考研数学二(线性代数)历年真题试卷汇编7(题后含答案及解析)

2024年1月23日发(作者：打印高考数学试卷模板下载)

考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编7

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵。若A3=O，则( )

A．E—A不可逆，E＋A不可逆。

B．E—A不可逆，E+A可逆。

C．E—A可逆，E+A可逆。

D．E—A可逆，E+A不可逆。

正确答案：C

解析：利用单位矩阵E，将A3=O变形为E—A3=E和A3+E=E，进一步分解为(E—A)(E＋A＋A2)=E一A3=E，(E＋A)(E—A＋A2)=E+A3=E，则E—A，E+A均可逆。

2． 设A为n(n≥2)阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )

A．交换A*的第1列与第2列得B*。

B．交换A*的第1行与第2行得B*。

C．交换A*的第1列与第2列得一B*。

D．交换A*的第1行与第2行得一B*。

正确答案：C

解析：由题设，存在初等矩阵E12(交换n阶单位矩阵的第1行与第2行所得)，使得E12A=B，由于A可逆，可知B也可逆，故B*=(E12A)*一｜E12A｜(E12A)－1=一｜A｜A－1E12－1=一A*E12－1，即A*E12=－B*，故选C。

3． 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P－1AP=。若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则Q－1AQ=( )

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：

4． 设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs

线性表示，则( )

A．当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关。

B．当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关

C．当r＜s时，向量组Ⅰ必线性相关。

D．当r＞s时，向量组Ⅰ必线性相关。

正确答案：D

5． 设向量组，α1，α2，α3线性无关，向量β1可由α1，α2，α3线性表示，而向量β2不能由α1，α2，α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )

A．α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。

B．α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关。

C．α1，α2，α3，β1+kβ2线性无关。

D．α1，α2，α3，β1+kβ2线性相关。

正确答案：A

解析：方法一：由题知，α1，α2，α3，β2线性无关，α1，α2，α3，β1线性相关，则存在k1，k2，k3使β1=k1α1+k2α2+k3α3，于是通过列初等变换有(α1，α2，α3，kβ1+β2)→(α1，α2，α3，β2)。因此r(α1，α2，α3，kβ1+β2)=r(α1，α2，α3，β2)=4，故α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选A。方法二：取k=0，由条件知向量组α1，α2，α3，β2线性无关，α1，α2，α3，β1线性相关，所以应该排除B，C。取k=1，因β1可由α1，α2，α3线性表出，β2不能由α1，α2，α3线性表出，所以α1，α2，α3，β1+β2线性无关，因而可排除D。故答案选A。方法三：对任意常数k，向量组α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关。用反证法，若α1，α2，α3，kβ1+β2线性相关，因已知α1，α2，α3线性无关，故kβ1+β2可由α1，α2，α3线性表出。即存在常数λ1，λ2，λ3，使得kβ1+β2=λ1α1+λ2α2+λ3α3。又已知β1可由α1，α2，α3线性表出，即存在常数l1，l2，l3，使得β1=l1α1+l2α2+l3α3代入上式，得kβ1+β2=k(l1α1+l2α2+l3α3)+β2=λ1α1+λ2α2+λ3α3β2=(λ1一kl1)α1+(λ2一kl2)α2+(λ3一kl3)α3。与β2不能由α1，α2，α3线性表出矛盾。故向量组α1，α2，α3，kβ1+β2线性无关，选A。

6． 设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的( )

A．必要非充分条件。

B．充分非必要条件。

C．充分必要条件。

D．既非充分也非必要条件。

正确答案：A

解析：若向量α1，α2，α3线性无关，则(α1+kα3，α2+lα3)=(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)K，对任意的常数k，l，矩阵K的秩都等于2，所以向量α1+kα3，α2+lα3一定线性无关。而当时，对任意的常数k，l，向量α1+k

α3，α2+lα3线性无关，但α1，α2，α3线性相关。故选择A。

填空题

7． 设矩阵A=，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=_________。

正确答案：

解析：由于AA*=A*A=｜A｜E，且｜A｜=3，所以｜A*｜=｜A｜2=9。由ABA*=2BA*+E可得ABA*一2BA*=E，即(A一2E)BA*=E，则｜A一2E｜｜B｜｜A*｜=｜E｜=1，

8． 设A为三阶矩阵，｜A｜=3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则｜BA*｜=________。

正确答案：-27

解析：｜BA*｜=｜B｜．｜A*｜，其中｜B｜=一｜A｜=一3，｜A*｜=｜A｜3－1=9，因此｜BA*｜=一27。

9． 设α，β为三维列向量，βT为β的转置，若矩阵αβT相似于，则βTα=________。

正确答案：2

解析：因为αβT相似于根据相似矩阵有相同的特征值，得到αβT的特征值是2，0，0，而βTα是一个常数，是矩阵αβTT的对角元素之和，则βTα=2+0+0=2。

10． 设二次型f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是_________。

正确答案：[一2，2]

解析：由配方法可知，f(x1，x2，x3)=x12一x22+2ax1x3+4x2x3=(x1+ax3)2一(x2—2x3)2+(4一a2)x32，因二次型的负惯性指数为1，故4一a2≥0，所以a的取值范围是[一2，2]。

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11． 设(2E—C－1B)AT=C－1，其中E是四阶单位矩阵，AT是四阶矩阵A的转置矩阵，求A。

正确答案：由矩阵运算法则，将等式(2E一C－1B)AT=C－1两边左乘C，得C(2E－C－1B)AT=CC－1，即(2C一B)AT=E。对上式两端取转置，有A(2CT—BT)=E。由可逆矩阵及逆矩阵的定义，可知矩阵2CT一BT，A均可逆，因为A是四阶方阵，故A=(2CT—BT)－1=。

已知α1=(1，4，0，2)T，α2=(2，7，1，3)T，α3=(0，1，一1，a)T，β=(3，10，b，4)T，问：

12． a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示；

正确答案：令A=(α1，α2，α3)，x=(x1，x2，x3)T，作方程组Ax=β，并对此方程组的增广矩阵进行作初等变换：由非齐次线性方程组有解的判定定理，可得当b≠2时，线性方程组Ax=β无解，此时β不能由α1，α2，α3线性表出。

13． a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示，并写出此表达式。

正确答案：当b=2，a≠1时，r(A)==3，线性方程组Ax=β有唯一解，下面求此唯一解。由以上增广矩阵变换可得线性方程组Ax=β的同解方程组为解得唯一解为x=(一1，2，0)T。故β能由α1，α2，α3线性表出为β=一α1+2α2。当b=2，a=1时，r(A)==2＜3，线性方程组Ax=β有无穷多解。求齐次线性方程组Ax=0的基础解系。齐次线性方程组Ax=0的同解方程组为基础解系所含向量的个数为n一r(A)=3—2=1，选x2为自由未知量，取x2=1，解得基础解系为ξ=(一2，1，1)T。取x3=0，解得的一个特解为η*=(一1，2，0)T，则由非齐次线性方程组解的结构可知，方程组Ax=β的通解为x=kξ+η*=(一2k一1，k+2，k)T，k是任意常数。则β能由α1，α2，α3线性表出，且表示法为无穷多(常数k可以任意)，且β=一(2k+1)α1+(k+2)α2+kα3。

14． 设α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，试问实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也为Ax=0的一个基础解系。

正确答案：由题设知，β1，β2，β3，β4均为α1，α2，α3，α4的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以β1，β2，β3，β3均为Ax=0的解。下面证明β1，β2，β3，β3线性无关。设k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=0， (*)把β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1，代入整理得，(k1+tk4)α1+(k2+tk1)α2+(k3+tk2)α3+(k4+tk3)α4=0，由α1，α2，α3，α4为线性方程组Ax=0的一个基础解系，知α1，α2，α3，α4线性无关，由线性无关的定义，知(*)中其系数全为零，即其系数行列式=1一t4。由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当1一t4≠0，即当t≠±1日寸，上述方程组只有零解k1=k2=k3=k4=0，从而向量组β1，β2，β3，β4线性无关。故当t≠±1时，β1，β2，β3，β4也是方程组Ax=0的基础解系。

15． 已知四阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均为四维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3。若β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解。

正确答案：令x=，则Ax=(α1，α2，α3，α4)=β。且得x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α1＋α2＋α3＋α4，将α1=2α2－α3代入上式，整理后得(2x1+x2—3)α2+(一x1+x3)α3+(x4—1)α4=0。因α2，α3，α4线性无关，知解此方程组得x=，其中k为任意常数。

设矩阵A=，E为三阶单位矩阵。

16． 求方程组Ax=0的一个基础解系；

正确答案：对系数矩阵A进行初等行变换如下：得到方程组Ax=0的同解方程组得到Ax=0的一个基础解系ξ1=。

解析：对系数矩阵A进行初等行变换，得到Ax=0的同解方程组，可解出基础解系；

17． 求满足AB=E的所有矩阵B。

正确答案：显然B矩阵是一个4×3矩阵，设B=进行初等行变换如下：由方程组可得矩阵B对应的三列分别为即满足AB=E的所有矩阵为其中c1，c2，c3为任意常数。

解析：对增广矩阵(AE)进行初等行变换，可得矩阵B的三个列向量表达式，即得矩阵B。

设。

18． 计算行列式｜A｜；

正确答案：=1一a4。

解析：直接将行列式按照第一列展开。

19． 当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解。

正确答案：方程组Ax=β的增广矩阵为要使得方程组Ax=β有无穷多解，则有1一a4=0及一a一a2=0，可知a=一1符合题意。此时，原线性方程组增广矩阵为进一步化为行最简形得则基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为(k为任意常数)。

解析：由题目条件知r(A)=r(A，β)＜4，根据该条件求出a，再进一步求出齐次线性方程组的通解及非齐次线性方程组的特解。

20． 已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0。试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0。

正确答案：必要性。设三条直线l1，l2，l3交于一点，则线性方程组有唯一解，所以系数矩阵=0。又=6(a+b+c)(a2+b2+c2一ab一ac—bc)=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，而根据题设(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，故a+b+c=0。充分性：由a+b+c=0，则从必要性的证明可知，＜3。由于=2(ac—b2)=一2[a(a+b)+b2]=一2[(a＋b)2＋b2]≠0，故r(A)=2。于是，r(A)==2。因此方程组(*)有唯一解，即三直线l1，l2，l3交于一点。

解析：三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2。

21． 证明n阶矩阵相似。

正确答案：设，分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：｜λE一A ｜==(λ—n)λn－1。所以A的n个特征值为λ1=n，λ2=λ3=…λn=0，而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化，且A～，｜λE一B｜==(λ一n)λn－1，所以B的n个特征值也为λ1=n，λ2=λ3=…λn=0，对于n－1重特征值λ=0，由于矩阵(0E—B)=一B的秩显然为1，所以矩阵B对应n一1重特征值λ=0的特征向量应该有n一1个且线性无关。矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且B～。从而可知n阶矩阵相似。

22． 设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求a的值。并讨论A是否可相似对角化。

正确答案：A的特征多项式为若λ=2是特征方程的二重根时，有22一16+18+3a=0，解得a=一2。当a=一2时，A的特征值为2，2，6，矩阵2E一A=的秩为1，故λ=2对应的线性无关的特征向量有两个，因此A可相似对角化。若λ=2不是特征方程的二重根，则λ2一8λ+18+3a为完全平方式，从而18+3a=16，解得a=。当a=时，A的特征值为2，4，4，矩阵4E—A=秩为2，故λ=4对应的线性无关的特征向量只有一个，因此A不可相似对角化。

设矩阵A=相似于矩阵B=。

23． 求a，b的值；

正确答案：由A～B有tr(A)=tr(B)，故a一b=一1，又由｜A｜=｜B｜有2a一b=3，解得a=4，b=5。

24． 求可逆矩阵P，使P－1AP为对角阵。

正确答案：先求A的特征根，｜λE一A｜=0，得λ1=λ2=1，λ3=5，再求A的特征向量，当λ1=λ2=1时，(E－A)x=0，解得x1=(2，1，0)T，x2=(－3，0，1)T，当λ3=5时，(5E－A)x=0，解得x3=(－1，－1，1)T，令P=(x1，x2，x3)=，则P－1AP=。

设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，且

25． 求A的所有特征值与特征向量；

正确答案：由于，可设α1=(1，0，一1)T，α2=(1，0，1)T，则A(α1，α2)=(一α1，α2)，即Aα1=一α1，Aα2=α2，A的特征值为λ1=一1，λ2=1，对应的特征向量分别为k1α1(k1≠0)，k2α2(k2≠0)。由r(A)=2可知，｜A｜=0，所以λ3=0。根据实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交可设λ3=0对应的特征向量为α3=(x1，x2，x3)T，则解得α3=(0，1，0)T，故λ3=0对应的特征向量为k3α3(k3≠0)。

26． 求矩阵A。

正确答案：由于不同特征值对应的特征向量已经正交，故只需单位化，即

解析：本题需要先求出A的特征值，再求所对应的线性无关的特征向量(α1，α2，…，αn)，构造可逆矩阵P=(α1，α2，…，αn)，最后求出A=。

27． 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。

正确答案：二次型f的矩阵A=。因为其标准形为λ1y12+λ2y22，所以｜A｜==3(2－a)=0。解得a=2。再由｜λE一A｜==λ(λ+3)(λ一6)=0解得λ1=6，λ2=一3，λ3=0。当λ=6时，6E－A=，对应的一个特征向量为(一1，0，1)T；当λ=一3时，一3E一A=，对应的一个特征向量为(1，一1，1)T；当λ=0时，0E—A=，对应的一个特征向量为(1，2，1)T。由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得