2024年4月2日发(作者：单县高考数学试卷2022)

全国初中数学竞赛试题及参考答案

一．

选择题

（5×7\'=35\'）

1.对正整数n，记n！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．

A．0 B．1 C．3 D．5

【分析】

n5

时，

n

！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式

子的个位数是3. 本题选C．

2x5

x5

3

2.已知关于x的不等式组

x3

恰好有5个整数解，则t的取值范围是( )．

tx

2

A.6t

11111111

B.6t

C.6t

D.6t

2222

2x5

x5

3

32tx20

，则5个整数解是

x19,18,17,16,15

． 【分析】

x3

tx

2

注意届时

x15

，只有4个整数解．所以

3.已知关于x的方程

1432t156t

11

2

，本题选C

xx2a2x

恰好有一个实根，则实数a的值有( )个．



2

x2xx2x

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】

xx2a2x



2

a2x

2

2x4

，下面先考虑增根：

x2xx2x

2

ⅰ）令

x0

，则

a4

，当

a4

时，

2x2x0,x

1

1,x

2

0

（舍）；

ⅱ）令

x2

，则

a8

，当

a8

时，

2x2x40,x

1

1,x

2

2

（舍）；

再考虑等根：

2

ⅲ）对

2x2x4a0

，

48(4a)0a

故

a4,8,

2

771

，当

a,x

1,2

.

22

2

71

，

x1,1,

共3个.本题选C．

2

2

4.如图，已知△ABC的面积为24，点D在线段AC上，点F在

线段BC的延长线上，且BC=4CF，DCFE是平行四边形，则图

中阴影部分的面积为( )．

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】设

ABC

底边

BC

上的高为

h

，则

h

48481212



BC4CFCFDE

，

111

DEh

1

DEh

2

DE(h

1

h

2

)

222

S

ADE

S

BDE

本题选D．

1112

DEhDE6

22DE

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标

号整除的概率是( )．

1257

A.

B.

C.

D.

491836

11

C

4

C

2

1182

【分析】

P

本题选B．

C

9

2

369

二．填空题（5×7\'=35\'）

6.设

a

3

3

，b是a

2

的小数部分，则

（b2)

3

的值为 ．

【分析】考虑到

a

3

3

，则

a

2

3

3

2

3

9，2

3

8

3

9

3

273,b

3

92,b2

3

9

则

（b2)

3

(

3

9)

3

9

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上

的面的数的和为3的倍数的概率是 ．

【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，

132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于初次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，

后面两次与初次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有

126

，而总次数是

666

次，

则其概率为

P

126

1

.

6663

8.已知正整数a、b、c满足a+b

2

-2c-2=0,3a

2

-8b+c=0，则abc的最大值为 ．

【分析】先消去c，再配方估算．

6aab16b26(a

22

1

2

1

)(b8)

2

66

1224

观测易知上式中

a3

，故

a1,2,3

，经试算，

a1,2

时，

b

均不是整数；当

a3

时，

b5,11

，

于是有

(a,b,c)(3,5,13),(3,11,61)

，故

abc

max

311612013

．

9. 实数a、b、c、d满足：一元二次方程x

2

+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x

2

+ax+b=0的两

根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为 ．

【分析】由根与系数关系知

abccda0bd,abd,cdb

，然后可得

（a、b、c、d）=(1,-2,1,-2)

本题在化简过程中，总感觉尚有，此处仅给出一组，仿佛不严谨，期待官方答案．

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔

共350支，当天虽然没有所有卖完，但是他的销售收入恰好是2023元，则他至少卖出了 支

圆珠笔．

【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则

4x7y2013,xy350

4x7y20134x20128yy1x5032y

令

y1

4

y1

ky4k1

，则

x5032(4k1)k5057k

，又

xy350

，即

4


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