2023年12月16日发(作者：适合小学写的数学试卷)
中考经典几何题系列：几何最值问题
【知识点】
几何中最值问题包括： ①“面积最值” ②“线段（和、差）最值”.
（1）求面积的最值
方法：需要将面积表达成函数，借助函数性质结合取值范围求解；
（2）求线段及线段和、差的最值
方法：需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理.
一般处理方法：
线段和(周长)最小
平移
对称
旋转
使点在线异侧
（如下图）
两点之间，线段最短
垂线段最短
常用定理：
线段差最大
平移
对称
旋转
使点在线同侧
（如下图）
三角形三边关系定理
三点共线时取得最值
两点之间，线段最短（已知两个定点时）
垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）
三角形三边关系
B
APA+PB最小，
l需转化，使点在线异侧
P
B\'
下面对三类线段和的最值问题进行分析、讨论。
AB\'|PA-PB|最大，
需转化，使点在线同侧
PlB（1）
两点一线的最值问题: （两个定点 + 一个动点）
问题特征：已知两个定点位于一条直线的同一侧，在直线上求一动点的位置，使动点与定点线1 / 18 段和最短。
核心思路：这类最值问题所求的线段和中只有一个动点，解决这类题目的方法是找出任一定点关于直线的对称点，连结这个对称点与另一定点，交直线于一点，交点即为动点满足最值的位置。
方法：1.定点过动点所在直线做对称。
2.连结对称点与另一个定点，则直线段长度就是我们所求。
变异类型：实际考题中，经常利用本身就具有对称性质的图形，比如等腰三角形，等边三角形、正方形、圆、二次函数、直角梯形等图形，即其中一个定点的对称点就在这个图形上。
1.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。
（2）
一点两线的最值问题: （两个动点+一个定点）
问题特征：已知一个定点位于平面内两相交直线之间，分别在两直线上确定两个动点使线段和最短。
核心思路：这类问题实际上是两点两线段最值问题的变式，通过做这一定点关于两条线的对称点，实现“搬点移线”，把线段“移”到同一直线上来解决。
变异类型：
1.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。
2 / 18 2.如图，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。
（3）
两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）
问题特征：两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。
核心思路：用平移方法，可把两动点变成一个动点，转化为“两个定点和一个动点”类型来解。
变异类型：
1.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B。使四边形PAQB的周长最小。
2.如图，已知A（1，3），B（5，1），长度为2的线段PQ在x轴上平行移动，当AP+PQ+QB的值最小时，点P的坐标为( )
3 / 18 3.
（4）
两点两线的最值问题: （两个动点+两个定点）
问题特征：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。
核心思路：利用轴对称变换，使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上（两点之间线段最短），且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线（连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。
变异类型：演变为多边形周长、折线段等最值问题。
1. 如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小。
4 / 18 经典例题讲解
一．选择题（共6小题）
1．（孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（ ）
A． 3 B． C． D．
3 2 3
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．
解答： 解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，
∴BD⊥AC，EC=3，
连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴AE==．
=3，
∴PE+PC的最小值是3故选D．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
2．（鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（ ）
A． 50 B．
50
考点： 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．
专题： 压轴题．
C．
50﹣50
D．
50+50
5 / 18 分析： 过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．
解答： 解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，
过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．
MK=40+10=50，
作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．
∵LN=AS=∴KN=60+40=100．
∴MN==50．
．
=40．
∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50∴四边形PABQ的周长=50+50．
故选D．
点评： 本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．
3．（秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
30° 40° 50° 60°
A． B． C． D．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．
解答： 解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN6 / 18 的周长最小值，作DA延长线AH，．
∵∠DAB=110°，
∴∠HAA′=70°，
∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，
∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，
∴∠MAB+∠NAD=70°，
∴∠MAN=110°﹣70°=40°．
故选B．
点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
4．（无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=点O的距离最大时，OA长度为（ ）
．运动过程中，当点D到
A． B．
C． 2 D．
考点： 勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．
分析： 取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．
解答： 解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，
∵∠MON=90°，
∴OE=AE=AB=×2=1，
∵三边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，
由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，
此时，OD=OE+DE=1+2=3，
过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE=即=，
=，
解得DF=，
7 / 18 ∵OD=3，
∴点F是OD的中点，
∴AF垂直平分OD，
∴OA=AD=．
故选B．
点评： 本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．
5．（鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（ ）
A．
B．
C．
D． 1
考点： 轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
分析：
根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．
解答：
解：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，延长DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，
则四边形BMNE的周长最小，
由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，
∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，
∴△PFQ∽△PDC，
∴∴==，
，
解得：PQ=，
∴PC=，
8 / 18 由对称性可求得tan∠MBC=tan∠PDC==．
故选：A．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出M，N的位置是解题关键．
6．（江干区一模）如图，△ABC中，CA=CB，AB=6，CD=4，E是高线CD的中点，以CE为半径⊙C．G是⊙C上一动点，P是AG中点，则DP的最大值为（ ）
A．
B．
C．
2
D．
考点： 圆的综合题．
分析：
根据等腰三角形的性质可得点D是AB的中点，然后根据三角形中位线定理可得DP=BG，然后利用两点之间线段最短就可解决问题．
解答： 解：连接BG，如图．
∵CA=CB，CD⊥AB，AB=6，
∴AD=BD=AB=3．
又∵CD=4，
∴BC=5．
∵E是高线CD的中点，
∴CE=CD=2，
∴CG=CE=2．
根据两点之间线段最短可得：BG≤CG+CB=2+5=7．
当B、C、G三点共线时，BG取最大值为7．
∵P是AG中点，D是AB的中点，
9 / 18 ∴PD=BG，
∴DP最大值为．
故选A．
点评： 本题主要考查了圆的综合题，涉及了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、两点之间线段最短等知识，利用三角形中位线定理将DP转化为BG是解决本题的关键．
二．填空题（共3小题）
7．（江阴市校级模拟）如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作等腰直角△ACD和等腰直角△BCE，那么DE长的最小值是 2 ．
考点： 等腰直角三角形．
分析：
设AC=x，BC=4﹣x，根据等腰直角三角形性质，得出CD=x，CD′=（4﹣x），根据勾股定理然后用配方法即可求解．
解答： 解：设AC=x，BC=4﹣x，
∵△ABC，△BCD′均为等腰直角三角形，
∴CD=x，CD′=（4﹣x），
∵∠ACD=45°，∠BCD′=45°，
∴∠DCE=90°，
∴DE2=CD2+CE2=x2+（4﹣x）2=x2﹣4x+8=（x﹣2）2+4，
∴当x取2时，DE取最小值，最小值为：4．
故答案为：2．
点评： 本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形，难度不大，关键是掌握用配方法求二次函数最值．
8．（河南校级模拟）如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，当BP= 4 时，四边形APQE的周长最小．
10 / 18
考点： 轴对称-最短路线问题．
专题： 压轴题．
分析： 要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，则此时AP+EQ=EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的长度．
解答： 解：如图，在AD上截取线段AF=DE=2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°．
设BP=x，则CQ=BC﹣BP﹣PQ=8﹣x﹣2=6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6﹣x=2，
解得x=4．
故答案为4．
点评： 本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
9．（武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ﹣1 ．
11 / 18
考点： 正方形的性质．
专题： 压轴题．
分析： 根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
解答： 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1=∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，
∴∠1+∠BAH=90°，
∴∠AHB=180°﹣90°=90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH=AO=AB=1，
在Rt△AOD中，OD===，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值=OD﹣OH=﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆长度最小）
12 / 18
上运动当O、H、D三点共线时，DH故答案为：﹣1．
点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点．
三．解答题（共1小题）
10．（黄冈中学自主招生）阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是 6 ．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是 （或不化简为） ．（结果可以不化简）
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；
（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A\'P\'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P\'A′+P\'B+PC．当A\'、P\'、P、C四点共线时，（P\'A′+P\'B+PC）最短，即线段A\'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．
解答： 解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，
∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C
∴△A′BA是等边三角形，
∴A′A=AB=BA′=2，
在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，
则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；
13 / 18 故答案是：6．
（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．
以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A\'P\'B．则A\'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，
∴PA+PB+PC=P′A′+P\'B+PC．
∵当A\'、P\'、P、C四点共线时，（P\'A+P\'B+PC）最短，即线段A\'C最短，
∴A\'C=PA+PB+PC，
∴A\'C长度即为所求．
过A\'作A\'D⊥CB延长线于D．
∵∠A\'BA=60°（由旋转可知），
∴∠1=30°．
∵A\'B=4，
∴A\'D=2，BD=2∴CD=4+2．
，
=（或不化简为）．
=）．
=2+2； 在Rt△A\'DC中A\'C=∴AP+BP+CP的最小值是：2+2故答案是：2+2（或不化简为
点评： 本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．
14 / 18 经典练习题（一）
答案在后面
1. 如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为______cm．
2. 如图,点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，
若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN周长的最小值为 .
M蚂蚁AC蜂蜜APONB3. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，
A若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为 .
4. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为
线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为 .
5. 如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ．
BBPQDECAKQPCD6. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点. 若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，则点F的坐标为 .
7. 如图，两点A、B在直线MN外的同侧，A到MN的距离AC=8，B到MN的距离BD=5，CD=4，P在直线MN上运动，则PAPB的最大值等于 ．
y
yBCABP(a,0)N(a+2,0)OB(4,-1)xDA(1,-3)OEFAxMDPCN15 / 18 第5题图 第6题图 第7题图
8. 如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________．
BEMPCAF
9. 如图，已知AB=10，P是线段AB上任意一点，在AB的同侧分别以AP和PB为边作等边△APC和等边△BPD，则CD长度的最小值为 ．
10. 如图，点P在第一象限，△ABP是边长为2的等边三角形，当点A在x轴的正半轴上运动时，点B随之在y轴的正半轴上运动，运动过程中，点P到原点的最大距离是________.若将△ABP中边PA的长度改为22，另两边长度不变，则点P到原点的最大距离变为_________．
CDOAxyBPAPB 第9题图 第10题图
11. 在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，M、N两点分别是边
AB、AC上的动点，将△AMN沿MN翻折，A点的对应
点为A′，连接BA′，则BA′的最小值是_________．
B
AMA\'CN16 / 18 经典练习题（二）
答案在后面
1． 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC平分∠BAD，点E在AB上，且AE=2（AE＜AD），点P是AC上的动点，则PE＋PBC的最小值是__________．
AEBBQCDPCADPMANDB第1题图 第2题图 第3题图
2． 在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm（结果不取近似值）.
3． 如图，在锐角△ABC中，AB42，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为___________．
4． 圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= 4cm．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 。
5． 圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC=6cm，点P是母线BC上一点，且PC= 4cm．一只蚂蚁从圆柱外面的A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点圆柱内侧的P的最短距离是 ．
6． 一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=（m<0）的图象交于A，B两点，x其中点A的坐标为（-6，2）
（1）求m，k的值；
（2）点P为y轴上的一个动点，当点P在什么位置时|PA-PB|
的值最大？并求出最大值.
17 / 18
AOBxym7． 已知点A（3，4），点B为直线x=-1上的动点，设B（-1，y）．
（1）如图1，若点C（x，0）且-1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式；
（2）如图2，当点B的坐标为（-1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小？求出此时点E的坐标．
yAyABB(-1,1)xDOEF
DOCxx=-1
x=-1
图1 图2
【练习题一答案】
1. 15
9．2．6
12
577 6．（，0） 7．5
433．22 4．3 5． 8．310．5 11.
3+1；5+1 12．2
11.
434
【练习题二答案】
1．210 2．15 3．4 4．2 5．222
26．（1）m12,k；（2）当点P的坐标为（0，-10）时，|PA-PB|的最大值为35；
31x327.（1）yx2+；（2）E(,0)．
4245
18 / 18
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