2024年4月13日发(作者：槐荫区四年级数学试卷分析)
人教版七年级数学下册期末解答题培优试卷附答案
一、解答题
1
．如图
1
，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形．
（
1
）如图
2
，若正方形纸片的面积为
1
dm
2
，则此正方形的对角线
AC
的长为
dm
．
（
2
）如图
3
，若正方形的面积为
16
cm
2
，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积
为
12
cm
2
的长方形纸片，使它的长和宽之比为
3∶2
，他能裁出吗？请说明理由．
2
．动手试一试，如图
1
，纸上有
10
个边长为
1
的小正方形组成的图形纸．我们可以按图
2
的虚线
AB,BC
将它剪开后，重新拼成一个大正方形
ABCD
．
（
1
）基础巩固：拼成的大正方形
ABCD
的面积为
______
，边长
AD
为
______
；
（
2
）知识运用：如图
3
所示，将图
2
水平放置在数轴上，使得顶点
B
与数轴上的
1
重
合．以点
B
为圆心，
BC
边为半径画圆弧，交数轴于点
E
，则点
E
表示的数是
______
；
（
3
）变式拓展：
①
如图
4
，给定
55
的方格纸（每个小正方形边长为
1
），你能从中剪出一个面积为
13
的
正方形吗？若能，请在图中画出示意图；
②
请你利用
①
中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为
13
的正方形边长所表示的数．
．．．．．
3
．小丽想用一块面积为
400cm
2
的正方形纸片
,
沿着边的方向裁处一块面积为
300cm
2
的长
方形纸片
.
(1)
请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)
若使长方形的长宽之比为
3:2,
小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能
,
请帮小丽
设计一种裁剪方案
,
若不能，请简要说明理由
.
4
．数学活动课上，小新和小葵各自拿着不同的长方形纸片在做数学问题探究．
（
1
）小新经过测量和计算得到长方形纸片的长宽之比为
3
：
2
，面积为
30
，请求出该长方
形纸片的长和宽；
（
2
）小葵在长方形内画出边长为
a
，
b
的两个正方形（如图所示），其中小正方形的一条
边在大正方形的一条边上，她经过测量和计算得到长方形纸片的周长为
50
，阴影部分两个
长方形的周长之和为
30
，由此她判断大正方形的面积为
100
，间小葵的判断正确吗？请说
明理由．
5
．如图，在
3×3
的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为
1
个单位．请解决
下面的问题．
（
1
）阴影正方形的面积是
________
？（可利用割补法求面积）
（
2
）阴影正方形的边长是
________
？
（
3
）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由．
二、解答题
6
．如图
①
，将一张长方形纸片沿
EF
对折，使
AB
落在
A\'B\'
的位置；
（
1
）若
1
的度数为
a
，试求
2
的度数（用含
a
的代数式表示）；
（
2
）如图
②
，再将纸片沿
GH
对折，使得
CD
落在
C\'D\'
的位置．
①
若
EF//C\'G
，
1
的度数为
a
，试求
3
的度数（用含
a
的代数式表示）；
②
若
B\'FC\'G
，
3
的度数比
1
的度数大
20
，试计算
1
的度数．
7
．已知，
AB∥CD
，点
E
在
CD
上，点
G
，
F
在
AB
上，点
H
在
AB
，
CD
之间，连接
FE
，
EH
，
HG
，
∠AGH
＝
∠FED
，
FE⊥HE
，垂足为
E
．
（
1
）如图
1
，求证：
HG⊥HE
；
（
2
）如图
2
，
GM
平分
∠HGB
，
EM
平分
∠HED
，
GM
，
EM
交于点
M
，求证：
∠GHE
＝
2∠GME
；
（
3
）如图
3
，在（
2
）的条件下，
FK
平分
∠AFE
交
CD
于点
K
，若
∠KFE
：
∠MGH
＝
13
：
5
，
求
∠HED
的度数．
8
．已知：直线
AB∥CD
，
M
，
N
分别在直线
AB
，
CD
上，
H
为平面内一点，连
HM
，
HN
．
（
1
）如图
1
，延长
HN
至
G
，
∠BMH
和
∠GND
的角平分线相交于点
E
．求证：
2∠MEN
﹣
∠MHN
＝
180°
；
（
2
）如图
2
，
∠BMH
和
∠HND
的角平分线相交于点
E
．
①
请直接写出
∠MEN
与
∠MHN
的数量关系：
；
②
作
MP
平分
∠AMH
，
NQ∥MP
交
ME
的延长线于点
Q
，若
∠H
＝
140°
，求
∠ENQ
的度
数．（可直接运用
①
中的结论）
9
．已知：如图，直线
AB//CD
，直线
EF
交
AB
，
CD
于
P
，
Q
两点，点
M
，点
N
分别是直线
CD
，
EF
上一点（不与
P
，
Q
重合），连接
PM
，
MN
．
（
1
）点
M
，
N
分别在射线
QC
，
QF
上（不与点
Q
重合），当
∠APM+∠QMN=90°
时，
①
试判断
PM
与
MN
的位置关系，并说明理由；
②
若
PA
平分
∠EPM
，
∠MNQ=20°
，求
∠EPB
的度数．（提示：过
N
点作
AB
的平行线）
（
2
）点
M
，
N
分别在直线
CD
，
EF
上时，请你在备用图中画出满足
PM⊥MN
条件的图形，
并直接写出此时
∠APM
与
∠QMN
的关系．（注：此题说理时不能使用没有学过的定理）
10
．已知，如图：射线
PE
分别与直线
AB
、
CD
相交于
E
、
F
两点，
PFD
的角平分线与
直线
AB
相交于点
M
，射线
PM
交
CD
于点
N
，设
PFM
，
EMF
且
35
2
0
．
（
1
）
________
，
________
；直线
AB
与
CD
的位置关系是
______
；
（
2
）如图，若点
G
是射线
MA
上任意一点，且
MGHPNF
，试找出
FMN
与
GHF
之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（
3
）若将图中的射线
PM
绕着端点
P
逆时针方向旋转（如图）分别与
AB
、
CD
相交于点
M
1
和点
N
1
时，作
PM
1
B
的角平分线
M
1
Q
与射线
FM
相交于点
Q
，问在旋转的过程中
FPN
1
的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．
Q
三、解答题
11
．问题情境
（
1
）如图
1
，已知
AB//CD, PBA125
，PCD155
，求
BPC
的度数．佩佩同学的
思路：过点
P
作
PN//AB
，进而
PN//CD
，由平行线的性质来求
BPC
，求得
BPC
；
问题迁移
（
2
）图
2
，图
3
均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两
边重合
ACB90
,DF//CG,AB
与
FD
相交于点
E
，有一动点
P
在边
BC
上运动，连接
PE, PA
，记
PED
,PAC
．
①
如图
2
，当点
P
在
C,D
两点之间运动时，请直接写出
APE
与
,
之间的数量关
系；
②
如图
3
，当点
P
在
B,D
两点之间运动时，
APE
与
,
之间有何数量关系？请判断
并说明理由．
12
．已知直线
AB//CD
，
M
，
N
分别为直线
AB
，
CD
上的两点且
MND70
，
P
为直线
CD
上的一个动点．类似于平面镜成像，点
N
关于镜面
MP
所成的镜像为点
Q
，此时
NMPQMP,NPMQPM,MNPMQP
．
（
1
）当点
P
在
N
右侧时：
①
若镜像
Q
点刚好落在直线
AB
上（如图
1
），判断直线
MN
与直线
PQ
的位置关系，并说
明理由；
②
若镜像
Q
点落在直线
AB
与
CD
之间（如图
2
），直接写出
BMQ
与
DPQ
之间的数量
关系；
（
2
）若镜像
PQCD
，求
BMQ
的度数．
13
．阅读下面材料：
小颖遇到这样一个问题：已知：如图甲，
AB//CD,E
为
AB,CD
之间一点，连接
BE,DE,B35,D37
，求
BED
的度数．
她是这样做的：
过点
E
作
EF//AB,
则有
BEFB,
因为
AB//CD,
所以
EF//CD.
①
所以
FEDD,
所以
BEFFEDBD,
即
BED
_
；
1
．小颖求得
BED
的度数为
__
；
2
．上述思路中的
①
的理由是
__
；
3
．请你参考她的思考问题的方法，解决问题：
已知：直线
a//b,
点
A,B
在直线
a
上，点
C,D
在直线
b
上，连接
AD,BC,BE
平分
ABC,DE
平分
ADC,
且
BE,DE
所在的直线交于点
E
．
（
1
）如图
1
，当点
B
在点
A
的左侧时，若
ABC
,ADC
，则
BED
的度数
为
；
(
用含有
,
的式子表示
)
．
（
2
）如图
2
，当点
B
在点
A
的右侧时，设
ABC
,ADC
，直接写出
BED
的度数
(
用含有
,
的式子表示
)
．
14
．综合与探究（问题情境）
王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动．
（
1
）如图
1
，
EF∥MN
，点
A
、
B
分别为直线
EF
、
MN
上的一点，点
P
为平行线间一点，请
直接写出
∠PAF
、
∠PBN
和
∠APB
之间的数量关系；
（问题迁移）
（
2
）如图
2
，射线
OM
与射线
ON
交于点
O
，直线
m∥n
，直线
m
分别交
OM
、
ON
于点
A
、
D
，直线
n
分别交
OM
、
ON
于点
B
、
C
，点
P
在射线
OM
上运动．
①
当点
P
在
A
、
B
（不与
A
、
B
重合）两点之间运动时，设
∠ADP
＝
∠α
，
∠BCP
＝
∠β
．则
∠CPD
，
∠α
，
∠β
之间有何数量关系？请说明理由；
②
若点
P
不在线段
AB
上运动时（点
P
与点
A
、
B
、
O
三点都不重合），请你画出满足条件
的所有图形并直接写出
∠CPD
，
∠α
，
∠β
之间的数量关系．
15
．课题学习：平行线的
“
等角转化
”
功能．
阅读理解：
如图
1
，已知点
A
是
BC
外一点，连接
AB
，
AC
，求
∠BAC
＋
∠B
＋
∠C
的度数．
（
1
）阅读并补充下面推理过程
解：过点
A
作
ED∥BC
，
∴∠B
＝
∠EAB
，
∠C
＝
又
∵∠EAB
＋
∠BAC
＋
∠DAC
＝
180°
∴∠B
＋
∠BAC
＋
∠C
＝
180°
解题反思：
从上面推理过程中，我们发现平行线具有
“
等角转化
”
的功能，将
∠BAC
，
∠B
，
∠C“
凑
”
在一
起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（
2
）如图
2
，已知
AB∥ED
，求
∠B
＋
∠BCD
＋
∠D
的度数．（提示：过点
C
作
CF∥AB
）
深化拓展：
（
3
）如图
3
，已知
AB∥CD
，点
C
在点
D
的右侧，
∠ADC
＝
70°
，点
B
在点
A
的左侧，
∠ABC
＝
60°
，
BE
平分
∠ABC
，
DE
平分
∠ADC
，
BE
，
DE
所在的直线交于点
E
，点
E
在
AB
与
CD
两条平行线之间，求
∠BED
的度数．
四、解答题
16
．（
1
）如图
1
，
∠BAD
的平分线
AE
与
∠BCD
的平分线
CE
交于点
E
，
AB∥CD
，
∠ADC=50°
，
∠ABC=40°
，求
∠AEC
的度数；
（
2
）如图
2
，
∠BAD
的平分线
AE
与
∠BCD
的平分线
CE
交于点
E
，
∠ADC=α°
，
∠ABC=β°
，
求
∠AEC
的度数；
（
3
）如图
3
，
PQ⊥MN
于点
O
，点
A
是平面内一点，
AB
、
AC
交
MN
于
B
、
C
两点，
AD
平
ADP
分
∠BAC
交
PQ
于点
D
，请问的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改
ACBABC
变，请说明理由．
17
．小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：
（习题回顾）已知：如图
1
，在
ABC
中，
ACB90
，
AE
是角平分线，
CD
是高，
AE
、
CD
相交于点
F
.
求证：
CFECEF
；
（变式思考）如图
2
，在
ABC
中，
ACB90
，
CD
是
AB
边上的高，若
ABC
的外角
BAG
的平分线交
CD
的延长线于点
F
，其反向延长线与
BC
边的延长线交于点
E
，则
CFE
与
CEF
还相等吗？说明理由；
（探究延伸）如图
3
，在
ABC
中，
AB
上存在一点
D
，使得
ACDB
，
BAC
的平分
线
AE
交
CD
于点
F
.
ABC
的外角
BAG
的平分线所在直线
MN
与
BC
的延长线交于点
M
.
直接写出
M
与
CFE
的数量关系
.
18
．解读基础：
（
1
）图
1
形似燕尾，我们称之为
“
燕尾形
”
，请写出
A
、
B
、
C
、
D
之间的关系，并
说明理由；
（
2
）图
2
形似
8
字，我们称之为
“
八字形
”
，请写出
A
、
B
、
C
、
D
之间的关系，并
说明理由：
应用乐园：直接运用上述两个结论解答下列各题
（
3
）
①
如图
3
，在
ABC
中，
BD
、
CD
分别平分
ABC
和
ACB
，请直接写出
A
和
D
的关系 ；
②
如图
4
，
ABCDEF
．
（
4
）如图
5
，
BAC
与
∠BDC
的角平分线相交于点
F
，
GDC
与
CAF
的角平分线相交
于点
E
，已知
B26
，
C54
，求
F
和
E
的度数．
19
．如图，
MN//GH
，点
A
、
B
分别在直线
MN
、
GH
上，点
O
在直线
MN
、
GH
之间，若
NAO116
，
OBH144
．
（
1
）
AOB
=
；
（
2
）如图
2
，点
C
、
D
是
NAO
、
GBO
角平分线上的两点，且
CDB35
，求
ACD
的
度数；
（
3
）如图
3
，点
F
是平面上的一点，连结
FA
、
FB
，
E
是射线
FA
上的一点，若
MAE
nOAE
，
HBFnOBF
，且
AFB60
，求
n
的值．
20
．如图，直线
PQ//MN
，一副直角三角板
ABC,DEF
中，
ACBEDF90
,ABCBAC45
,DFE30
,DEF60
．
（
1
）若
DEF
如图
1
摆放，当
ED
平分
PEF
时，证明：
FD
平分
EFM
．
（
2
）若
ABC,DEF
如图
2
摆放时，则
PDE
（
3
）若图
2
中
ABC
固定，将
DEF
沿着
AC
方向平移，边
DF
与直线
PQ
相交于点
G
，
作
FGQ
和
GFA
的角平分线
GH、FH
相交于点
H
（如图
3
），求
GHF
的度数．
（
4
）若图
2
中
DEF
的周长
35cm,AF5cm
，现将
ABC
固定，将
DEF
沿着
CA
方向平
移至点
F
与
A
重合，平移后的得到
D\'E\'A
，点
D、E
的对应点分别是
D\'、E\'
，请直接写
出四边形
DEAD\'
的周长．
（
5
）若图
2
中
DEF
固定，（如图
4
）将
ABC
绕点
A
顺时针旋转，
1
分钟转半圈，旋转
至
AC
与直线
AN
首次重合的过程中，当线段
BC
与
DEF
的一条边平行时，请直接写出旋
转的时间．
【参考答案】
一、解答题
1
．（
1
）；（
2
）不能，理由见解析
【分析】
（
1
）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（
2
）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：
解析：（
1
）
2
；（
2
）不能，理由见解析
【分析】
（
1
）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（
2
）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：（
1
）
∵
正方形纸片的面积为
1dm
2
，
∴
正方形的边长
ABBC1dm
，
∴
ACAB
2
BC
2
2dm
．
故答案为：
2
．
（
2
）不能；
根据题意设长方形的长和宽分别为
3xcm
和
2xcm
．
∴
长方形面积为：
2x?3x12
，
解得：
x2
，
∴
长方形的长边为
32cm
．
∵
324
，
∴
他不能裁出．
【点睛】
本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无
理数大小比较是解题的关键．
2
．（
1
）
10
，；（
2
）；（
3
）见解析；（
4
）见解析
【分析】
（
1
）易得
10
个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面
积的算术平方根即可为大正方形的边长；
（
2
）根据大正方形的边长结合实
解析：（
1
）
10
，
10
；（
2
）
101
；（
3
）见解析；（
4
）见解析
【分析】
（
1
）易得
10
个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平
方根即可为大正方形的边长；
（
2
）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；
（
3
）以
2×3
的长方形的对角线为边长即可画出图形；
（
4
）得到
①
中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形．
【详解】
解：（
1
）
∵
图
1
中有
10
个小正方形，
∴
面积为
10
，边长
AD
为
10
；
（
2
）
∵BC=
10
，点
B
表示的数为
-1
，
∴BE=
10
，
∴
点
E
表示的数为
101
；
（
3
）
①
如图所示：
②∵
正方形面积为
13
，
∴
边长为
13
，
如图，点
E
表示面积为
13
的正方形边长．
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特
点画出正方形是解此题的关键．
3
．（
1
）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为
15cm
的线段
作为宽即可裁出符合要求的长方形；（
2
）不能，理由见解析
.
【解析】
（
1
）解：设面积为
400cm2
的正方形纸片的边长为
a cm
∴
解析：（
1
）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为
15cm
的线段作为宽即
可裁出符合要求的长方形；（
2
）不能，理由见解析
.
【解析】
（
1
）解：设面积为
400cm
2
的正方形纸片的边长为
a cm
∴a
2
=400
又
∵a
＞
0
∴a=20
又
∵
要裁出的长方形面积为
300cm
2
∴
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：
300÷20=15
（
cm
）
∴
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为
15cm
的线段作为宽即可裁出符
合要求的长方形
（
2
）
∵
长方形纸片的长宽之比为
3
：
2
∴
设长方形纸片的长为
3xcm
，则宽为
2xcm
∴6x
2
=300
∴x
2
=50
又
∵x
＞
0
∴x
=
52
∴
长方形纸片的长为
152
又
∵
152
2
=450
＞
20
2
即：
152
＞
20
∴
小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片
4
．（
1
）长为，宽为；（
2
）正确，理由见解析
【分析】
（
1
）设长为
3x
，宽为
2x
，根据长方形的面积为
30
列方程，解方程即可；
（
2
）根据长方形纸片的周长为
50
，阴影部分两个长方形的周长之和为
30
列方
程
解析：（
1
）长为
35
，宽为
25
；（
2
）正确，理由见解析
【分析】
（
1
）设长为
3x
，宽为
2x
，根据长方形的面积为
30
列方程，解方程即可；
（
2
）根据长方形纸片的周长为
50
，阴影部分两个长方形的周长之和为
30
列方程组，解方
程组求出
a
即可得到大正方形的面积．
【详解】
解：（
1
）设长为
3x
，宽为
2x
，
则：
3x•2x=30
，
∴x=
5
（负值舍去），
∴3x=
35
，
2x=
25
，
答：这个长方形纸片的长为
35
，宽为
25
；
（
2
）正确．理由如下：
2
ab
a
50
根据题意得：
，
4b2ab30
a10
解得：
，
b5
∴
大正方形的面积为
10
2
=100
．
【点睛】
本题考查了算术平方根，二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元
方程转化为一元方程是解题的关键．
5
．（
1
）
5
；（
2
）；（
3
）
2
与
3
两个整数之间，见解析
【分析】
（
1
）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（
2
）根据实数的性质即可求解；
（
3
）根据实数的估算即可求解．
【详解】
（
1
）阴影正方形的
解析：（
1
）
5
；（
2
）
5
；（
3
）
2
与
3
两个整数之间，见解析
【分析】
（
1
）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；
（
2
）根据实数的性质即可求解；
（
3
）根据实数的估算即可求解．
【详解】
1
（
1
）阴影正方形的面积是
3×3-4×
21
=5
2
故答案为：
5
；
（
2
）设阴影正方形的边长为
x
，则
x
2
=5
∴x=
5
（
-
5
舍去）
故答案为：
5
；
（
3
）
∵
459
∴
253
∴
阴影正方形的边长介于
2
与
3
两个整数之间．
【点睛】
本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法．通过观察可知阴
影部分的面积是
5
个小正方形的面积和．会利用估算的方法比较无理数的大小．
二、解答题
6
．（
1
）
；（
2
）
①
；
②
【分析】
(1)
由平行线的性质得到，由折叠的性质可知，
∠2=∠BFE
，再根据平角的定义
求解即可；
(2) ①
由（
1
）知，，根据平行线的性质得到
，再由折叠的性质及平角的定义
1
1
解析：（
1
）
90a
；（
2
）
①
45a
；
②
50
2
4
【分析】
(1)
由平行线的性质得到
4B\'FCa
，由折叠的性质可知，
∠2=∠BFE
，再根据平角的
定义求解即可；
1
1
(2) ①
由（
1
）知，
BFE90a
，根据平行线的性质得到
BFEC\'GB90a
，
2
2
再由折叠的性质及平角的定义求解即可；
1
②
由（
1
）知，
∠BFE =
EFB
901
，由
B\'FC\'G
可知：
2
B\'FCFGC\'90
，再根据条件和折叠的性质得到
B\'FCFGC\'1+14021=90
，即可求解．
【详解】
解：（
1
）如图，由题意可知
A\'E//B\'F
，
∴
14a
，
∵
AD//BC
，
∴
4B\'FCa
，
BFB
180a
，
由折叠可知
2BFE
11
BFB
90a
．
22
1
（
2
）
①
由题（
1
）可知
BFE90a
，
2
∵
EF//C\'G
，
1
BFEC\'GB90a
，
2
再由折叠可知：
1
1
3HGC180C
GB180
90a
90a
，
2
2
1
3HGC45a
；
4
②
由
B\'FC\'G
可知：
B\'FCFGC\'90
，
1
由（
1
）知
BFE901
，
2
1
B
FC1802BFE1802
901
1
，
2
又
3
的度数比
1
的度数大
20
，
3=1+20
，
FGC
180231802
120
14021
，
B\'FCFGC\'1+14021=90
，
1=50
．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，属于综合题，有一定难度，熟记
“
两直线平行，同位角相等
”
、
“
两直线平行，内错角相等
”
及折叠的性质是解题的关键．
7
．（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
40°
【分析】
（
1
）根据平行线的性质和判定解答即可；
（
2
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可；
（
3
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可．
解析：（
1
）见解析；（
2
）见解析；（
3
）
40°
【分析】
（
1
）根据平行线的性质和判定解答即可；
（
2
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可；
（
3
）过点
H
作
HP∥AB
，根据平行线的性质解答即可．
【详解】
证明：（
1
）
∵AB∥CD
，
∴∠AFE
＝
∠FED
，
∵∠AGH
＝
∠FED
，
∴∠AFE
＝
∠AGH
，
∴EF∥GH
，
∴∠FEH+∠H
＝
180°
，
∵FE⊥HE
，
∴∠FEH
＝
90°
，
∴∠H
＝
180°
﹣
∠FEH
＝
90°
，
∴HG⊥HE
；
（
2
）过点
M
作
MQ∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴MQ∥CD
，
过点
H
作
HP∥AB
，
∵AB∥CD
，
∴HP∥CD
，
∵GM
平分
∠HGB
，
∴∠BGM
＝
∠HGM
＝
2
∠BGH
，
∵EM
平分
∠HED
，
∴∠HEM
＝
∠DEM
＝
2
∠HED
，
∵MQ∥AB
，
∴∠BGM
＝
∠GMQ
，
∵MQ∥CD
，
∴∠QME
＝
∠MED
，
∴∠GME
＝
∠GMQ+∠QME
＝
∠BGM+∠MED
，
∵HP∥AB
，
∴∠BGH
＝
∠GHP
＝
2∠BGM
，
∵HP∥CD
，
∴∠PHE
＝
∠HED
＝
2∠MED
，
∴∠GHE
＝
∠GHP+∠PHE
＝
2∠BGM+2∠MED
＝
2
（
∠BGM+∠MED
），
∴∠GHE
＝
∠2GME
；
（
3
）过点
M
作
MQ∥AB
，过点
H
作
HP∥AB
，
1
1
由
∠KFE
：
∠MGH
＝
13
：
5
，设
∠KFE
＝
13x
，
∠MGH
＝
5x
，
由（
2
）可知：
∠BGH
＝
2∠MGH
＝
10x
，
∵∠AFE+∠BFE
＝
180°
，
∴∠AFE
＝
180°
﹣
10x
，
∵FK
平分
∠AFE
，
∴∠AFK
＝
∠KFE
＝
2
∠AFE
，
1
1
即
(18010x)13x
，
2
解得：
x
＝
5°
，
∴∠BGH
＝
10x
＝
50°
，
∵HP∥AB
，
HP∥CD
，
∴∠BGH
＝
∠GHP
＝
50°
，
∠PHE
＝
∠HED
，
∵∠GHE
＝
90°
，
∴∠PHE
＝
∠GHE
﹣
∠GHP
＝
90°
﹣
50°
＝
40°
，
∴∠HED
＝
40°
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线
是解题的关键．
8
．（
1
）见解析；（
2
）
①2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
；
②20°
【分析】
（
1
）过点
E
作
EP∥AB
交
MH
于点
Q
，利用平行线的性质、角平分线性质、邻
补角和为
180°
，角与角之间的基本运算、等量代换等即
解析：（
1
）见解析；（
2
）
①2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
；
②20°
【分析】
（
1
）过点
E
作
EP∥AB
交
MH
于点
Q
，利用平行线的性质、角平分线性质、邻补角和为
180°
，角与角之间的基本运算、等量代换等即可得证．
（
2
）
①
过点
H
作
GI∥AB
，利用（
1
）中结论
2∠MEN
﹣
∠MHN
＝
180°
，利用平行线的性
质、角平分线性质、邻补角和为
180°
，角与角之间的基本运算、等量代换等得出
∠AMH
＋
∠HNC
＝
360°
﹣（
∠BMH
＋
∠HND
），进而用等量代换得出
2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
．
②
过点
H
作
HT∥MP
，由
①
的结论得
2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
，
∠H
＝
140°
，
∠MEN
＝
110°
．利用平行线性质得
∠ENQ
＋
∠ENH
＋
∠NHT
＝
180°
，由角平分线性质及邻补角可得
∠ENQ
＋
∠ENH
＋
140°
﹣
2
（
180°
﹣
∠BMH
）＝
180°
．继续使用等量代换可得
∠ENQ
度数．
【详解】
解：（
1
）证明：过点
E
作
EP∥AB
交
MH
于点
Q
．如答图
1
1
∵EP∥AB
且
ME
平分
∠BMH
，
∴∠MEQ
＝
∠BME
＝
2
∠BMH
．
∵EP∥AB
，
AB∥CD
，
∴EP∥CD
，又
NE
平分
∠GND
，
∴∠QEN
＝
∠DNE
＝
2
∠GND
．（两直线平行，内错角相等）
∴∠MEN
＝
∠MEQ
＋
∠QEN
＝
2
∠BMH
＋
2
∠GND
＝
2
（
∠BMH
＋
∠GND
）．
∴2∠MEN
＝
∠BMH
＋
∠GND
．
∵∠GND
＋
∠DNH
＝
180°
，
∠DNH
＋
∠MHN
＝
∠MON
＝
∠BMH
．
∴∠DHN
＝
∠BMH
﹣
∠MHN
．
∴∠GND
＋
∠BMH
﹣
∠MHN
＝
180°
，
即
2∠MEN
﹣
∠MHN
＝
180°
．
111
1
1
（
2
）
①
：过点
H
作
GI∥AB
．如答图
2
由（
1
）可得
∠MEN
＝
2
（
∠BMH
＋
∠HND
），
由图可知
∠MHN
＝
∠MHI
＋
∠NHI
，
∵GI∥AB
，
∴∠AMH
＝
∠MHI
＝
180°
﹣
∠BMH
，
∵GI∥AB
，
AB∥CD
，
∴GI∥CD
．
∴∠HNC
＝
∠NHI
＝
180°
﹣
∠HND
．
∴∠AMH
＋
∠HNC
＝
180°
﹣
∠BMH
＋
180°
﹣
∠HND
＝
360°
﹣（
∠BMH
＋
∠HND
）．
又
∵∠AMH
＋
∠HNC
＝
∠MHI
＋
∠NHI
＝
∠MHN
，
∴∠BMH
＋
∠HND
＝
360°
﹣
∠MHN
．
即
2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
．
故答案为：
2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
．
②
：由
①
的结论得
2∠MEN
＋
∠MHN
＝
360°
，
∵∠H
＝
∠MHN
＝
140°
，
∴2∠MEN
＝
360°
﹣
140°
＝
220°
．
∴∠MEN
＝
110°
．
过点
H
作
HT∥MP
．如答图
2
∵MP∥NQ
，
∴HT∥NQ
．
∴∠ENQ
＋
∠ENH
＋
∠NHT
＝
180°
（两直线平行，同旁内角互补）．
∵MP
平分
∠AMH
，
∴∠PMH
＝
2
∠AMH
＝
2
（
180°
﹣
∠BMH
）．
∵∠NHT
＝
∠MHN
﹣
∠MHT
＝
140°
﹣
∠PMH
．
∴∠ENQ
＋
∠ENH
＋
140°
﹣
2
（
180°
﹣
∠BMH
）＝
180°
．
∵∠ENH
＝
2
∠HND
．
∴∠ENQ
＋
2
∠HND
＋
140°
﹣
90°
＋
2
∠BMH
＝
180°
．
∴∠ENQ
＋
2
（
HND
＋
∠BMH
）＝
130°
．
∴∠ENQ
＋
2
∠MEN
＝
130°
．
∴∠ENQ
＝
130°
﹣
110°
＝
20°
．
1
11
1
1
1
1
1
1
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，邻补角，等量代换，角之间的数量关系运
算，辅助线的作法，正确作出辅助线是解题的关键，本题综合性较强．
9
．（
1
）
①PM⊥MN
，理由见解析；
②∠EPB
的度数为
125°
；（
2
）
∠APM
+∠QMN=90°
或
∠APM -∠QMN=90°
．
【分析】
（
1
）
①
利用平行线的性质得到
∠APM=∠PMQ
，再根据已知条
解析：（
1
）
①PM⊥MN
，理由见解析；
②∠EPB
的度数为
125°
；（
2
）
∠APM
+∠QMN=90°
或
∠APM -∠QMN=90°
．
【分析】
（
1
）
①
利用平行线的性质得到
∠APM=∠PMQ
，再根据已知条件可得到
PM⊥MN
；
②
过点
N
作
NH∥CD
，利用角平分线的定义以及平行线的性质求得
∠MNH=35°
，即可求
解；
（
2
）分三种情况讨论，利用平行线的性质即可解决．
【详解】
解：（
1
）
①PM⊥MN
，理由见解析：
∵AB//CD
，
∴∠APM=∠PMQ
，
∵∠APM+∠QMN=90°
，
∴∠PMQ +∠QMN=90°
，
∴PM⊥MN
；
②
过点
N
作
NH∥CD
，
∵AB//CD
，
∴AB// NH∥CD
，
∴∠QMN=∠MNH
，
∠EPA=∠ENH
，
∵PA
平分
∠EPM
，
∴∠EPA=∠ MPA
，
∵∠APM+∠QMN=90°
，
∴∠EPA +∠MNH=90°
，即
∠ENH +∠MNH=90°
，
∴∠MNQ +∠MNH +∠MNH=90°
，
∵∠MNQ=20°
，
∴∠MNH=35°
，
∴∠EPA=∠ENH=∠MNQ +∠MNH=55°
，
∴∠EPB=180°-55°=125°
，
∴∠EPB
的度数为
125°
；
（
2
）当点
M
，
N
分别在射线
QC
，
QF
上时，如图：
∵PM⊥MN
，
AB//CD
，
∴∠PMQ +∠QMN=90°
，
∠APM=∠PMQ
，
∴∠APM +∠QMN=90°
；
当点
M
，
N
分别在射线
QC
，线段
PQ
上时，如图：
∵PM⊥MN
，
AB//CD
，
∴∠PMN=90°
，
∠APM=∠PMQ
，
∴∠PMQ -∠QMN=90°
，
∴∠APM -∠QMN=90°
；
当点
M
，
N
分别在射线
QD
，
QF
上时，如图：
∵PM⊥MN
，
AB//CD
，
∴∠PMQ +∠QMN=90°
，
∠APM+∠PMQ=180°
，
∴∠APM+90°-∠QMN=180°
，
∴∠APM -∠QMN=90°
；
综上，
∠APM +∠QMN=90°
或
∠APM -∠QMN=90°
．
【点睛】
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