2023年12月5日发(作者：长春高二数学试卷及答案解析)
圆的有关概念与性质
圆的有关概念与性质
1.圆上各点到圆心的距离都等于 半径 。
2.圆是 轴 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 对称轴 ；圆又是 中心 对称图形， 圆心 是它的对称中心。
3.垂直于弦的直径平分 这条弦 ，并且平分 弦所对的弧 ；平分弦（不是直径）的 直径 垂直于弦，并且平分 弦所对的弧 。
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 相等 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等 。
5.同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，都等于它所对的圆心角的 一半 。
6.直径所对的圆周角是 90° ，90°所对的弦是 直径 。
7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫 外 心，是三角形 三边垂直平分线 的交点。
8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 内切圆 ，内切圆的圆心是三角形 三条角平分线的交点 的交点，叫做三角形的 内心 。
9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．
10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角
与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系共有三种：① 点在圆外 ，② 点在圆上 ，③ 点在圆内 ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：
①d > r，②d = r，③d < r.
2.直线与圆的位置关系共有三种：① 相交 ，② 相切 ，③ 相离 ；
对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：
①d < r，②d = r，③d > r.
3.圆与圆的位置关系共有五种：
① 内含 ，② 相内切 ，③ 相交 ，④ 相外切 ，⑤ 外离 ；
两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：
①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r.
4.圆的切线 垂直于 过切点的半径；经过 直径 的一端，并且 垂直于 这条
直径 的直线是圆的切线.
5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线， 切线长 相等，这点与圆心之间的连线 平分 这两条切线的夹角。
与圆有关的计算
nrr1.圆的周长为 2πr ，1°的圆心角所对的弧长为
180 ，n°的圆心角所对的弧长
nr为
180 ，弧长公式为l180n为圆心角的度数上为圆半径) .
r222. 圆的面积为 πr ，1°的圆心角所在的扇形面积为
360 ，n°的圆心角所在1的扇形面积为S=
360
R =
2rl(n为圆心角的度数,R为圆的半径）.
3.圆柱的侧面积公式：S= 2
rl（其中为 底面圆 的半径 ，为 圆柱 的高.）
2n4. 圆锥的侧面积公式：S=（其中为 底面 的半径 ，为 母线 的长.）
圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积
测试题
一、选择题（每小题3分，共45分）
1．在△ABC中，∠C=90°，AB＝3cm，BC＝2cm,以点A为圆心，以2.5cm为半径作圆，则点C和⊙A的位置关系是（ ）。
A．C在⊙A 上 Ｂ．C在⊙A 外
C．C在⊙A 内 Ｄ．C在⊙A 位置不能确定。
2．一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。
A．16cm或6cm Ｂ．3cm或8cm C．3cm Ｄ．8cm
3．AB是⊙O的弦，∠AOB＝80°则弦AB所对的圆周角是（ ）。
A．40° Ｂ．140°或40° C．20° Ｄ．20°或160°
4．O是△ABC的内心，∠BOC为130°，则∠A的度数为（ ）。
A．130° Ｂ．60° C．70° Ｄ．80°
5．如图1，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D、E、F，已知∠A = 100°，∠C = 30°，则∠DFE的度数是（ ）。
A．55° Ｂ．60° C．65° Ｄ．70°
6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A、B、C、D
处各有一棵树，且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其
中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。
A． A处 B． B处 C．C处 D．D 处
图1 图2
7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。
A．内含 Ｂ．内切 C．相交 Ｄ． 外切
8．已知半径为R和r的两个圆相外切。则它的外公切线长为（ ）。
22A．R＋r Ｂ．R+r C．R+r Ｄ．2Rr
9．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。
Ａ．10π B．12π Ｃ．15π Ｄ．20π
10．如果在一个顶点周围用两个正方形和n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n的值是（ ）。
A．3 B．4 C．5 D．6
11．下列语句中不正确的有（ ）。
①相等的圆心角所对的弧相等
②平分弦的直径垂直于弦
③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
④长度相等的两条弧是等弧
A．3个 Ｂ．2个 C．1个 Ｄ．4个
12．先作半径为3的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作2上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。
A．(32233)7 Ｂ．(3)8 C．()7 Ｄ．()8
233213．如图3，⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，⊙O内切于⊿ABC ，则阴影部分面积为( )
A．12-π Ｂ．12-2π C．14-4π Ｄ．6-π
14．如图4，在△ABC 中，BC ＝4，以点A为圆心、2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于E，交 AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）。
A．4－8844π B．4－π C．8－π D．8－π
999915．如图5，圆内接四边形ABCD的BA、CD的延长线交于P，AC、BD交于E，则图中相似三角形有（ ）。
A．2对 Ｂ．3对 C．4对 Ｄ．5对
图3 图4 图5
二、填空题（每小题3分，共30分）
1．两圆相切，圆心距为9 cm，已知其中一圆半径为5 cm，另一圆半径为_____.
2．两个同心圆，小圆的切线被大圆截得的部分为6，则两圆围成的环形面积为_________。
3．边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为_________。
4．同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为_________。
5．矩形ABCD中，对角线AC＝4，∠ACB＝30°，以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是_________。
6.扇形的圆心角度数60°，面积6π，则扇形的周长为_________。
7．圆的半径为4cm，弓形弧的度数为60°，则弓形的面积为_________。
8．在半径为5cm的圆内有两条平行弦，一条弦长为6cm，另一条弦长为8cm，则两条平行弦之间的距离为_________。
9．如图6，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BOC=100°，MN是过B点而垂直于OB的直线，则∠ABM=________，∠CBN=________；
10．如图7，在矩形ABCD中，已知AB=8 cm，将矩形绕点A旋转90°，到达A′B′C′D′的位置，则在转过程 中，边CD扫过的(阴影部分)面积S=_________。
图6 图7
三、解答下列各题（第9题11分，其余每小题8分，共75分）
1．如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD分别与⊙O相交于A、B、C、D。
(1)PO平分∠BPD； (2)AB=CD；(3)OE⊥CD，OF⊥AB；(4)OE=OF。
从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明。
B
A
P
CE
FO
D
2．如图，⊙O1的圆心在⊙O的圆周上，⊙O和⊙O1交于A，B，AC切⊙O于A，连结CB，BD是⊙O的直径，∠D＝40°求：∠A O1B、∠ACB和∠CAD的度数。
3．已知：如图20，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，BC=43，以A为圆心，2为半径作⊙A，试问：直线BC与⊙A的关系如何？并证明你的结论。
A
B
C
4．如图，ABCD是⊙O的内接四边形，DP∥AC，交BA的延长线于P，求证：AD·DC＝PA·BC。
D
CO
B
AP
5．如图⊿ABC中∠A＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线。
6．如图，已知扇形OACB中，∠AOB＝120°，弧AB长为L＝4π，⊙O′和弧AB、OA、OB分别相切于点C、D、E，求⊙O的周长。
7．如图，半径为2的正三角形ABC的中心为O，过O与两个顶点画弧，求这三条弧所围成的阴影部分的面积。
8．如图，ΔABC的∠C＝Rt∠，BC＝4，AC＝3，两个外切的等圆⊙O1，⊙O2各与AB，AC，BC相切于F，H，E，G，求两圆的半径。
9．如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五
边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE = CD，DB交AE于P点。
⑴求图①中，∠APD的度数；
⑵图②中，∠APD的度数为___________，图③中，∠APD的度数为___________；
⑶根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n 边形情况．若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。
AA
AM
NBP
EDD
PPB
BCCCMDEE
图①图③图②
参考答案
一、1、C 2、B 3、B 4、D 5、C 6、B 7、C 8、D
9、C 10、A 11、D 12、A 13、D 14、B 15、C
二、1、4 cm或 14cm； 2、9π； 3、23π，43π； 4、4：3；
5、(2483)π；6、12+2π；7、（282π-43）cm；8、7cm或1cm；
39、65°，50°；10、16πcm。
三、
1、命题1，条件③④结论①②, 命题2，条件②③结论①④.
证明：命题1∵OE⊥CD , OF⊥AB, OE=OF，
∴AB=CD, PO平分∠BPD。
2、∠A O1B=140°，∠ACB=70°，∠CAD=130°。
3、作AD⊥BC垂足为D, ∵AB=AC，∠BAC=120°, ∴∠B=∠C=30°.
∵BC=43, ∴BD=1BC=23. 可得AD=2.又∵⊙A半径为2,
2∴⊙A与BC相切。
4、连接BD，证△PAD∽△DCB。5、连接OD、OE，证△OEA≌△OED。6、12π。
7、4π-63。
【解析】解:三条弧围成的阴影部份构成\"三叶玫瑰\",其总面积等于6个弓形的面
积之和.每个弓形的半径等于△ABC外接园的半径R=(2/sin60°)/2
=2√3/3.每个弓形对应的园心角θ=π/3.每个弓形的弦长b=R=2√3/3.
∴一个弓形的面积S=(1/2)R^2(θ-sinθ)
=(1/2)(2√3/3)^2[π/3-sin(π/3)]
=(2/3)(π/3-√3/2)
于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π-3√3)/3.
8、5。提示：将两圆圆心与已知的点连接，用面积列方程求。
79、（1）∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°
∵BE=CD ∴△ABE≌△BCD ∴∠BAE=∠CBD
∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°
（2）90°，108°
（3）能．如图，点E、D分别是正n边形ABCM …中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为
(n2)180 。
n
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