七年级数学上册一元一次方程应用题专题讲解超全超详细

2023年12月24日发(作者：小升青岛版数学试卷及答案)

七年级上册应用题专题讲解

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或

方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面；

同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学

好这部分知识。

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题： 认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量

关系）．

（2）设—设出未知数： 根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程： 设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的

等量关系列出方程．

（4）解—解方程： 解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案： 检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案． （注意带上单位）

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集：

行程问题，工程问题，和差倍分问题

（生产、做工等

各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题， 方案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等

。

（一）和、差、倍、分问题——读题分析法

这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系 的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套

数式，得到方程

来体现。

,, ” ，

利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系 填入代.

1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率 ,, ”

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余 ,, ”来体现。

增长量＝原有量×增长率

现在量＝原有量＋增长量

例 1．某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元，比去年的 2 倍还多 1000 元，去年该单位为灾区

捐款多少元？

解： 设去年该单位为灾区捐款 x 元，则

2x+1000=25000

2x=24000

x=12000

答：去年该单位为灾区捐款 12000 元.

例 2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的

油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少

25%，第二次旅程中用去剩余汽

1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

解： 设油箱里原有汽油 x 公斤 ,则

x-[25%x+40% ×(1-25%)x]+1=25%x+40% ×(1-25%)x

即 10%x=1

x=10

答：油箱里原有汽油 10 公斤 .

（二）等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积 =成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式

②长方体的体积

V= 底面积×高＝ S·h＝

r h

V＝长×宽×高＝ abc

2

例 3．现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米，可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形

机轴多少根？

解：设可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 x 根, 则

3.14×

( 0. 4

2)

×3x=3.14 ×

( 0.8 2)

×30

0.12x=4.8

x=40

答：可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 40 根。

2

2

（三）数字问题

1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为

为： 100a+10b+c．

a，十位数字是 b，个位

数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示

2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大

表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n-2 表示；奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。

1；偶数用 2n

例 4．有一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将此数个

2 倍少 49，求原数。 位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的

解：设原数百位数为 x,则十位数为 10(x+1) ，个位数为 2x ，于是

100× 2x +10×(x+1)+x+49=2 ×[100x+10(x+1)+2x]

即

211x+59=224x+20

13x=39

x=3

故原数为： 100×2+10×4+2×3=246

答：原数为 246.

例 5．一个三位数，三个数位上的数字之和是

位上的数的 3 倍，求这个三位数 .

17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数 是十

[分析 ]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为

位上的数是 3x，等量关系为三个数位上的数字和为 17。

x，则百位上的数为 x+7，个

解： 设这个三位数十位上的数为

x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x ，则

解得

x+x+7+3x=17

x=2

x+7=9 ， 3x=6

答：这个三位数是 926。

（四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）

（1）销售问题中常出现的量有：进价 ( 或成本 )、售价、标价（或定价） 、利润等。

（2）利润问题常用等量关系：

商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价

商品利润率

商品利润

商品进价

100 %

商品售价

-

商品进价

商品进价

100 %

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量

8 折出售，即按原 （4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打

标价的 80%出售．即

商品售价 = 商品标价×折扣率

．

例

6：一家商店将某种服装按进价提高

40%后标价，又以

8 折优惠卖出，结果每件仍获

利

15

元，这种服装每件的进价是多少？

进价 折扣率

8 折

[分析 ]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为

x 元 ,

优惠价

80%（ 1+40% ）X

=15

利润

15 元

标价

（ 1+40% ） X 元

x 元

等量关系：（利润 =折扣后价格—进价）折扣后价格－进价

解： 设

这种服装每件的

进价为 x 元，则

80%x （ 1+40% ）— x=15 ，

解得 x=125

答：

这种服装每件的

进价是 125 元。

例 6* ：某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，

但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折？

解： 设至多打 x 折，则根据题意有

1200 x 800

× 100%=5%

800

解得 x=0.7=70%

答：至多打 7 折出售．

（五）行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有

关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取

得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量）

，填入有关的代

数式是获得方程的基础 .

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间

时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距

快行距－慢行距＝原距

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度

水流速度 =( 顺水速度 -逆水速度）÷2

（2）追及问题：

（3）航行问题：

顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

（4）环路问题

甲乙同时同地背向而行：甲路程—乙路程 =环路一周的距离 甲乙同时同地同向而行： 快者的路程—慢者的路程

逆水问题常用等量关系：

顺水路程 =逆水路程．

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

=环路一周的距离

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水

例 7：甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行

站开出，每小时行 140 公里。

90 公里，一列快车从乙

（1）慢车先开出 1 小时， 快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇 ?

（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距

600 公里？

（3）两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行， 多少小时后快车与慢车相距 600 公里？

（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？

（5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢

车？ ( 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

解析：（ 1）分析 ：相遇问题，画图表示为：

等量关系是：慢车走的路程

)

乙

+快车走的路程 =480 公里。

甲

解： 设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=390

16

x 1 ,

23

答：快车开出

16

小时两车相遇1

23

（ 2）分析 ：相背而行，画图表示为：

等量关系是：两车所走的路程和 +480 公里 =600 公里。

甲

600

乙

解： 设 x 小时后两车相距 600 公里，

由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 ∴ x=

12

23

答：

12

23

小时后两车相距 600 公里。

+480 公里 =600 公里。

50x=120 ∴ x=2.4

（ 3）分析： 等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程

解： 设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140－ 90)x+480=600

答： 2.4 小时后两车相距 600 公里。

（4）分析：

追及问题，画图表示为：

等量关系为：快车的路程 = 慢车走的路程 +480 公里。

解： 设 x 小时后快车追上慢车。

甲 乙

由题意得， 140x=90x+480

解这个方程， 50x=480 ∴ x=9.6

答： 9.6 小时后快车追上慢车。

（ 5）分析： 追及问题，等量关系为：快车的路程

解： 设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得，

答：快车开出 11.4 小时后追上慢车。

= 慢车走的路程 +480 公里。

140x=90(x+1)+480 50x=570 ∴ x=11.4

例 8：

一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要

为 2 千米 /时，求甲、乙两码头之间的距离。

4 小时，逆水航行需要 5 小时，水流的速度

解： 设甲、乙两码头之间的距离为

x 千米，则

x

x

5

4

4

x=80

甲、乙两码头之间的距离为

答：

80 千米 .

（六）工程问题

1．工程问题中的三个量及其关系为：

工作效率

工作总量＝工作效率×工作时间

工作总量

工作时间

工作时间

工作总量

工作效率

2．经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位 1。即完成某项任务的各工作

量的和＝总工作量＝ 1．

工程问题常用等量关系：

先做的 + 后做的 =完成量

．

例 9：将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需

解： 设甲、乙一起做还需 x 小时才能完成工作．

6 小时，乙独做需 4 小时，甲

先做 30 分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

1 1

根据题意，得 ×

+（ + ） x=1

6 2 6 4

11解这个方程，得 x=

5

11

1 1=2 小时 12 分

5

答：甲、乙一起做还需 2 小时 12 分才能完成工作．

例 10：一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管

单独开乙管 8 小时可注满水池，单独开丙管

开放 2 小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？

[分析 ]等量关系为：甲注水量 + 乙注水量 -丙排水量 =1。

解： 设打开丙管后 x 小时可注满水池， 则

6 小时可注满水池；

9 小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时

1由题意得，

(

6

1

) ( x 2)

8

x

9

1 解这个方程得 x

30

13

2

13

4

答：打开丙管后

2

小时可注满水池。

13

4

例 11：一项工程甲单独做需要 10 天，乙需要 12 天，丙单独做需要 15 天，甲、丙先做 3 天后，甲

因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？

解： 设还需 x 天，则

1

1

10 15

3

1 1

12 15

x 1

或 3 x (3 x ) 1

10 12 15

1 1 1

解得 x

10

3

答：还需

10

天完成。

3

（七）储蓄问题

1．顾客存入银行的钱叫做本金， 银行付给顾客的酬金叫利息， 本金和利息合称本息和，

存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率

2．储蓄问题中的量及其关系为：

.

利息＝本金×利率×期数

本息和＝本金 + 利息

利息税 =利息×税率（20% ）

利率

利息

本金

100 %

例 12：某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和

252.7 元，

求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）

[分析 ]等量关系：本息和 = 本金×（ 1+利率）

解： 设半年期的实际利率为

X，依题意得方程 250（ 1+X ） =252.7， 解得 X=0.0108

所以年利率为 0.0108× 2=0.0216

答：银行的年利率是 21.6%

（八）配套问题：

这类问题的关键是找对配套的两类物体的数量关系。

例 13：某车间有 28 名工人生产螺栓和螺母， 每人每小时平均能生产螺栓 12 个或螺母 18 个，

应如何分配生产螺栓和螺母的工人， 才能使螺栓和螺母正好配套 （一个螺栓配两个螺母） ？

解： 设生产螺栓的人有 x 名，则生产螺母的有 28-x 名工人，于是

2×12x=18×（ 28-x）

即

42x=504

x=12

28-x=16

答： 应分配 12 名工人生产螺栓， 16 名工人生产螺母。

例 14：机械厂加工车间有 85 名工人，平均每人每天加工大齿轮

16 个或小齿轮 10 个，已知

2 个大齿轮与 3 个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天

加工的大小齿轮刚好配套？

解： 设分配 x 名工人加工大齿轮，则加工小齿轮的有

85-x 名工人，于是

16x÷2=10×(85-x) ÷ 3

34x=850

x=25

85-x=60

答： 应分配 25 名工人加工大齿轮， 60 名工人加工小齿轮。

（九）劳力调配问题

这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：

（1）既有调入又有调出；

（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；

（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。

例 15．某厂一车间有 64 人，二车间有 56 人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车

间人数的一半。问需从第一车间调多少人到第二车间？

解： 设需从第一车间调 x 人到第二车间 ,则

2×（ 64-x）=56+x

即

3x=72

x=24 则

答： 需从第一车间调 24 人到第二车间 .

例 16．学校分配学生住宿，如果每室住 8 人，还少 12 个床位，如果每室住 9 人，则空出两

个房间。求房间的个数和学生的人数。

解： 设房间数为 x 个，则有学生 8x+12 人，于是

8x+12=9(x-2)

解得

数为

x=30 则

8x+12=252 答：房间30 个，学生 252 人。

x ，利用已知的比，写出相应的代数式。

（十）比例分配问题

比例分配问题的一般思路为：设其中一份为

常用等量关系：

各部分之和 = 总量。

例 17：甲、乙、丙三个人每天生产机器零件数为甲、乙之比为

4： 3；乙、丙之比为 6：5，

又知甲与丙的和比乙的 2 倍多 12 件，求每个人每天生产多少件？

解： 设甲每天生产 x 件，则乙每天生产

3

x 件，丙每天生产

5

x 件，于是

4 8

x+ x-12=2× x

8 4

5 3

解得

x=96

3

4

5

8

则

x=72 ,

x=60

答：甲每天生产 96 件，则乙每天生产 72 件，丙每天生产 60 件 .

（十一）年龄问题

例 19：兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的

解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，

则 x 年后兄的年龄是 15+x，弟的年龄是

2 倍？

9+x． 由题意，得 2×（ 9+x）=15+x

18+2x=15+x

2x-x=15-18

∴x= -3

答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍．

（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的

义的量）

3 年，是与 3?年后具有相反意

例 20：三位同学甲乙丙，甲比乙大 1 岁，乙比丙大 2 岁，三人的年龄之和是 41，求乙同学

的年龄。

解：设 乙同学的年龄为 x 岁，则甲的年龄为（ x+1）岁，丙同学的年龄为（ x-2 ）岁，于是

x+ （x+1）+（x-2 ）= 41

即 3x=42

x=14

答： 乙同学的年龄为 14 岁，甲同学的年龄为 15 岁，丙同学的年龄为 12 岁.

（十二）比赛积分问题

例 21：某企业对应聘人员进行英语考试，试题由

则这个人选错了

50 道选择题组成，评分标准规定：每道题

的答案选对得 3 分，不选得 0 分，选错倒扣 1 分。已知某人有 5 道题未作，得了 103 分，

8 道题。

解： 设这个人选对了 x 道题目，则选错了 45-x 道题，于是

3x- （45-x）=103

解得

则

4x=148

x=37

45-x=8

答： 这个人选错了 8 道题 .

例 22：某学校七年级 8 个班进行足球友谊赛，采用胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场

得 0 分的记分制。某班与其他 7 个队各赛 1 场后，以不败的战绩积 17 分，那么该班共胜了

几场比赛？

解： 设该班共胜了 x 场比赛，则

3x+（ 7-x）=17

解得

x=5

答： 该班共胜了 5 场比赛 .

（十三）方案选择问题

例 23：某家电商场计划用 9 万元从生产厂家购进 50 台电视机．已知该厂家生产 3?种不同

型号的电视机，出厂价分别为 A 种每台 1500 元， B 种每台 2100 元，C 种每台 2500 元．

（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共

下商场的进货方案．

50 台，用去 9 万元，请你研究一

（2）若商场销售一台 A 种电视机可获利 150 元，销售一台 B 种电视机可获利 200 元，

销售一台 C 种电视机可获利 250 元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销 售时获利最多，你选择哪种方案？

解： 按购 A，B 两种， B，C 两种， A ，C 两种电视机这三种方案分别计算，

设购 A 种电视机 x 台，则 B 种电视机 y 台．

（1）①当选购 A ，B 两种电视机时， B 种电视机购（ 50-x ）台，可得方程

1500x+2100（50-x ）=90000

即 5x+7（50-x ）=300

2x=50

x=25

50-x=25

②当选购 A ，C 两种电视机时， C 种电视机购（ 50-x）台，

可得方程 1500x+2500（50-x）=90000

3x+5 （50-x）=1800

x=35

50-x=15

③当购 B，C 两种电视机时， C 种电视机为（ 50-y）台． 可得方程 2100y+2500（ 50-y）=90000

21y+25（50-y）=900，4y=350，不合题意

由此可选择两种方案：一是购 A，B 两种电视机 25 台；二是购

种电视机 15 台．

（2）若选择（ 1）中的方案①，可获利

150×25+250×15=8750（元）

若选择（ 1）中的方案②，可获利

150×35+250×15=9000（元）

9000>8750

故为了获利最多，选择第二种方案．

（十四）古典数学问题

例 24：100 个和尚 100 个馍，大和尚每人吃两个，小和尚两人吃一个，问有多少大和尚？多少小和尚？

解： 设有大和尚 x 人，小和尚 100-x 人，则

2x+

100 x

=100

2

解得 x=

100

≈33

3

A 种电视机 35 台，

C

答： 约有大和尚 33 人，小和尚 67 人。

例 25：有若干只鸡和兔子，他们共有

解： 设有鸡 x 只，兔 88-x 只，则

88 个头， 244 只脚，鸡和兔各有多少只？

2x+4(88-x)=244

x=54

则

88-x=34

答： 有鸡 54 只，兔 34 只.

（十五）增长率问题

例 26：民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带

按飞机票价的 1.5％购买行李票。一名旅客带了

1323 元，求该旅客的机票票价。

20 千克行李，超过部分每千克

35 千克行李乘机，机票连同行李费共付了

解： 设该旅客的机票票价为 x 元，则

x+15×1.5%x=1323

1.015x=1323

x=1303

答： 该旅客的机票票价为 1303 元.

（十六）浓度问题

常用等量关系式：

浓 度

溶 质 的 质 量

溶 液 的 质 量

.

7.5 千克。

例 27：有含盐 20%的盐水 5 千克，要配制成含盐 8%的盐水，需加水

某化工厂现有浓度为 15%的稀硫酸 175 千克，要把它配成浓度为 25%的硫酸，需要加入浓

度为 50％的硫酸多少千克？

解： (1)设需加水 x 千克，则

5 20%

5 x

8%

解得 x=7.5

(2) 设需要加入浓度为 50％的硫酸 y 千克, 则

175 15 % 50 % y

175

y

25 %

解得 y=70

故需要加入浓度为 50％的硫酸 70 千克。

例 28：有甲、乙两种铜和银的合金，甲种合金含银

制含银 30%的合金 100 千克，两种合金应各取多少？

25%，乙种合金含银 37.5%，现在要熔

解： 设取甲种合金 x 千克，则需取乙种合金 100-x 千克，于是

25 % x 37 .5%( 100

x)

100

30 %

解得 x=60

则 100-x=40

答：应取甲种合金 60 千克，则需取乙种合金 40 千克 .