2019年江苏省常州市中考数学试卷及答案解析

2023年12月4日发(作者：厦门月考数学试卷分析题)

2019

年江苏省常州市中考数学试卷

、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16分。在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是正确的）

1．（ 2分）﹣ 3的相反数是（ ）

A．

2．（ 2分）若代

数式

A ． x＝

﹣ 1

BC．3

．

有意义，则实x 的取值范围数

是（

B．x＝ C． x ≠3 ﹣ 1

3．（ 2分）如图是某几何体的三视图，该

几何体是（

D．﹣

3

D． x≠

3

A ．圆柱

B ．正方体

锥

C ．圆D．球

）

A ．线段 B ．线段

5．（2 分）若△ ABC～△

PA PB

A′B\'C′，相似比为

C ．线段 D ．线段

1：2，则△ C\'的周长PC

ABC 与△ A\'B′PD

的比为D． 1：

A ．2： B．1： C． 4： 1

6．（ ）

1

2分）下列各数中与2

2+ 的积是有理数的是（4

A ． 2+

B．2

2n< 1，那么 n﹣ 1< 0”是假命题，只需举出一个反例．反例中

7．（2 分）判断命题“如果

的 n 可以为（

B．

C．0

8．（ 2分）随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5微米的颗粒）的关注 第1页（共

28页）日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m3）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2

表 示 0 时到 t 时 PM 2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM 2.5 的最大值与最小值的差） ，则 y2

与 t 的函数关系大致是（ ）

二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）

9．（ 2 分）计算： a3÷ a＝ ．

10．（2分） 4 的算术平方根是 ．

2

11．（2 分）分解因式： ax2﹣ 4a＝ ．

12．（2 分）如果∠ α＝ 35°，那么∠ α的余角等于 °．

13．（2 分）如果 a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b 的值是 ．

14．（2 分）平面直角坐标系中，点 P（﹣ 3，4）到原点的距离是 ．

15．（2 分）若

x、 y的二元一次方程 ax+y＝ 3 的解，则 a＝

是关于

．

16．（2 分）如图， AB 是⊙O 的直径， C、D 是⊙ O 上的两点，∠ AOC＝120°，则∠ CDB

17．（2分）如图，半径为 的⊙O与边长为 8的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC都相切，

连接 OC，则 tan∠ OCB＝ ．

18．（2分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3AB＝3 ，点 P是AD 的中点，点 E在BC上，

CE＝ 2BE，点 M、 N 在线段 BD 上．若△ PMN 是等腰三角形且底角与∠ DEC 相等，则

三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，

解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8 分）计算：

（ 1）π0+（ ）﹣1﹣（ ）

2

2）（x﹣1）（x+1）﹣ x（x﹣1）．

20．（6 分）解不等式组

并把解集在数轴上表示出来．

21．（8 分）如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C′处，

BC ′与 AD

相交于点 E．

1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是

2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论．

22．（ 8 分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元） ，并绘制成下面的统计图．

1）本次调查的样本容量是 ，这组数据的众数为 元；

2）求这组数据的平均数；

3）该校共有 600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

23．（8 分）将图中的 A 型（正方形） 、 B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放 在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋

1）搅匀后从中摸出

1 个盒子，盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率

2）搅匀后先从中摸出

1 个盒子（不放回） ，再从余下的 2 个盒子中摸出 1

个盒子，把

摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起， 求拼成的图形是轴对称图形的概率． （不

重叠无缝隙拼接）

24．（8 分）甲、乙两人每小时共做 30 个零件，甲做 180 个零件所用的时间与乙做

120 个零 件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？

25．（8分）如图，在 ?OABC 中，OA＝2 ，∠ AOC＝45°，点 C在 y轴上，点 D 是

BC 的中点，反比例函数 y＝ （x>0）的图象经过点 A、 D． （1）求 k 的值；

（ 2）求点 D 的坐标．

26．（ 10 分）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方 法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” ．“算两次”也称做富比尼 原理，是一种重要的数学思想．

【理解】

（1）如图 1，两个边长分别为 a、 b、 c的直角三角形和一个两条直角边都是 c

的直角三

角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（ 2）如图 2， n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可 得等式： n＝ ；

【运用】

（3）n边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以（ m+n）个点为顶点，把 n

边形剪 成若干个三角形，设最多可以剪得 y个这样的三角形．当 n＝3，m＝3 时，如图 3，最多 可以剪得 7 个这样的三角形，所以 y＝ 7．

①当 n＝4， m＝ 2时，如图 4，y＝ ；当 n＝5，m＝ 时，y＝9；

2② 对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，通过归纳猜想，可得 y＝ （用含

m、

n 的代数式表示） ．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

2

27．（10 分）如图，二次函数 y＝﹣x2+bx+3 的图象与 x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C， 点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上．

（ 1）b＝ ； （2）若点 P在第一象限， 过点 P作PH⊥x轴，垂足为 H，PH 与BC、BD 分别交于点 M、 N．是否存在这样的点 P，使得 PM＝MN＝NH ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，

请说明理由；

（3）若点 P的横坐标小于 3，过点 P 作 PQ⊥ BD，垂足为 Q，直线 PQ 与 x轴交于点 R，

1）写出下列图形的宽距： ① 半径为 1 的圆： ② 如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“： ；

（2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0）、B（1，0），C 是坐标平面内的 点，连接 AB、BC、CA 所形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d．

① 若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示） ② 若点 C 在⊙M 上运动， ⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点（ 0，2）且与 y

轴垂直的直线 上．对于 ⊙M 上任意点 C，都有 5≤ d≤ 8，直接写出圆心 M 的横坐标 x的取值范围．

PQ 的长度的最大

称为平面图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

2019 年江苏省常州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

、选择题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16分。在每小题所给出的四个选项中，只

有一项是正确的）

2 分）﹣ 3 的相反数是（

1．

A．

B． C．3 D ．﹣ 3

分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数称互为相反数计算即可．

解答】解： （﹣ 3）+3＝0．

故选： C ．

点评】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义做出判断，属于基础题，比

较简单．

2 分）若代数式 有意义，则实数x 的取值范围是（

2．

A ． x＝﹣ 1

B．x＝3 C．x≠﹣1 D．x≠3

分析】分式有意义的条件是分母不为

0．解答】解：∵代数式

有意义，

∴ x﹣ 3≠ 0 ，

∴ x≠ 3．

故选： D ．

点评】本题运用了分式有意义的条件知识点，关键要知道分母不为

0 是分式有意义的

条件．

2 分）如图是某几何体的三视图，该几何体是

3．

A ．圆

B．正方体

C．圆锥

D．球

分析】通过俯视图为圆得到几何体为圆柱或球，然后通过主视图和左视图可判断几何 第7页（共

28页）体为圆锥．

【解答】解：该几何体是圆柱．

故选： A ．

【点评】本题考查了由三视图判断几何体：由三视图想象几何体的形状，首先，应分别

根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来 考虑整体形状．熟记一些简单的几何体的三视图对复杂几何体的想象会有帮助．

4．（ 2分）如图，在线段 PA、PB、PC、PD 中，长度最小的是（ ）

A ．线段 PA B ．线段 PB C．线段 PC D．线段 PD

【分析】由垂线段最短可解．

【解答】解：由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为

故选： B ．

【点评】本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本 的性质定理，属于简单题．

5．（2分）若△ ABC～△ A′B\'C′，相似比为 1：2，则△ ABC与△ A\'B′C\'的周长的比为 （

A ．2： 1 B．1： 2 C． 4：1 D． 1：4

）

B．

【分析】直接利用相似三角形的性质求解．

【解答】解：∵△ ABC～△ A′B\'C′，相似比为 1：2，

∴△ ABC 与△ A\'B′ C\'的周长的比为 1：2．

故选： B ．

【点评】 本题考查了相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等， 对应边的比相等． 相 似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应 角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平 方．

6．（2 分）下列各数中与 2+ 的积是有理数的是（ ）

A ．2+ B．2 C． D． 2﹣ 【分析】利用平方差公式可知与 2+ 的积是有理数的为 2﹣ ； 【解答】解：∵（ 2+ ）（2﹣ ）＝ 4﹣3＝1； 故选： D ．

【点评】本题考查分母有理化；熟练掌握利用平方差公式求无理数的无理化因子是解题 的关键．

7．（ 2 分）判断命题“如果 n<1，那么 n﹣1<0”是假命题，只需举出一个反例．反例中 的 n 可以为（ ）

A ．﹣ 2 B．﹣ C． 0 D．

2【分析】反例中的 n 满足 n< 1，使 n2﹣ 1≥ 0，从而对各选项进行判断．

【解答】解：当 n＝﹣2 时，满足 n<1，但 n2﹣1＝3>0， 所以判断命题“如果 n<1，那么 n2﹣ 1< 0”是假命题，举出 n＝﹣ 2． 故选： A ．

【点评】本题考查了命题与定理：命题的“真” “假”是就命题的内容而言．任何一个命 题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命 题，只需举出一个反例即可．

8．（ 2分）随着时代的进步，人们对 PM2.5（空气中直径小于等于 2.5 微米的颗粒）的关注

日益密切．某市一天中 PM2.5 的值 y1（ug/m）随时间 t（h）的变化如图所示，设 y2

表 示 0 时到 t 时 PM 2.5 的值的极差（即 0 时到 t 时 PM 2.5 的最大值与最小值的差） ，则 y2

3

D．

【分析】根据极差的定义，分别从 t＝0、0

随 t 的变化而变化的情况，从而得出答案．

【解答】解：当 t＝ 0时，极差 y2＝85﹣85＝0，

当 0

当 10

当 20

【点评】本题主要考查极差，解题的关键是掌握极差的定义及函数图象定义与画法． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2分，共 20 分。不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）

32

9．（ 2 分）计算： a÷ a＝ a ．

【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．

【解答】解： a3÷a＝ a2．

故答案为： a． 【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．

10．（2分） 4 的算术平方根是 2 ．

【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出 4 的算术平方根是多少即可． 【解答】解： 4 的算术平方根是 2．

故答案为： 2． 【点评】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要 明确：① 被开方数 a是非负数； ② 算术平方根 a本身是非负数．求一个非负数的算术平 方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运 算来寻找．

11．（2 分）分解因式： ax﹣4a＝ a（x+2）（x﹣ 2） ．

【分析】先提取公因式 a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

【解答】解： ax2﹣ 4a，

＝ a （ x2 ﹣ 4），

＝ a（ x+2）（ x﹣ 2）．

【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首 先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解 为止．

223212．（2 分）如果∠ α＝ 35°，那么∠ α的余角等于 55 °．

【分析】若两角互余，则两角和为 90°，从而可知∠ α 的余角为 90°减去∠

α，从而可

解．

【解答】解：∵∠ α＝ 35°，

∴∠ α的余角等于 90°﹣ 35°＝ 55°

故答案为： 55． 【点评】本题考查的两角互余的基本概念，题目属于基础概念题，比较简单．

13．（2 分）如果 a﹣b﹣2＝0，那么代数式 1+2a﹣2b 的值是 5 ．

【分析】将所求式子化简后再将已知条件中 a﹣b＝2 整体代入即可求值；

【解答】解：∵ a﹣ b﹣2＝0，

∴ a ﹣ b＝ 2 ，

∴1+2a﹣2b＝1+2（a﹣b）＝ 1+4 ＝ 5；

故答案为 5． 【点评】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键．

14．（2 分）平面直角坐标系中，点 P（﹣ 3，4）到原点的距离是 5 ．

【分析】作 PA⊥x 轴于 A，则 PA＝4，OA＝3，再根据勾股定理求解．

【解答】解：作 PA⊥x 轴于 A，则 PA＝ 4，OA＝3． 则根据勾股定理，得 OP＝

5．

故答案为 5．

【点评】此题考查了点的坐标的知识以及勾股定理的运用．点到 x 轴的距离即为点的纵 坐标的绝对值．

15．（2 分）若 是关于 x、 y的二元一次方程 ax+y＝ 3 的解，则 a＝ 1 ．

【分析】把 代入二元一次方程 ax+y＝3 中即可求 a 的值．

【解答】解：把 代入二元一次方程 ax+y＝ 3中，

a+2 ＝ 3，解得 a＝1．

故答案是： 1．

【点评】本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键． 16．（2分）如图， AB是⊙O的直径， C、D是⊙ O上的两点，∠ AOC＝120°，则∠

CDB＝

【分析】先利用邻补角计算出∠ BOC，然后根据圆周角定理得到∠ CDB 的度数．

【解答】解：∵∠ BOC＝180°﹣∠ AOC＝180°﹣ 120°＝ 60°，

∴∠ CDB＝ ∠BOC＝ 30°．

故答案为 30．

【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都 等于这条弧所对的圆心角的一半．

17．（2分）如图，半径为 的⊙O与边长为 8的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC都相切，

连接 OC，则 tan∠ OCB＝ ．

【分析】根据切线长定理得出∠ OBC＝∠ OBA＝ ∠ABC＝30°，解直角三角形求得

BD， 即可求得 CD，然后解直角三角形 OCD 即可求得 tan∠ OCB 的值．

【解答】解：连接 OB，作 OD⊥ BC 于 D，

∵⊙O与等边三角形 ABC 的两边 AB、BC都相切，

∴∠ OBC＝∠ OBA＝ ∠ABC＝ 30°，∴ tan∠ OBC ＝

∴BD＝

＝3，

∴ CD ＝BC﹣BD ＝8﹣ 3＝5，

故答案为 ．

∴ tan∠

OCB

点评】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，解直角三角形等，作出辅助线构

建直角三角形是解题的关键．

18．（2分）如图，在矩形 ABCD 中，AD＝3AB＝3 ，点 P是AD 的中点 E在 BC上，

DEC 相等，则

点，

CE＝ 2BE，点 M、 N 在线段 BD 上．若△ PMN 是等腰三角形且底角与∠

分析】作 PF⊥MN 于 F，则∠ PFM＝∠ PFN＝90°，由矩形的性质AB＝CD，BC

得出

＝ AD＝ 3AB＝ 3

AB＝

求证明△ PDF∽△ BDA ，得出

质得出 MF＝NF，∠PNF＝∠DEC，证出△ PNF∽△DEC，得出 ＝

，∠A＝∠ C＝90°，得出

＝CD ＝ ，BD＝ ＝10， ，出 PF ＝ ，证出 CE＝2CD，由等腰三角形的性

＝ 2，求出 NF

＝2PF＝3，即可得出答案．

解答】解：作 PF ⊥MN 于 F，如图所示：

则∠ PFM ＝∠ PFN＝90°， ∵四边形 ABCD 是矩形，

∴ AB＝ CD ，BC ＝AD ＝ 3AB＝ 3 ，∠ A＝∠C＝90°，

第13页（共

28页）∴ AB＝ CD ＝ ， BD ＝

∵点 P是 AD 的中点，

PD＝

AD

＝，

＝ 10，

∵∠ PDF ＝∠ BDA，

∴△ PDF ∽△ BDA，

，即

解得： PF ＝

∵CE＝ 2BE，

∴BC＝ AD ＝ 3BE，

∴BE＝CD，

∴CE＝ 2CD，

∵△PMN 是等腰三角形且底角与∠ DEC 相等， PF⊥MN，

∴ MF ＝NF ，∠ PNF ＝∠ DEC ，

∵∠ PFN＝∠ C＝ 90°，

∴△ PNF∽△ DEC ，

∴NF＝ 2PF＝3， ∴MN＝2NF＝6； 故答案为： 6．

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股 定理等知识； 熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质， 证明三角形相似是解题的关键．

三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明， 解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19．（8 分）计算：

（ 1）π0+（ ）﹣1﹣（ ）

2；

（2）（x﹣1）（x+1）﹣ x（x﹣1）． 【分析】根据零指数幂，负指数幂，多项式乘以多项式（单项式）的运算法则准确计算 即可；

【解答】解： （1）π0+（ ）﹣1﹣（ ）2＝1+2﹣3＝ 0；

22

（2）（x﹣1）（x+1）﹣ x（x﹣1）＝ x2﹣1﹣x2+x＝x﹣1；

【点评】本题考查实数的运算，整式的运算；熟练掌握零指数幂，负指数幂，多项式乘 以多项式（单项式）的运算法则是解题的关键．

20．（6 分）解不等式组 并把解集在数轴上表示出来．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中 间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式 x+1>0，得： x>﹣1，

解不等式 3x﹣8≤﹣ x，得： x≤2，

∴不等式组的解集为﹣ 1

将解集表示在数轴上如下：

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21．（8 分）如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C′处，

BC ′与 AD 相交于点 E．

（1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是 AC′∥ BD ；

（ 2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论．

【分析】（1）根据 AD ＝ C\'B，ED ＝EB ，即可得到 AE＝C\'E，再根据三角形内角和定理， 即可得到∠ EAC\'＝∠ EC\'A＝∠ EBD＝∠ EDB ，进而得出 AC\'∥BD；

（2）依据平行线的性质以及折叠的性质， 即可得到∠ EDB＝∠ EBD，进而得出 BE＝ DE． 【解答】解： （ 1）连接 AC′，则 AC′与 BD 的位置关系是 AC′∥

BD， 故答案为： AC′∥ BD；

（2）EB 与 ED 相等．

由折叠可得，∠ CBD＝∠ C\'BD ，

∵AD∥ BC，

∴∠ ADB＝∠ CBD ，

∴∠ EDB ＝∠ EBD ，

∴BE＝DE．

【点评】本题主要考查了折叠问题以及平行四边形的性质，折叠是一种对称变换，它属 于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

22．（ 8 分）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分 学生的捐款数（单位：元） ，并绘制成下面的统计图．

（ 1）本次调查的样本容量是 30 ，这组数据的众数为 10 元；

（2）求这组数据的平均数；

（ 3）该校共有 600 名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

【分析】（1）由题意得出本次调查的样本容量是 6+11+8+5 ＝30，由众数的定义即可得出 结果； （2）由加权平均数公式即可得出结果；

（3）由总人数乘以平均数即可得出答案．

【解答】解： （ 1）本次调查的样本容量是 6+11+8+5＝ 30，这组数据的众数为

10 元； 故答案为： 30，10；

2）这组数据的平均数为

＝ 12（元）；

（3）估计该校学生的捐款总数为 600× 12＝7200（元）．

【点评】此题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信

息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．本题也考查了平均 数、中位数、众数的定义以及利用样本估计总体的思想．

23．（8 分）将图中的 A 型（正方形） 、 B 型（菱形）、C 型（等腰直角三角形）纸片分别放

在 3 个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这 3 个盒子装入一只不透明的袋

子中．

（1）搅匀后从中摸出 1个盒子， 盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是

（2）搅匀后先从中摸出 1 个盒子（不放回） ，再从余下的 2 个盒子中摸出 1 个盒子，把 摸出的 2 个盒中的纸片长度相等的边拼在一起， 求拼成的图形是轴对称图形的概率． （不 重叠无缝隙拼接）

【分析】（1）依据搅匀后从中摸出 1 个盒子，可能为 A型（正方形） 、 B型（菱形）或 C 型（等腰直角三角形）这 3 种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 种， 即可得到盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率；

（ 2）依据共有 6种等可能的情况， 其中拼成的图形是轴对称图形的情况有 2种：A 和 C， C 和 A ，即可得到拼成的图形是轴对称图形的概率．

【解答】解：（1）搅匀后从中摸出 1个盒子，可能为 A 型（正方形） 、 B型（菱形）或 C 型（等腰直角三角形）这 3 种情况，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有 2 种， ∴盒中的纸片既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是 ；

故答案为：

共有 6种等可能的情况，其中拼成的图形是轴对称图形的情况有 2种：A和 C，C和A，

∴拼成的图形是轴对称图形的概率为 ．

【点评】本题主要考查了概率公式，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有 可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出 所有可能的结果，通常采用树形图．

24．（8 分）甲、乙两人每小时共做 30 个零件，甲做 180 个零件所用的时间与乙做

120 个零 件所用的时间相等．甲、乙两人每小时各做多少个零件？

【分析】设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（ 30﹣x）个零件，根据关键语句“甲做 180 个零件所用的时间与乙做 120 个零件所用的时间相等”列出方程，再求解即可．

【解答】解：设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（ 30﹣ x）个零件， 由题意得： ＝ ，

解得： x＝ 18，

经检验： x＝ 18 是原分式方程的解，

则 30﹣18＝ 12（个）．

答：甲每小时做 18 个零件，则乙每小时做 12 个零件． 【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，列出方程，注意检验． 25．（8分）如图，在 ? OABC中，OA＝2 ，∠ AOC＝45°，点 C在 y轴上，点 D 是BC 的中点，反比例函数 y＝ （x>0）的图象经过点 A、 D．

（1）求 k 的值；

（ 2）求点 D 的坐标．

【分析】（1）根据已知条件求出 A 点坐标即可；

（2）四边形 OABC 是平行四边形 OABC ，则有 AB⊥x轴，可知 B的横纵标为 2，D

点的 横坐标为 1，结合解析式即可求解；

【解答】解： （ 1）∵ OA＝2 ，∠ AOC＝45°，

∴ A（ 2， 2），

∴ k＝ 4，

（ 2）四边形 OABC 是平行四边形 OABC，

∴AB⊥x 轴，

∴B 的横纵标为 2，

∵点 D 是 BC 的中点，

∴ D 点的横坐标为 1，

∴ D（ 1， 4）；

【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质；利用平行四边形的性 质确定点 B 的横坐标是解题的关键．

26．（ 10 分）【阅读】 数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方 法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次” ．“算两次”也称做富比尼 原理，是一种重要的数学思想．

【理解】

（1）如图 1，两个边长分别为 a、 b、 c的直角三角形和一个两条直角边都是 c

的直角三

角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；

（ 2）如图 2， n 行 n 列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可 得等式： n2＝ 1+3+5+7+ ⋯+2n﹣1． ； 运用】 （3）n边形有 n 个顶点，在它的内部再画 m 个点，以（ m+n）个点为顶点，把 n 边形剪 成若干个三角形，设最多可以剪得 y个这样的三角形．当 n＝3，m＝3 时，如图 3，最多 可以剪得 7 个这样的三角形，所以 y＝ 7．

① 当 n＝4，m＝2 时，如图 4，y＝ 6 ；当 n＝5，m＝ 3 时， y＝9；

② 对于一般的情形， 在 n 边形内画 m 个点，通过归纳猜想， 可得 y＝ n+2（m﹣

1） （用 含 m、n的代数式表示） ．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．

分析】（1）此等腰梯形的面积有三部分组成，利用等腰梯形的面积等于三个直角三角 形的面积之和列出方程并整理．

（2）由图可知 n行 n列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n，每层棋子分别为 1，3，5， 7，⋯， 2n﹣ 1．故可得用两种不同的方法计算棋子的个数，即可解答．

（3）根据探画出图形究不难发现，三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，即 可得出结论．

【解答】解： （ 1）有三个 Rt△其面积分别为 ab， ab 和 c． 直角梯形的面积为

（ a+b）（a+b）．

由图形可知： （ a+b）（a+b）＝ ab+ ab+ c2

2 2 2 2 2

22整理得（ a+b）＝2ab+c，a+b+2ab＝ 2ab+c， ∴a+b＝c．

故结论为：直角长分别为 a、 b 斜边为 c 的直角三角形中 a2+b2＝ c2．

2）n行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2，每层棋子分别为 1，3，5，7，⋯， 2n﹣1．

由图形可知： n2＝1+3+5+7+ ⋯+2n﹣1．

故答案为 1+3+5+7+ ⋯+2n﹣1．

（3）① 如图 4，当 n＝4，m＝2 时， y＝6，

22222222② 方法 1．对于一般的情形，在 n 边形内画 m 个点，第一个点将多边形分成了 n

个三角 形，以后三角形内部每增加一个点，分割部分增加 2 部分，故可得 y＝n+2（m﹣1）．

方法 2．以△ ABC 的二个顶点和它内部的 m 个点，共（ m+3）个点为顶点，可把△

ABC 分割成 3+2（ m﹣ 1）个互不重叠的小三角形．以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点，

共（ m+4）个点为顶点，可把四边形分割成 4+2（m﹣1）个互不重叠的小三角形．故以 n

边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点，共（ m+n）个点作为顶点， 可把原 n 边形分割成 n+2 （ m﹣ 1）个互不重叠的小三角形．故可得 y＝ n+2（ m﹣ 1）．

故答案为： ① 6， 3； ② n+2（m﹣1）． 【点评】本题考查了图形的变化规律的问题，读懂题目信息，找到变化规律是解题的关 键．

2

27．（10 分）如图，二次函数 y＝﹣x2+bx+3 的图象与 x轴交于点 A、B，与 y轴交于点 C， 点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），点 D 为 OC 的中点，点 P 在抛物线上．

（ 1）b＝ 2 ；

（2）若点 P在第一象限， 过点 P作PH⊥x轴，垂足为 H，PH 与BC、BD 分别交于点 M、 N．是否存在这样的点 P，使得 PM＝MN＝NH ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由；

（3）若点 P的横坐标小于 3，过点 P作PQ⊥ BD，垂足为 Q，直线 PQ与 x轴交于点 R， 且 S△PQB＝ 2S△QRB，求点 P 的坐标． 【分析】（1）把点 A 坐标代入二次函数解析式即求得 b 的值．

（2）求点 B、C、D 坐标，求直线 BC、BD 解析式．设点 P 横坐标为 t，则能用 t表示点 P、M、N、H 的坐标，进而用含 t 的式子表示 PM、MN、 NH 的长．以 PM＝MN

为等量 关系列得关于 t的方程，求得 t的值合理（满足 P 在第一象限） ，故存在满足条件的点 P， 且求得点 P 坐标．

（3）过点 P作 PF⊥x轴于 F，交直线 BD 于 E，根据同角的余角相等易证∠ EPQ＝∠ OBD ， 所以 cos∠EPQ＝ cos∠ OBD ＝

Rt△ PQE 中， cos∠EPQ＝

△PFR中， cos∠RPF＝

；在 Rt

，进而得 PQ＝ PE， PR＝ PF．设点 P 横坐标

，即在

为 t，可用 t 表示 PE、PF，即得到用 t 表示 PQ、PR．又由 S△PQB＝2S△QRB

易得 PQ＝ 2QR．要 对点 P位置进行分类讨论得到 PQ 与 PR的关系，即列得关于 t的方程．求得 t的值要注 意是否符合各种情况下 t 的取值范围．

【解答】解： （ 1）∵二次函数 y＝﹣ x+bx+3 的图象与 x轴交于点 A（﹣ 1，0）

∴﹣ 1﹣ b+3＝0

解得： b＝ 2

故答案为： 2．

2（2）存在满足条件呢的点 P，使得 PM＝ MN＝NH．

∵二次函数解析式为 y＝﹣ x+2x+3

当 x＝0时 y＝3，

∴C（0， 3）

当 y＝0 时，﹣ x2+2x+3＝0

解得： x1＝﹣ 1， x2＝3

2∴A（﹣ 1，0），B（3，0） ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+3 ∵点 D 为 OC 的中点， ∴D（0，

∴直线 BD 的解析

+

式为

2设 P（t，﹣t+2t+3）（0

t+ ），H（t，

22

∴ PM ＝﹣ t+2t+3﹣（﹣ t+3）＝﹣ t+3t，MN＝﹣22x+ ）＝﹣ t+

，NH＝﹣

t+3﹣（﹣

t+ ∴MN＝NH

∵PM＝MN

解得：t

1＝ ， t2＝ 3（舍去）

∴P（

∴P 的坐标为

， ），使得 PM＝MN＝NH．

3）过点 P作 PF⊥x轴于 F，交直线 BD 于E

∵ OB＝ 3，OD ＝ ，∠ BOD＝90°

BD＝

OBD＝

∴ cos∠

∵PQ⊥ BD于点 Q， PF⊥ x轴于点 F ∴∠ PQE＝∠

90° ∴∠ PRF+∠ OBD ＝∠ PRF+∠EPQ＝90°

∴∠ EPQ＝∠ OBD，即 cos∠EPQ＝

cos∠OBD 在Rt△PQE中，cos∠EPQ＝

PQ＝

BQR＝∠ ＝

PFR

在 Rt△ PFR 中，

cos∠RPF＝

∴PR＝

∵ S△PQB＝ 2S△QRB， S△PQB＝ BQ?PQ， S△QRB＝ BQ?QR ∴PQ＝ 2QR

设直线 BD 与抛物线交于点

﹣+

＝﹣ x2+2x+3，解得：

x

1＝ 3（即点 B 横坐标）， x2＝﹣

∴点 G横坐标为﹣

设 P（t，﹣ t2

+2t+3）E﹣ t+

（t<3），则

22

（t，

∴ PF＝ |﹣t +2t+3|，PE＝|﹣t +2t+3t+ )|＝|﹣t2+

t+

① 若﹣(﹣

t< 3，则点 P 在直线 BD 上方，如图 2，

22

∴PF＝﹣ t2+2t+3，PE＝∵PQ＝ 2QR

﹣ t2

∴ PQ＝ PR

∴

∴PE＝ ?

PF，即 6PE＝ 5PF

2

∴ 6 (﹣

t2t+ )＝ 5(﹣ t2+2t+3)

+

解得： t1＝2，

舍t∴

2＝P3

（ 2， 3）

去）

② 若﹣ 1< t <﹣ 则点 P在x轴上方、直线 BD 下方，如图 3，

此时， PQ< QR，即S

△PQB＝ 2S△QRB

不成立．

③ 若 t<﹣ 1，则点 P在 x轴下方，如图 4，

∴ PF＝﹣(﹣ t2+2t+3)＝ t2﹣ 2t﹣ 3， PE＝﹣﹣ t+ (﹣ t2+2t+3)＝ t2∵PQ＝ 2QR

∴PQ＝ 2PR

∴ PE＝ 2?

PF，即 2PE＝

5PF

t﹣

∴2（t2﹣ t﹣ ）＝ 5（t2﹣2t﹣3）

解得： t1＝﹣ ， t2＝ 3（舍去）

∴P（﹣ ，﹣ ）

综上所述，点 P 坐标为（ 2， 3）或（﹣ ，

点评】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，

同角的余角相等，三角函数的应用．第（ 3）题解题过程容易受第（ 2）题影响而没有分

类讨论点 P 的位置，要通过图象发现每种情况下相同的和不同的解题思路． 28．（10 分）已知平面图形 S，点 P、Q是 S上任意两点，我们把线段 PQ 的长度的最大值 称为平面图形 S 的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

① 半径为 1 的圆： 1 ；

② 如图 1，上方是半径为 1 的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：

1+ ； （2）如图 2，在平面直角坐标系中，已知点 A（﹣1，0）、B（1，0），C

是坐标平面内的

点，连接 AB、BC、CA 所形成的图形为 S，记 S 的宽距为 d．

①若 d＝2，用直尺和圆规画出点 C所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示） ； ② 若点 C 在⊙M 上运动， ⊙M 的半径为 1，圆心 M 在过点（ 0，2）且与 y 轴垂直的直线 上．对于 ⊙ M上任意点 C，都有 5≤ d≤ 8，直接写出圆心

M 的横坐标 x的取值范围．

【分析】（1）① 平面图形 S的“宽距”的定义即可解决问题．

② 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是 ⊙O 上一点，

连接 OP， PC，OC．求出 PC 的最大值即可解决问题．

（2）①如图 2﹣ 1中，点 C 所在的区域是图中正方形 AEBF ，面积为 2．

②如图 2﹣2中，当点 M 在 y轴的右侧时，连接 AM，作 MT⊥x轴于 T．求出 d＝5或 8 时，点 M 的坐标，即可判断，再根据对称性求出点 M 在 y 轴左侧的情形即可．

【解答】解： （ 1） ① 半径为 1的圆的宽距离为 1，

故答案为 1．

② 如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，设半圆的圆心为 O，点 P 是 ⊙O 上一点， 连接 OP， PC，OC． ＝

∴OP+OC≥PC，

∴PC≤ 1+ ，

∴这个“窗户形“的宽距为

1+ ． 故答案为 1+ ．

②如图 2﹣2中，当点 M在 y轴的右侧时，连接

AM，

∵AC≤AM+CM，又∵ 5≤d≤8，

AEBF ，面积为作 MT⊥x 轴于．． 2

T ∴当 d＝5 时． AM＝4，

∴ AT＝ ＝ 2 ，此时 M（2 ﹣1， 2），

当 d＝8 时． AM＝ 7，

∴AT＝ ＝2 ，此时 M（2 ﹣1， 2），

∴满足条件的点 M 的横坐标的范围为 2 ﹣1≤x≤2 ﹣ 1．

当点 M 在 y 轴的左侧时，满足条件的点 M 的横坐标的范围为﹣ 2 +1 ≤ x﹣ 2

+1．

【点评】本题属于圆综合题，考查了平面图形 S 的“宽距”的定义，正方形的判定和性 质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题， 学会寻找特殊位置解决问题，属于中考压轴题．