0xa

22



(1ax)(1x)



11

0xa





22



(1x)(1xa)

a2aa42a

]

x,f(0)f(a)f(),f

max



21a22a1a

4. 设

f(x)

连续,且

f(x)0,f(x)f(x)

, 令

F(x)



a

a

xtf(t)dt(axa)

,

2

(1)证明:

F\'(x)

递增; (2)求

F(x)

的最小值; (3)若

F(x)

的最小值为:

f(a)a1

,求

f(x)

[(1)F\'2



f(t)dt,F\"2f0;

0

x

(2)F

min

(0)2



tf(t)dt;

0

a

x

2



f\'(x)2x(1f(x))

,

f(x)2e

x

1]

(3)2



tf(t)dtf(x)x

2

1



0



f(0)1

n

5. 设

P(x)xa

2

x

2

a

1

xa

0

, 又设

xx

0

是它的最大实根,则

P\'(x

0

)

满足:

[D]

A:0

;

B:0

;

C:0

;

D:0



6.

x0,nN

, 设

f(x)



x

0

(tt

2

)sin

2n

tdt

, 证明:

f(x)

11

1

(2n2)(2n3)

[f\'x(1x)sin

2n

x,f

max

(1)



(tt

2

)sin

2n

tdt



(tt

2

)t

2n

dt]

00

x



7.(1)证明方程

lnx



1cos2xdx

在

(0,)

内有且仅有两个不同实根.

e

0

xex

[

flnx22,f\'0xe,f(e

4

)0,f(e)22,f(e

4

)0

]

eex

23 / 49

(2)考察

xxcosx0

在

(,)

内根的个数.

[

fxxcosx

偶,

[0,

(3)考察方程:

2x10x120

根的个数.

[

f2x10x12,f\'10x100,x1,f(1)20,f(1)4

(一个根)]

54

1

2

1

4

1

2

1

4



]

单调异号,

(,):f0

:二根]

22



5

111

0

根的个数.

x1x2x3

111

[

f,f\'0

:二根]

x1x2x3

(4)考察方程

(5)证明:

ee

xx

2cosx5

恰有两个根.

x

[

fee

x

2cosx5,f\'e

x

e

x

2sinx,f\"e

x

e

x

2cosx0

x0

为唯一驻点,

f(0)1,f(



)0

]

(6)对

C

的不同取值, 确定方程

x



sinxC

在

(0,)

内根的个数, 并加以证明

22

2



[

f(x)x



2

sinx,f

min

arccos







2

4

2

,f

max

0

(1)

Cf

min

,C0

:无根; (2)

Cf

min

:一根; (3)

f

min

C0

:二根]

8.(1)直线

yaxb

经过

(2,1)

,且使

I

[

2ab1,I



1

1

(axb)

2

dx

的值最小,求

a,b

之值.

2

2

61

a2(12a)

2

,I\'0a,b(I\"0)

]

31313

(2)在

1

和

2

之间求值

c

,使得

yx,y2x,y1cx

所围的面积最小.

[

S

1111

(),S\'0c

]

22c1c2

(3)过点

P(4,9)

引直线, 若它在两个坐标轴上截矩为正, 求使截矩之和最小的直线.

[设:

xy499a

11,faba,f\'0,a10,b15

]

ababa4

9.(1)

P(8,)

是

xy1

上定点,

Q(x,y)

是该曲线另一分支上的动点,求线段

PQ

长度最短

的点

Q

的坐标.[

f(x8)()(x0),f\'0x,Q(,2)

]

(2)设曲线

y4x

与直线

y2x1

相交于

A,B

两点, 又

C

为曲线弧

AB

上任一点,

求

ABC

面积的最大值.

24 / 49

2

1

8

2

11

x8

2

1

2

1

2

[

A(1,3),B(3,5),AB45,h

2

x

2

2x3

5

(3x1),h

max

(1)

4

,S



8

]

5

(3)求点

(0,a)

到曲线

x4y

上的最近距离.

[

fx(ya)4y(ya)(y0)

222

f\'0ya2:(1)a2,d

min

2a1;(2)a2,d

min

a

]

10. 证明不等式:

(1)

1111

111

,(0



)

]

ln(1)

; [

ln(1)ln1

n1



nn

n1nn

1

n1

11

e

111

,(



)

]



2

,(n1)

; [

e

n

e

n1

e



n(n1)n1n

n

(2)

ee

1

n

1

n

(3)

xlnxx1,(x0)

. [

fxlnxx1,f\'lnx0,x1,f\"0,ff(1)0

]

(4)

()ln(1x)1,(x0)

1

x

1

2

2xx

2

,f\'0,ff(0)0

] [

fln(1x)

2x(1x)(2x)

(5)

sinxtanx2x

,

(0x



2

)

.

2

[

fsinxtanx2x,f\'cosxsecx20!,ff(0)0

]

(6)

1x2,(0x1)

.

[

f21x,f\"2(ln2)20,f(0)f(1)0f(x)0

]

11. 证明: 当

x(0,1)

时,

x2x2

2x

x

(1x1)

2

ln(1x)

,

F\'(x)

(1)

(1x)ln(1x)x

.[

F(x)

0

]

1x

2(1x)1x

22

(1x)ln

2

(1x)x

2

111111

0

]

1

.[

G

,

G\'

2

(2)

2

x(1x)ln(1x)

ln2ln(1x)x2ln(1x)x

12.

f(x)

在

[0,)

上可导, 且

f(0)0,f(x)f\'(x)

, 证明:

f(x)0

.

[

(e

x

f(x))\'e

x

(f\'(x)f(x))0e

x

f(x)e

0

f(0)0

]

13. 设

f

在

[0,1]

上连续,

(0,1)

内可导,

f(0)0,0f\'(x)1

, 证明:

25 / 49

(



f(x)dx)



f

3

(x)dx

00

1

2

1

[

f0,F(



x

0

f(t)dt)



f(t)dt,F\'2f(x)



f(t)dtf

3

(x)0!,F(1)F(0)

]

00

ex

2

x

3

x

ex

14. 确定函数

f(x)xe(0x)

的单调区间,并证明:

x(0,)

,有

xe1

.

exe1x

[

fxe,f\'xe(ex),f(x)f

min

(e)1

]

15.

f(x)

可导, 恒正,

0axb

, 且

f(x)xf\'(x)

, 则:

[B]

A:bf(a)af(b)

;

B:af(a)xf(x)

;

C:abf(x)x

2

f(b)

;

D:abf(x)x

2

f(a)

16. 设

ba0

, 证明:

(1)

lnblna112a

lnblna2a



2

]



22

; [

2

ba



bab

baab

2(ba)b1

ln

aba

ab

(2)

xa(ax)

2

[(1)

flnxlna,f\'0,f(b)f(a)0

ax2xax

2(xa)(ax)

2

,f\'0,f(b)f(a)0

] (2)

flnxlna

2

axx(ax)

17. 证明: 当

x[0,1]

时,

1

2

p1

x

p

(1x)

p

1

(p1)

.

111

,f

max

(0)1,f

min

()

p1

]

222

[

f\'0x

单元七: 二阶导应用

1. 若

f\'(0)0,lim

x0

f\"(x)

1

,问

(0,f(0))

是什么点? [

f\"(x)0

极小]

x

2.

f(x)

为

y\'xysinx

满足

y(0)1

的通解, 问

x0

为何种点?

[

f\'(0)f\"(0)f\"\'(0)0,f

(4)

(0)1

,极大]

x

3.

f,g

任意阶可导, 且

f\"(x)f\'(x)g(x)f(x)xe1

,

f(0)1,f\'(0)0

, 则

x0

是什么点? [

f\'(0)f\"(0)f\"\'(0)0,f

(4)

(0)1

,极小]

4.

f



x



在



0,1



上满足:

f\"(x)0

, 比较:

f\'(0),f\'(1),f(1)f(0)

的大小顺序.

26 / 49

[

f\'(x)

5.

yf(x)

二阶可导,

,f(1)f(0)f\'(



),f\'(0)f(1)f(0)f\'(1)

]

dy

(4y)y



,



0

,若

yf(x)

的一个拐点是

(x

0

,3)

,求



.

dx

d

2

y



1

0,



3

] [

2

yy\'[4



(



1)y]

y3

dx

0x1



x(x1)

2

6. 问

y



在

(0,2)

内极值与拐点个数.

,

2



(x1)(x2)

1x2

[

x1

连续,

y\'





(3x1)(x1)0x1

5

1

,,x

:极大;

x

:极小

3

3



(3x5)(x1)1x2



6x40x1

24

,

x,1,

:拐点. 共计:2个极值,3个拐点]

y\"



,

35



6x81x2

7. 证明:由

yx



siny(0



1)

所确定的隐函数

yy(x)

在

x0

的某邻域内是递增

的.并说明点

(0,0)

是否为曲线

yy(x)

的拐点?

[

y\'

1



siny

0;y\'\'y\',xy0

,

(0,0)

为拐点]

2

1



cosy(1



cosy)



xt

3

3t1

8. 设函数

yy(x)

由



确定, 求曲线

yy(x)

的凸区间.

3



yt3t1

dyt

2

1d

2

y4t



2

,

2



2

0t0,x1

] [

dxt1dx3(t1)

9. 作图: (1)

y(2x5)x

. [

y\'

2

3

10(x1)10(2x1)

,y\"

图略]

3

3

4

3x

9x

1

x1

1

1

e

x

;y\"

3

e

x

;f(0)0,f(0)

] (2)

yxe

[

x0,y\'

xx

1

x

10. 求:

ylnsecx,x(

[(1)

y\'tanx,(



,)

的 (1)单调性; (2)凹凸性; (3)曲率

22

,(0,)

2



2

,0)



; (2)

y\"secx0

: 凹; (3)

kcosx

]

2

2

f(x)2e

x

11. 设

f(x)

在

(a,b)(ab0)

内满足:

f\"(x)0

, 且

lim1

, 证明:

x0

ln(1x

2

)

f(x)2,x(a,b)

. [

f(0)2,f\'(0)0,f(x)2

1

f\"(



)x

2

2

]

2

27 / 49

单元八: 中值定理

1.

f(x)

:

[0,3]

上可导,且

f(0)f(1)f(2)3,f(3)1

,证明





(0,3)

,使

f\'(



)0

[

(1)f(x

0

)1,x

0

[0,2];(2)



(x

0

,3),f\'(



)0

]

2.

f(x)

在

[a,b]

上连续,

(a,b)

内可导, 且

f(a)f(b)0

, 证明:

k

,在

(a,b)

内至少存

在一点



, 使得

f\'(



)kf(



)

. [

F(x)e

kx

f(x)

,罗尔定理]

3.

f(x)

可导,



R

, 则

f(x)

任意两个零点之间, 必有



f(x)f\'(x)0

的零点

[

F(x)e

4. 设

a

0





x

f(x)

,令

f(a)f(b)0

,罗尔定理]

a

n

x

n

在

(0,1)

内至少有一个零点.

a

1



2



a

n

0

, 证明:

f(x)a

0

a

1

x

n1

[

F(x)a

0

x

a

1

2

x

2



a

n

n1

x

,罗尔定理]

n1

1

f\'(



)

(



1)

2

5. 设

f(x)

在上二阶可导,

f(0)f(1)0

,证明:





(0,1)

,使得:

f\"(



)

1

x1

[

F(x)ef\'(x),f(x

0

)0F(1)F(x

0

)0

]

6.

f(x),g(x):[a,b]

上连续,证明:





(a,b)

,使:

f(



)

[

F(x)





b

g(x)dxg(



)



f(x)dx

.

a





x

a

f(t)dt



g(t)dt

, 罗尔定理]

x

2

b

7.

F(x)(x1)f(x)

,

f(x):[1,2]

上二阶可导,

f(2)0

,证:









1,2



,F\"







0

[

F(1)F(2)0,F\'(



1

)0

;

F\'(x)2(x1)f(x)(x1)f\'(x),F\'(1)0

罗尔定理]

8. 设函数

f(x)

在

[a,b]

上具有二阶导数, 且

f(a)f(b)0,f\'(a)f\'(b)0

, 证明:

2





,



(a,b)

, 使得:

f(



)0

和

f\"(



)0

[

x

1

,x

2

(a,b)

使得

f(x

1

)0,f(x

2

)0f(



)0f\"(



)0

]

9. 设

0ab,f(x)

在

[a,b]

上可导, 证明:





(a,b)

, 使得:

e

a

1

e

a

e

b

f(a)

e

b

f(



)f\'(



)

f(b)

f(b)e

b

f(a)e

a

f\'(



)e





f(



)e





f(



)f\'(



)

] [左式=

e

b

e

a

e





28 / 49

10. 设函数

f(x)

在

[0,



]

上可导,证明:







(0,)

,使得:

cos



[f()f(0)]f\'(



)

222





f()f(0)

f\'(



)

2

[]





sinsin0

cos



2

11. 设

f(x)

在

[0,2]

上连续,在

(0,2)

内三阶可导,且

lim



x0



f(x)

2,f(1)1,f(2)6

, 证明:

x

存在



(0,2)

, 使得

f\"\'(



)9

.

[



(x)f(x)(axbxcxd),



(0)



(1)



(2)0,



\'(0)0

32

3

a,

2

,



(x)f(x)(x

3

x

2

2x)





\'\'\'(



)f\'\'\'(



)90

]

3

2

5

2

12. 设

f(0)0,f\"(x)0

, 证明:

f(ab)f(a)f(b),(a,b0)

[中值或不等式]

[(1)

f(ab)f(b)f\'(



1

)af(a)f(0)f\'(



2

)a

;

(2)

F(x)f(ax)f(a)f(x),F\'(x)f\'(ax)f\'(x)0,F(b)F(a)0

]

13.

f(x)

在

[0,1]

上连续,

(0,1)

内有二阶导数,

f(0)f(1)0

,且曲线

yf(x)

与直线

yx

在

(0,1)

内有交点

xa

, 证明在

(0,1)

内至少有一点



, 使

f\"(



)0

[

gfx,g(0)g(a)0,g(1)1g\'(



1

)0,g\'(



2

)0g\'\'(



)f\'\'(



)0

]

14. 设

f(x)

在

(a,b)

内取得最大值, 在

[a,b]

上具有二阶导数, 且

f\"(x)K,x[a,b]

,

证明:

f\'(a)f\'(b)K(ba)

.

[

f

max

(x

0

),f\'(x

0

)0,f\'(a)f\'(b)f\"(



1

)(ax

0

)f\"(



2

)(bx

0

)K(ba)

15. 设

f(x)

在

[a,b]

上连续,在

(a,b)

内可导,

0ab



2

, 证明





1

,



2

(a,b)

, 使:

f\'(



2

)tan

sin



2

ab

f\'(



1

)

2cos



1

[

f\'(



2

)

f(b)f(a)

f\'(



1

)

f(b)f(a)

,

]

cosbcosasin



2

sinbsinacos



1

29 / 49

单元九: 泰勒公式

1.

f(x)C[a,a],(a0),f(0)0

,

(1)写出

f(x)

带有拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式; [

f(x)f\'(0)x

(2)证明:





[a,a]

,使

af\"(



)3

3

2

1

f\"(



)x

2

]

2



a

a

f(x)dx

a

1

3

11

32

[令

f\"(x)[N,M],aN



(f\'(0)xf\"(



)x)dxaM]

a

323

b

2.

f(x)

在

[0,1]

上二阶可导,且

f(x)a,f\"(x)b

,证明:

c(0,1),f\'(c)2a

2

f\'\'(



1

)

2

f\'\'(



2

)

[

f(0)f(c)f\'(c)(c)c,f(1)f(c)f\'(c)(1c)(1c)

2

22

f\'(c)f(1)f(0)

f\'\'(



1

)

2

f\'\'(



2

)

b

c(1c)

2

2a[c

2

(1c)

2

]

]

222

f(b)f(a)

2

(ba)

3. 设

f\"(x)

存在,

f\'(a)f\'(b)0

, 证明:





(a,b)

使:

f\"(



)4

[

f(

ab1abab1ab

)f(a)f\"(



1

)(a)

2

,f()f(b)f\"(



1

)(b)

2

222222

11

f(b)f(a)(ba)

2

f\"(



1

)f\"(



2

)(ba)

2

max(f\"(



1

),f\"(



2

))

]

84

4.

f(x)

在

[2,4]

上有连续导数,

f(2)f(4)0

, 证明:

34



4

2

f(x)dxmaxf\'(x)

2x4

34

[



2

f\'(



1

)(x2)dx



f\'(



2

)(x4)dxmaxf\'(



(2x)dx



(x4)dx)

]

3

2x4

23

5.

f(x)

在

[0,2]

上有二阶导数,

f(1)0

, 证明:



2

0

1

f(x)dxmaxf\"(x)

3

0x2

2

111

22

[



(f\'(1)(x1)f\"(



)(x1))dxmaxf\"



(x1)dxmaxf\"

]

00

22

0x2

3

0x2

2

6. 设

f(x)

在

[1,1]

上有三阶连续导数, 且

f(1)0,f(1)1,f\'(0)0

, 证明:





(1,1)

, 使

f\"\'(



)3

1111

f\"(0)(1)

2

f\"\'(



1

)(1)

3

;f(1)f(0)f\"(0)f\"\'(



2

)

23!23!

111

10f\"\'(



1

)f\"\'(



2

),f\"\'(



)[f\"\'(



1

)f\"\'(



2

)]3

]

3!3!2

[f(1)f(0)

30 / 49

7. 设

f(x)

在

[2,2]

上有一阶连续导数, 在

(2,2)

内有二阶导数, 且

f(x)1,f\'(0)1

证明:





(2,2)

, 使得

f\"(



)0

.

1



2

f(2)f(0)f\'(0)(2)f\"(



)(2)

1





f\"(



1

)0



2





f\"(



)0

] [



f\"(



)0

1



2



f(2)f(0)f\'(0)(2)f\"(



)(2)

2

2



2

8. 设

f(x)

在

[a,b]

上二阶可导, 且

f\"(x)0

, 证明:

ab1

b

1

)f(x)dx[f(a)f(b)]



a

2ba2

ababab1ab

2

[

(1)f(x)f()f\'()(x)f\"(



)(x)

2222!2

f(

(2)

f(x)f(a)f\'(



)(xa)f(a)f\'(x)(xa)

]

31 / 49

第三讲: 一元积分学

单元一: 原函数与不定积分

1. 设函数

f(x)

连续, 且

[

x



x

0

tf(xt)dt1cosx

, 求:

f(x)

.

xx

00



x

0

f(u)du



uf(u)du1cosx



f(u)dusinxf(x)cosx

]

2. 设

xf(x)dxarcsinxc

, 求:





1

dx

f(x)

3

1

2

2

[f(x),x1xdx(1x)c]

2



3

x1x

1

2

3. (1)



22

3

x1c

]

dx

[

(x

3

1)

3



3

93

x1

x

x

5

3

1

3

1

2

dx

[

x(x1)

2

c

] (2)



33

xx

2

1

1e

x

1

dx

c

] (3)



x

[

ln

x

2e1

ee

x

(4)

dx1

2x

[

ln(14e)c

]



e

2x

48

(5)



x

dx

c

] [

2arcsin

2

x2x

(6)

dx



(2x)1x

[

2arctan1xc

]

x(1x

2

)

11

24

dx

(7)



. [

arctanxln(1x)c

]

4

1x

24

1x

6

dx

ln

6

c

] (8)



[



6

x(x4)

24x4

(9)

32 / 49



x

2

(3lnx1)

x

3

lnx2

dx

[





1

x

3

lnx2

d(x

3

lnx2)2x

3

lnx2c

]

lntanx1

[

dxlntanxd(lntanx)(lntanx)

2

c

]



sinxcosx



2

dx

dxx

(2)



[





ln(1cot)c

]

xx

1sinxcosx

2

2sin

2

(1cot)

22

xx

12sincos

1sinx

22

dxcot

x

2ln(sin

x

)c

] (3)



dx

[





x

1cosx

22

2sin

2

2

4. (1)

(sin

2

xcos

2

x)

2

1

3

dx

[dxtanx2tanxcotxc]

(4)



3

sin

2

xcos

4

x



sin

2

xcos

4

x

(5)

1tanx1

2

1

[

dx(csc2xsecx)dx(lntanxtanx)c

]



sin2x



22

cosxsinx

dsinxdcosx12cosx

[

dx

arctan(sinx)lnc

]



1sin

2

x



1sin

2

x



2cos

2

x

222cosx

(6)

(7)

e



sinx

cosxsinx

sinxsinx

1

sinx

dx

[





e

cosxsinx

d()e

cosxsinx

c

]

2

(sinxcosx)

cosxsinx

(8)

5. (1)



sinx

d(sinxcosx)d(sinxcosx)

dx

[



]





22

2sin2x

3(sinxcosx)1(sinxcosx)



x

dx

x

2

1

[

x,I

1

t



1

1t

2

dtarcsin

1

c

]

x

] (2)



(1x)

2

dx

1x

2

[

xsint,I

dt1





1sin

2

t

2

arctan(2tanx)c

(3)



1lnx

t

2

11lnx

dx

[

1lnxt,I2



2

dt21lnxlnc

]

xlnx

t1

11lnx

(4)







4

1x

dx

[

1xt,I4



t

2

dt(1x)

3

c

]

3

x

t

2

dx

666

xt,I6dt6[xarctanx]c

] [

2



3

1t

x(1x)

xx1

dx

. [

x2sin

2

t,I3arcsinx(2x)(3x)c]

2x22

(5)

(6)

x

33 / 49

1

2

xc

]





2

1x1xx

xcosx

(2)



[

xd()dxln(tan)c

]

dx

2



sinxsinxsinxsinx2sinx

1

(3)



sinxlntanxdx

[





lntanxd(cosx)cosxlntanx



dx]

sinx

11

2

1

2

(4)



xln(x1)dx

[





ln(x1)d(x1)(x1)ln(x1)



(x1)dx

]

222

6. (1)

xtan

2

xdx

[

xd(tanxx)xtanxlncosx

arctane

x

1t

x

dx

(5)



[

arctanet,I2td()2(cott)c



sin

2

t

e

2x

sin

2

t

]

lncosx

2

[

dx

lncosxd(tanx)tanxlncosxtan



cos

2

x



xdx

xsinxx1

(7)



dx

[





xd(tan)



d(1cosx)

1cosx21cosx

(6)]

]

x

5

1

3

11x

3

3

dx

xd()[ln(1x)]c

] (8)



[

32

33



(1x)

31x31x

7. (1)

sin(lnx)dx

[

xsin(lnx)cos(lnx)dx

(2)

sin







x

[sin(lnx)cos(lnx)]c

]

2

]

xdx

[

xt,I



2tsintdt2tcost2sintc

x

2

e

x

1x

2

e

x

x

2

e

x

2xxx

dx

xed()xedx(x1)ec

] (3)



[

2



(x2)

x2x2x2

(4)

ln1lnx

111

dx

[

ln(1lnx)d(1lnx)[(1lnx)ln(1lnx)dx]



x



22x

]

(5)





t

2

dx

[

1et,I2



ln(t1)dt2[tln(t1)2



2

dt]

x

t1

1e

xe

x

x22

]

8. (1)

e

2x

(tanx1)

2

dx[2e

2x

tanxdxe

2x

d(tanx)e

2x

tanxc]



e

x

(1sinx)

1xxx

dx

[



e

x

sec

2

dx



e

x

tandxe

x

tanc]

(2)



1cosx

2222

sinx

3

是

f(x)

的一个原函数, 求:



xf\'(x)dx

.

x

sinxxcosxsinx

32

)x

3

3xsinx6



sinxdx

[

xf(x)3



xd(

xx

2

9. 已知

34 / 49

]

单元二: 定积分性质

1. 若

f(x)0,f\'(x)0,f\"(x)0,

ab

, 试比较:

S

1

,S

2

,S

3

的大小, 其中:

b

1

S

1





f(x)dx

,

S

2

f(b)(ba)

,

S

3

[f(a)f(b)](ba)

. [

S

3

S

1

S

2

]

a

2

x

lnt1

2. 设

f(x)



，求证:

dtf(x)f()

.

1

1t

2

x

1

[

g(x)f(x)f(),g\'(x)0,g(1)0,g(x)0

]

x

3.

f



x



为连续的偶函数, 证明:

F(x)



(x2t)f(t)dt

也是偶函数

0

x

[

F(x)



x

0

(x2t)f(t)dt



(x2u)f(u)duF(x)

]

0

x

4.

f



x



为连续的奇函数,考察

F(x)f(x)



(



0

xu

0

f(t)dt)du

的奇偶性.

[

F(x)f(x)x

5.

S



x







x

0

f(t)dt



tf(t)dt

, 奇]

0

x



x

0

costdt

,(1)当

nN



,且

n



x(n1)



时, 证明:

(1)

2nS(x)2(n1)

; (2)求:

lim

S(x)

x

x

[(1)

2n



n



0

costdtS(x)



(n1)



0

costdt2(n1)

(2)

2nS(x)2(n1)

S(x)2



,

lim

]

x

(n1)



xn



x



f(x)d

1

6. 设

f(x)

在

x0

的某邻域内连续,

limA

, 求:

lim



f(at)dt

.

x0a0

da

0

x

af(a)



f(u)u

d1

a

f(a)f(a)A

0

[lim[



f(u)du]limlimlim

]

a0

daa

0

a0a0a0

2aa

2

a2

7.

f(x),g(x)

满足:

f\'(x)g(x)

,

g\'(x)2ef(x)

, 且

f(0)0,g(0)2

, 求;

x

a





0

[

g(x)f(x)

]dx

2

1x(1x)

xx

[f\"f2e,fsinxcosxe,I





0



g(x)1f(



)1e



dx



f(x)d()]

0

1x1x1



1



35 / 49

单元三: 定积分计算

1. 计算下列定积分:

(1)





0

4

sinxsin

3

xdx

[

2



2

sinxd(sinx)(sinx)

0

3





3

2

2

0



4

]

3

(2)







0

x

2

1sinxdx

[



xcosxdx





xcosxdx

2

0

2

2

2



2



2

2

2



4]



xx

ee113



444

(3)



2



x

]

sinxdx

[





2



x

sinxdx



2



x

sinxdx



2



sin

4

xdx



e1



e



12

2

16

222

e1





(4)



0

x



2

sinxdx

[

ux



2



2





0

,I





ucosudu2



2

ucosudu



2

]

2

3

(5)



4

1

3

dx

dtt14

[

(1x)t,I2



2ln2ln

]

2

t(t1)t

2

3

x(1x)

(6)







1

2

1



2

(1x)arcsinx

1x

2

(e

sinx



dx

[

arcsinxt,I2



6

tsintdt1

0

3



]

6





cosx

(7)

2

0

4

e

cosx

sinx)dx

[I



2

(e

0

4

4

e

sinx

cosx)dx



2

sin

4

xdx

0

2

4

3



]

16

(8)

0

x4xx

2

dx

[





x4(x2)

2

dx



(t2)4t

2

dt4



]

02

(9)



16

1

arctan



16



16



x1dx

[

xsect



3

td(sect)



3

sec

4

tdt23

]

00

33

44



(10)





0



dx

d(cotx)1b



[]

(a,b0)

arctan(cotx)



0

a

2

b

2

cot

2

xab

a

2

sin

2

xb

2

cos

2

x

aab

0





2. 设

f(x)

1

x(1sinx)

3

1

x



tf(t)dt

, 求:

f(x)

.

2

1

1x

11

x

2

(1sinx)



210



4

dxaxdx2(1)aa(1)

] [记



tf(t)dta,a



111

1x

2

4534

3. 求:



1

0

xf(x)dx

, 其中:

(1)

f(x)

(2)

f(x)



x

2

1

1

sint1

1

1

2

dt

. [





f(x)d(x)



xsinx

2

dx(cos11)

]

0

t2

0

2

1

1

1

11

23x

4

f(x)d(x)xedx(1)

]



00

24e



x

2

1

e

t

dt

[



2

36 / 49

4. 若

e

是

f(x)

的一个原函数, 求:

x



2

1

1

f(lnx)dx

x

2

2

[

I

5. 证明:



2

1

2

1

2

1111

lnx

f(lnx)d(lnx)



d(e)



d()

2

11

xxxx2x

1

1





]

4





(2k1)



0

xf(sinx)dx

(2k1)



2



(2k1)



0

f(sinx)dx

[(2k1)



x]f(sin[(2k1)



x])dx

] [



(2k1)



0

xf(sinx)dx



(2k1)



0

6.

I



sin(cosx)dx

[

x



tII,D

]

0

A.I1

;

B.I0

;

C.0I1

;

D.I0

7. 证明:





0



sin2n(



x)



sin2nx

sin2nx

dx



dxI

]

dx0

. [

I



00

sin(



x)sinx

sinx

8. 设

f(x)

在

[a,b]

上有二阶连续导数

1

b

2

f\"(x)(xb)dx

;



a



a

2

b

1

b

(2)若

f(a)f(b)0

, 证明:



f(x)dx



f\"(x)(xa)(xb)dx

.

a

2

a

bb

1

b

2

[(1)



f(x)d(xb)



f\'(x)(xb)d(xb)



f\'(x)d(xb)

aa

2

a

(1)若

f(a)f\'(a)0

, 证明:

b

f(x)dx

(2)



f(x)d(xa)



f\'(x)(xa)d(xb)



f\'(x)(xb)d(xa)

aaa

bbb

1

b





f\'(x)d(xa)(xb)

2

a

]

9. 设

f(x)

单调增加有连续导数, 且

f(0)0,f(a)b

,

g(x)

是

f(x)

的反函数, 证明:



a

0

f(x)dx



g(x)dxab

.

0

b

[

yg(x)

10. 确定积分

2





b

0

g(x)dx



ydf(y)yf(y)

0





f(y)dyab



f(y)dy

]

000

a

a

aa

sinx



0

x

dx

的符号



sinx



sin(t



)



11

dx



dt



sinx()dx0

] [



000

xt



xx



11.

x



lim

x

0

sintdt

x

x

.

2n

[

(n1)





0

sintdt

x

sintdt

22(n1)



0

,lim]

x

n



x



37 / 49

x

12. 计算广义积分:

(1)





0



xe

x

1

x



dx

[

Ixd()ln(1e)ln2

]

x2

x



0

0

(1e)

1e

+

du



dx

x

ue

[



e

e(e

2

u

2

)4e

2

]

e

x1

e

3x

(2)





+

1

(3)



dx

(1x)

3

2

2





[

xtant,I





costdt2

]

2



2

(4)



+

dx

(x1)

4

x

2

2x

dx



3

[

x1sect





2

cos

3

tdt

3

233

]



38

(5)







1



t

2

11



t

2

11

dt

,

I



]

(n1)

. [

xx1t,x

n22

1

2n

2t2tn1

(xx1)

2

(6)

0

(1x

2

x)

2

dx

[xsht



(chtsht)

2

chtdt

0



1



t3t

2

(ee)dt]



0

23

13. 计算广义积分:

(1)

1

1

ln(1x)1

dx2ln(1x)d()2ln2(4arctanx)



2ln2

] [



0

xx



0

0

x

1

3

2

(2)



3

2

1

2

dx

xx

2

[

arcsin(2x1)

1

ln(x

2

1

1



x

2

x)ln(23)

]

22

1

2

11

1131

]dx

(3)



[

[]

()

1

xln

2

x(x1)

2

x1lnx

1

2ln2

2

(4)





2

dx

x1

0

[



1

0

2

dxdx





4

]

1

1xx1

(5)

e

1

e

1

dx

e

dxdx

1e





ln(lnx)

1

ln(lnx)

1

:发散] [



1

1

xlnxxlnx

e

e

xlnx

38 / 49

单元四: 定积分几何应用

1. (1)求由



2cos



与



2

3sin2



所围成图形的公共部分面积.



1





[

S[



6

3sin2



d









2

2cos

2



d



]

]

2

0

6

6

(2)求曲线

y

形的面积.

1

3

3

2

xx3x

与

x

轴和过曲线的两个极值点,平行于

y

轴的直线所围图

24

1

11

3

3

2

3

2

57

3

]

(xx3x)dx(xx3x)dx



2

24



0

248

0

[

y\'0x2,1;S

(3)求

yx

2

3x2

与

x

轴所围图形的面积.

[

S2[(x3x2)dx

0



1

2



2

1

(x

2

3x2)dx]2

]

2.

yf(x)

二阶可导,且

f\"(x)0

, 直线

L

t

是曲线

yf(x)

上任一点

(t,f(t))

处的切线

(t[0,1])

, 记直线

L

t

与曲线

yf(x)

以和直线

x0,x1

所围成的图形面积为

A(t)

,

1

1

证明:

minA(t)f()



f(x)dx

0

0t1

2

1

11

[

L

t

:yf(t)f\'(t)(xt),A(t)f(t)f\'(t)(t)



f(x)dx,A

min

()

0

22

2

]

3. 已知抛物线

ypxqx(p0,q0)

在第一象限内与直线

xy5

相切,且此抛物线

与

x

轴所围图形的面积为

S

,问

p,q

为何值时,

S

达到最大,并求出最大值.

[(q1)20p0;S



x

2



q

p

0

200q

3

4225

(pxqx)dx;q3,p;S]

max

4

3(q1)532

2

4. 求曲线

yxe(x0)

,

y0

和

xa(a0)

所围图形的

A

和

V

x

,并求

limA

和

limV

x

a

a

[

A



a

0

xedx1(1a)e

xa

1;V

x







x

2

e

2

dx

0

a



4





4

e

2a

(12a2a

2

)



4

]

5. 已知曲线

yax(a0)

与曲线

ylnx

在点

(x

0

,y

0

)

处有公切线,求:(1)常数

a

和切点

(x

0

,y

0

)

; (2)两曲线与

x

轴围成的平面图形的面积

S

和绕

x

轴旋转所得旋转体的体积

V

[

ax

0

lnx

0

,

a11

a,x

0

e

2

,y

0

1;

e

2x

0

2x

0

e

2

e

2

e

2

1xln

2

x



S



(eey)dy,V





2

dx





dx

]

001

62e42

1

2y22

39 / 49

1

3

x,x0,y4

所围图形绕直线

x3

旋转而成立体的体积.

2

2

1

3

132

[

V



2



(3x)(4x)dx



]

0

25

1

2

(2)求由

yx,x1,x2,y1

所围图形, 绕直线

y1

旋转而成立体的体积.

2

2

1

2

293

2

[

V





(x1)dx



]

1

260

6. (1)求由

y

(3)设平面图形由:

xy2x,

和

yx

所确定,求图形绕

x2

旋转一周所得旋转体体积

1



1

[V

x2

2





(2x)(2xx

2

x)dx2



()]

0

43

22

7. (1)求

y2x

在

(2,2)

点的切线

MT

方程;(2)求

MT

与

y2x

和

x

轴所围图形的

S

,

V

x

2

2

y

2

x

2

428

x

2

2y2)dy;V

x





[



(1)dx



2xdx]



] [(1)

y1

; (2)

S



(

02

2

0

233

2

8. 设

yf(x)

在

x0

时是连续的非负函数,且

f(0)0

,

V(t)

表示曲线

yf(x)

与直线

d

2

V

y0,xt

所围成平面图形绕直线

xt

旋转得到旋转体的体积,证明:

2



f(t)

.

dt

2

[

V(t)



2



(tx)f(x)dx,V\'(t)2





0

tt

0

f(x)dx,V\"(t)2



f(t)

]

9. 已知一抛物线通过

x

轴上的两点

A(1,0),B(3,0)

(1)求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于

x

轴与该抛物线所围图形的面积

[抛物线:

ya(x1)(x3)

,



3

0

a(x1)(x3)dx0

]

(2)计算上述两个平面图形绕

x

轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比. [

19:27

]

[

V

1





a

2



1

0

(x1)

2

(x3)

2

dx

3

38

2

18



a,V

2





a

2



(x1)

2

(x3)

2

dx



a

2

]

1

155

22

10. 设曲线

yax(a0,x0)

与

y1x

交于点

A

, 过原点

O

和点

A

的直线与

yax

所围成一平面图形

D

,问

a

为何值时,

V

x

最大? 最大值为多少?

1

325



1a(ax)

2

2



a

2

24

1a

V(4)

,),V

x







[ax]dx

[

A(

, ]

max

5

0

1875

2

1a1a

1a

15(1a)

2

11.

L:yabx(a,b0)

,求

a,b

,使

L

与直线

yx1

相切,且

L

与

x

轴所围图形绕

y

轴

旋转所得旋转体体积达到最大.

2

[04b(1a)1;V

y







a

0

ay



a

2

23

dy2



(1a)a

2

a,b]

b2b34

40 / 49

12. 求曲线段:

y1lncosx,[0x





6

]

的长度.

[

s



6

0

1tan

2

xdxln3

]

3

13. 求曲线段:

rasin



3

全长.

[

T6



,



[0,3



]L



3



0



3a

asin

2

d







]

32

14. 求

ra(1cos



)(a0)

绕极轴旋转的侧面积.

[

S2



15.







(x)

是抛物线

y





0

r(



)sin



r

2

(



)r\'

2

(



)d





32

2



a

]

5

x

上任一点

M(x,y),(x1)

处的曲率半径，

ss(x)

是该抛物

d

2



d



2

()

的值. 线上介于点

A(1,1)

与

M

之间的弧长, 计算:

3



ds

2

ds

x

d

2



d



2

(14x)

2

1d



d

2



6

()9

] [





,

3



,s



1dt,6x,

2



2

1

dsds

24tdsds

14x

3

单元五: 定积分物理应用

1.

n

个正数

y

1

,y

2

,,y

n

的算术平均为:

y

1

(y

1

y

2



n

y

n

)

, 几何平均为:

y(y

1

y

2

y

n

)

,且

yy

, 用定积分给出

f



x



在

[a,b]

上的算术平均

f

和几何平均

f

lny

n

]

1

n

1

lim[lny

1

lny

2



1

b

n

n

[ff



x



dx;fe

ba



a

22

e

1

ba



a

lnf



x



dx

]

b

2. 容器侧面由平面曲线

L

:

xy1(1y1)

,绕

y

轴旋转而成,容器中装有其一半容

量的水,若以每分钟



3

(m

3

)

的速率将水从容器中全部抽出,问:

4

3

0

(1)需多少分钟才能抽完? (2)需要做多少功?

[(1)

V



0

1



(1y

2

)dy



T4

; (2)

W



(1y)



g(1y

2

)dy

1

25



g

(J)

]

12

3.一弹簧原长

1m

, 一端固定, 压缩另一端, 假定每压缩

1m

, 需

5g

力, 今将弹簧压缩从

80cm60cm

, 问需作多少功? [

Fx,W



xdx0.06(J)

]

0.2

0.4

4. 比重为

1.5

,半径为

R

米的合金球沉入水中,球顶距水面

H

米,将其打捞出水面,需做多少功

[

W



g

3

4

22

[(RHx)0.5(Rx)1.5](Rx)dx



gR(2R0.5H)

]



R

3

R

41 / 49

5. 若沙比重为

2

,如果堆满一个半径为

r

米,高为

H

的圆锥形沙堆,问至少需要做多少功?

[

W



H

0

2gx



(

Hx

2

1

r)dx



r

2

H

2

g

]

H6

6. 用缆绳将抓斗放入井底清除污泥,已知井深

30m

,抓斗自重

400N

,缆绳每米重

50N

,抓斗

抓起的污泥重

2000N

,提升速度为

3ms

,在提升过程中,污泥以

20Ns

的速率从抓斗缝隙

中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升至井口(抓斗高度忽略不计),问克服重力需作多少功?

[

W

1

(抓斗)

4003012000

;

W

2

(缆绳)



10



30

0

50(30x)dx22500

;

W

3

(污泥)





3(200020t)dt57000

,

WW

1

W

2

W

3

91500(J)

]

0

7. 一匀质细棒质量为

M

, 其位置为

x

轴上的区间

[0,l]

, 一质量为

m

的质点位于

(0,a)

处,

求细棒对质点的引力. [

F

x





2

l

GMmx

l(a

2

x

2

)

3

0

dx

GMm11

();

22

la

al

F

y





l

GMma

l(ax)

223

0

dx

GMm

aal

2

,

G

为引力常数]

8. 设有一质量为

M

, 半径为

R

的匀质圆环, 在环中心轴上有质量为

m

的质点

C

, 它距离环

心为

a

, 求圆环对此质点的引力大小, 当质点

C

从无穷远处移动到环心时, 引力所做的功

是多少？

[F



2



KMma

2



(R

2

a

2

)

3

0

d





kMma

(R

2

a

2

)

3

,W





KMmz

(R

2

z

2

)

3

0

dz

kMm

]

R

9. 设一平板浸没在水中且垂直于水面

(



1000kgm)

,平板的形状为双曲四边形,即图形

由双曲线

4xy4

,直线

y1

与

y1

围成(单位:

m

)

(1)如果平板的上边缘与水面相齐,那么平板一侧所受到的总压力是多少？

(2)设水位下降,如果在时刻

t

,水面位于

yh(t)

处,且水面匀速下降速率为

0.01(ms)

问:

当水面下降至平板的中位线时,一侧所受到的水压力的下降速率是多少?

22

3

(



x

2

a

2

2

axdxaxln(xa

2

x

2

)c)

22

22

y

2

515

[(1)

F



g



211y



dy2



g(2ln)



1

422

1

h

y

2

515

(2)

F



g



21(hy)dy,F\'h\'



g



4y

2

dy0.01



g(2ln)]

11

422

h

42 / 49

第四讲: 微分方程

单元一: 一阶方程

1.

y

y

xo(x),y(0)



, 求:

y(1)

.

2

1x



y

arctanx

,y



e,y(1)



e

4

] [

y\'

2

1x



2

ff(x,0)

sinx

, 求:

f(x,y)

. 2. 设

zf(x,y)

满足

2

2x,f(x,1)0,

yy



xc

1

(x)c

2

(x)0

[

fxyc

1

(x)yc

2

(x)



fxy

2

ysinxxsinx

]

c

1

(x)sinx



2

3. (1)

x

dydydx

y

e

y

1

[

x(1e)c

]

y

dx1ex

2

(2)

yxy\'b(1xy\'),y(1)1

[

dydxxb

y

]

ybx(1bx)1bx

dyy1y

2

d(y

2

)y

2

y

2

y

2

y

2

tan

tanusincx

] 4. (1) [

dx2x2yx

dxxxxx

(2)

yxy\'y2xy

2,y(1)0

[

y\'arctanln(x

2

y

2

)0

]

xyy\'x2yx

3x

5. (1)

y\'3(y2x)1,y(0)0

. [

y\'3y6x1ye

(2)

(x1)y\'(xy)0,y(0)0

. [

y\'

2

2x1

或令

y2xu

]

1x

yy(x1)ln(x1)x

]

1x1x

3yy

2

cy

3

] 6. (1)

(y6x)y\'2y0

[

x\'xx

y22

(2)

(yxy)y\'1,y(0)0

[

x\'yxyx2e

3

3

1

2

y

2

2y

2

]



y\'ayf(x)

7. 设

f(x)

为连续函数, (1)求初值问题



的解

y(x)

, (其中

a

为正常数),

y0

x0



(2)若

f(x)k(k

为常数), 证明: 当

x0

时, 有:

y(x)

[(1)

y(x)e

222

ax

k

(1e

ax

)

a

ax



x

0

ef(x)dx

, (2)

y(x)e

ax

k



e

ax

dx

0

x

k

(1e

ax

)

]

a

8.

(xy1xy)dxxdy0

[uxy,1u

2

dxxdu,arcsin(xy)lnxc]

43 / 49

9. (1)

(xy)dxxydy0

[

x(y)\'3y3xy3xcx

]

432334343

1111x

2

c

]

(2)

(2xyy)dxxdy0

.

[()\'()2

yxyyx

2

(3)

xy\'xyy0,y(1)1

. [

[()\'

222

22

1

y

111xx

()

2

y]

]

xyxlnxclnx1

222

(4)

(xy)dx2xydy0

,

y

x1

0

.

[x(y)\'yxyx(xc)x(x1)]

(5)

y\'xsin2yxe

x

cos

2

y

. [

(tany)\'2xtanyxe

2

x

22

1

tanye

x

(x

2

c)

]

2

dyxy

2

1

2

1

4222



10. (1). [

(yx)dx2y(xy)dyd(xyxy)0

]

dx2y(xy

2

)

22

(2)

(1x)dy(yxx)dx0

[

d(yxy

\'

n

n1x

23

1

3

1

4

xx)0

]

34



e

11.

f

n



x



满足:

f



x



f

n



x



xe,f

n



1





, 求:



f

n



x



.

n

n1

1

nx



x

[

f

n

(x)xe

,



f

n



x



eln(1x),x[1,1)

]

n

n1

12. 设函数

f(x)

在

[0,1]

上连续,在内大于零,并满足:

xf\'(x)f(x)3x

,又曲线

yf(x)

与

x1,y0

所围的图形

S

的面积为

2

, 求

f(x)

.

[

f(x)3xcx,f(0)0,

单元二: 可降阶方程

2

2



1

0

f(x)dx2,c2

]

d

2

ydy

3

1

,y12x1

] 1. (1)

2

()0,y(0)0,y\'(0)1

. [

y\'p(x)p

dxdx

12x

(2)

y\"y\'1,y(0)0,y\'(0)1

[

y\'p(x)p1,yx

]

(3)

xy\"y\'x

. [

y

2. (1)

y\'y\"y\'e

32y

2

2

1

3

xc

1

x

2

c

2

(或欧拉方程)]

3

2

3

.

[y\'p(y)pe

y



3

3e

y

c

1

,(3e

y

c

1

)2xc

2

]

2

(2)

y\"2yy\',y(0)0,y\'(0)1

. [

y\'p(y)p1y,ytanx

]

44 / 49

单元三: 高阶线性方程

ln(1x

2

)

1.

yy(x)

是方程

y\"py\'qye

满足

y(0)0,y\'(0)0

的特解,求

lim

x0

y(x)

3x

ln(1x

2

)

1

22

2

] [

y\"(0)1,y(x)x0(x)

,

lim

x0

y(x)

2

2. (1)

y\"ysinx

[

y*ABsin2xCcos2x

(2)

y\"2y\'2y1sinx

[

y*ABsinxCcosx

2

11

cos2xyc

1

e

x

c

2

e

x

y*

]

210

112

sinxcosxye

x

(c

1

sinxc

2

cosx)y*

]

255

x2xxxx2xx

3. 已知

y

1

xee,y

2

xee,y

3

xeee

是某二阶线性非齐次微分方程的

三个解, 求此微分方程.

[齐次解:

e,e

x2x

; 非齐次解:

xey\"y\'2y(12x)e

]

xx

4. 若

f(x),g(x)

满足条件:

f\'(x)g(x),f(x)g\'(x),f(0)0,g(x)0

, 试求曲

线

y

f(x)

2

的方程.

[y\'1y,y(0)0,ytanx]

g(x)



y\"(x)ay(x)0

5.



,(0x2)

, 求使上述两点边值问题有非零解的

a

, 并求非零解

y(0)y(2)0



[



2

a0:(1)a0yc

1

xc

2

0;(2)a0yc

1

e

ax

c

2

e

ax

0

k

2



2

k



(3)a0yc

1

sinaxc

2

cosax0a,ycsinx,c0

]

42

6. 设

f\'(x)f(1x)

, 求:

f(x)

.

[

f\"(x)f\'(1x)f(x),f\'(0)f(1)fc[sinx(sec1tan1)cosx]

]

7. 用变换:

xcost(0t



)

化简方程:

(1x)y\"xy\'y0

, 并求满足:

y(0)1

,

2

1dy1d

2

ycostdy

,y\"

3

y\'(0)2

的特解. [

y\'

22

sintdtsintdtsintdt

d

2

y



y0,y()1,y\'()2ysint2cost2x1x

2

]

2

dt22

45 / 49

8. 求解欧拉方程:

xy\"4xy\'2y0

[

xe,D(D1)y4Dy2y0,Dy3Dy2y0yc

1

ec

2

e

单元四: 应用方程

1 在上半平面上求一条凹的曲线, 其上任一点

P(x,y)

处的曲率等于此曲线在该点的法线段

t2t2t

2



c

1

c

2



2

]

xx

PQ

的长度的倒数(

Q

为法线与

x

轴的交点),且曲线在点

(1,1)

处的切线与

x

轴平行

[

Q(xyy\',0),

y\"

(1y\'

2

)1y\'

2



1

,y(1)1,y\'(1)0y(e

x1

e

1x

)

]

2

y1y\'

2

1

2. 在过原点和点

(2,3)

的单调光滑曲线上任取一点作两坐标轴的平行线,,其中一条平行线与

x

轴和曲线围成的面积是另一条平行线与

y

轴和曲线围成的面积的两倍,试求此曲线方程

x

23

[



y(t)dtxy(x),y(2)3y2x

]

0

32

3. 设函数

y(x)(x0)

二阶可导且

y\'(x)0,y(0)1

, 过曲线

yy(x)

上任一点

P(x,y)

作该曲线的切线和

x

轴的垂线,上述两直线与

x

轴所围成的三角形面积记为

S

1

,区间

[0,x]

上以

yy(x)

为曲边的曲边梯形面积记为

S

2

,并设

2S

1

S

2

1

,求曲线

yy(x)

的方程.

xx

y

2

y

2

y\'

2

,S

2





y(t)dt,



y(t)dt1y\",y(0)1,y\'(0)1ye

x

] [

S

1



0

2y\'y\'

0

y

4. 设曲线

L

的极坐标方程为

rr(



),M(r,



)

为

L

上任一点,

M

0

(2,0)

为

L

上一定点, 若

极径

OM

0

,

OM

与曲线

L

所围成的曲边扇形面积值等于

L

上

M

0

,M

两点间弧长的一半,

求曲线

L

的方程.

1



2

1



2

1



22

[



rd







rr\'d



r\'rr1arcsin



,x3y2

]

2

0

2

0

r6

5. 设物体

A

从点



0,1



出发, 以速度大小为常数

v

沿

y

轴正向运动;物体

B

从点



1,0



与

A

同时出发, 其速度大小为

2v

, 其速度的方向始终指向

A

,试建立物体

B

的运动轨迹所满

足的微分方程,并写出其初始条件.

y1vt



y\'



1

x

xy\"1y\'

2

0,y(1)0,y\'(1)1

] [



2



x

1y\'

2

dx2vt





1

46 / 49

6. 生产某产品的固定成本为

a0

, 生产

x

单位的边际成本与平均单位成本之差为:

xa



且当产量的数值等于

a

时,相应的总成本为

2a

, 求总成本

c

与产量

x

的函数关系

ax

c(x)xax

2

,c(a)2a,ca

] [

c(0)a

,

c\'(x)

xaxa



3

u

x

2

y

2

z

2

f\"\'(xyz)

, 且

f(0)0,f\'(1)1

, 求:

f(x)

7.

uf(xyz)

满足

xyz

[

u

xyz

13

2

f\'3xyzf\"xyzf\"\'

;

3uf\"(u)f\'(u)0f\'(u)

3

,fu

3

]

2

u

222

2



2

u

2

u

22

8. 设

uu(xy)

满足

2



2

xy

, 求:

uu(t)

xy

2

[

u

xx

2u\'4xu\",u

yy

2u\'4yu\",u

xx

u

yy

4u\'4(xy)u\"xy

222222

4tu\"4u\'t,u

1

2

tc

1

lntc

2

]

16

x



2

z

2

z

2x

9. 设函数

f(u)

具有二阶连续导数,而

zf(esiny)

满足方程

2



2

ez

,求

f(u)

.

xy

[

z

xx

f\"(esiny)f\'(esiny),z

yy

f\"(ecosy)f\'(esiny)

x2xx2x

f\"(u)f(u),f(u)c

1

e

u

c

2

e

u

]

10. 当

x0

时, 函数

f(x)

可导, 有非负的反函数

g(x)

, 且恒等式

立, 求函数

f(x)

[

xf\'(x)2x,f(1)1f(x)2x1

]

11. 若连续函数

f(x)

满足关系式:

f(x)

f(x)



1

g(t)dtx

2

1

成



2x

0

t

f()dtln2

, 求:

f(x)

.

2

x

[

f\'(x)2f(x),f(0)ln2f(x)eln2

]

12. 设

f(x)

连续, 且



x

0

f(t)dtx



tf(xt)dt

, 求:

f(x)

0

x

[

f(x)1



x

0

f(u)du,f\'(x)f(x),f(0)1f(x)e

x

]

47 / 49

13. 设

f(x)

连续, 且

f(x)0

, 求解:

x



x

0

f(t)dt

x

f(x)

.

x1

,fF\'

]

1cx(1cx)

2

[

F(x)



0

f(t)dt,F(0)0x

2

F\'(x)F(x),F

14.



(x)

在

(0,1)

内可导, 且





(tx)dta



(x)

, 求



(x)

0

1

1a

1

x

[

a0:



(x)0;a0:





(u)dua



(x)ax



\'(x)(1a)



(x),



(x)cx

a

]

x

0

15. 设

f(x)

在

(0,)

上有定义,

f\'(1)4

,且对任意正数

x,y

有

f(xy)xf(y)yf(x)

证明:

f(x)

处处可导, 并求

f(x)

和

f\'(x)

.

[

f(1)0,xf\'(xy)xf\'(y)f(x)xf\'(x)4xf(x),f(x)4xlnx

]

16.

fC

并求:

(2)

,f(0)0,f\'(0)1

,求

u(x,y)

,使

duy(e

x

f(x))dx(f\'(x)2f(x))dy

,







1,1



0,0



du

xx

x

2

x

x

2

xx

e;uy(ee)c

[

f\"2f\'fefxe

22

1

(1,1)

duue

]





0,0



(0,0)

2



1,1



e

y

17.

f(1)e

求可微函数

f(y)

,使

I



yf(y)dxx(f(y))dy

与路径无关,

C

为上半

y

C

平面

A(0,1)

到

B(1,2)

,并求此曲线积分.

2e

y

e

y

[f\'f

2

f

2

;

yyy

e

2



A





0

2f(2)dx

2

]

B1

18. 一个半球体的雪堆, 其体积

V

融化的速率与半球面面积

S

成正比, 比例常数

k0

, 假

设在融化过程中雪堆始终保持半球体状, 已知半径为

r

0

的雪堆在开始融化的

3h

内, 融化

7

, 问雪堆全部融化需多少小时.

8

2

3

22

2

[

V



R,S2



R,V\'kS

2



RR\'2



kR,R(0)r

0

Rr

0

kt

3

111

V(3)V(0)kr

0

;Rr

0

r

0

t0t6(h)

]

866

了其体积的

48 / 49

19. 新技术的推广(或传销): 总人数为

N

,

x(0)x

0

,

x\'(t)kx(Nx)

, 求:

x



t



Nx

0

e

Nt

cNe

Nt

[

x

]



NtNt

1ceNx

0

(e1)

20. 某初始质量为

M

0

的雨点在空气中自由落下,均匀的蒸发着, 设每秒蒸发

A

质量, 空气阻

力与雨点速度成正比(比例系数为常数

k

), 试求雨点的运动速度与时间的关系

1

g(M

0

At)

A

k

[M\'A,MM

0

At;Mv\'Mgkv,v(0)0v[1(1t)

A

]

kAM

0

21. 从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度

y

(从海平面算起)

与下沉深度

v

之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下

沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为

m

,体积为

B

,海水比重为



,仪器所受

的阻力与下沉深度成正比,比例系数为

k(k0)

.试建立

y

与

v

所满足的微分方程,并求出

函数关系式

yy(v)



mv\'mg



gBky



vmdv(mg



gBky)dy,mv

2

2(m



B)gyky

2

] [



y\'v



y(0)v(0)0



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