2024年4月9日发(作者：数学试卷怎么编题的好看)
山西省2019年高考[理科数学]考试真题与答案解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．已知集合
M{x4x2}，N{xx
2
x60
，则
MN
=
A．
{x4x3
B．
{x4x2
C．
{x2x2
D．
{x2x3
2．设复数
z
满足
zi=1
，
z
在复平面内对应的点为(
x
，
y
)，则
A．
(x+1)
2
y
2
1
B．
(x1)
2
y
2
1
C．
x
2
(y1)
2
1
D．
x
2
(y+1)
2
1
3．已知
alog
2
0.2，b2
0.2
，c0.2
0.3
，则
A．
abc
B．
acb
C．
cab
D．
bca
5
1
2
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
5
1
≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的
2
5
1
．若某人满足上述两个黄金分割比例，
2
头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
sinx
x
5．函数
f
(
x
)=在
[,]
的图像大致为
cosx
x
2
A．B．
C．D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻
组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，
则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
511
16
B．
11
32
C．
21
32
D．
16
7．已知非零向量
a
，
b
满足
|a|2|b|
，且
(ab)
b
，则
a
与
b
的夹角为
A．
π5π
6
B．
π2π
3
C．
3
D．
6
8．如图是求
1
的程序框图，图中空白框中应填入
2
1
2
1
2
A．
A
=
1
2A
B．
A
=
2
11
A
C．
A
=
12A
D．
A
=
1
1
2A
9．记
S
n
为等差数列{a
n
}的前
n
项和．已知S
4
0，a
5
5，则
A．
a
n
2
n
5B．
a
2
n
3n10
C．
S
n
2n8n
D．
S
n
1
2
n
2
2n
10．已知椭圆
C
的焦点为
F
1
(1,0)，F
2
(1,0)
，过
F
2
的直线与
C
交于
A
，
B
两点．
|AF
2
|2|F
2
B|
，
|AB||BF
1
|
，则
C
的方程为
．
x
2
A
y
2
B．
x
2
y
2
C．
x
2
y
2
2
1
3
2
1
1
D．
x
2
y
2
4
35
4
1
若
11．关于函数
f(x)sin|x||sin x|
有下述四个结论：
①
f
(
x
)是偶函数
③
f
(
x
)在
[,]
有4个零点
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
②
f
(
x
)在区间（
2
，
）单调递增
④
f
(
x
)的最大值为2
12．已知三棱锥
P
−
ABC
的四个顶点在球
O
的球面上，
PA
=
PB
=
PC
，△
ABC
是边长为2的正
三角形，
E
，
F
分别是
PA
，
AB
的中点，∠
CEF
=90°，则球
O
的体积为
A．8
6
B．4
6
C．2
6
D．
6
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
0)
处的切线方程为____________．13．曲线
y3(x
2
x)e
x
在点
(0，
1
2
14．记
S
n
为等比数列{
a
n
}的前
n
项和．若
a
1
，a
4
a
6
，则
S
5
=____________．
3
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结
束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概
率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是
____________．
x
2
y
2
16．已知双曲线
C
：
2
2
1(a
0,b
0)
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，过
F
1
的直线与
C
的
ab
两条渐近线分别交于
A
，
B
两点．若
F
1
AAB
，
F
1
BF
2
B0
，则
C
的离心率为
____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)
△ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，设
(sinBsinC)
2
sin
2
AsinBsinC
．
（1）求
A
；
（2）若
2ab2c
，求sin
C
．
18．（12分）
如图，直四棱柱
ABCD–A
1
B
1
C
1
D
1
的底面是菱形，
AA
1
=4，
AB
=2，∠
BAD
=60°，
E
，
M
，
N
分别是
BC
，
BB
1
，
A
1
D
的中点．
（1）证明：
MN
∥平面
C
1
DE
；
（2）求二面角
A−MA
1
−N
的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线
C
：
y
2
=3
x
的焦点为
F
，斜率为
3
的直线
l
与
C
的交点为
A
，
B
，与
x
轴的交点为
2
P
．
（1）若|
AF
|+|
BF
|=4，求
l
的方程；
（2）若
AP3PB
，求|
AB
|．
20．（12分）
已知函数
f(x)sinxln(1x)
，
f
(x)
为
f(x)
的导数．证明：
（1）
f
(x)
在区间
(
1,)
存在唯一极大值点；
2
（2）
f(x)
有且仅有2个零点．
21．（12分）
为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试
验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，
另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另
一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，
约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得
1
分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得
1
分；若都治
愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为
α
和
β
，一轮试验中甲药的
得分记为
X
．
（1）求
X
的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，
p
i
(i0,1,,8)
表示“甲药的累计得分为
i
时，
最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则
p
0
0
，
p
8
1
，
p
i
ap
i
1
bp
i
cp
i
1
(i1,2,,7)
，
其中
aP(X1)
，
bP(X0)
，
cP(X1)
．假设
0.5
，
0.8
．
(i)证明：
{p
i
1
p
i
}
(i0,1,2,,7)
为等比数列；
(ii)求
p
4
，并根据
p
4
的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
1
t
2
x
，
2
1
t
（
t
为参数）．以坐标原点
O
为极点，在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
4t
1
t
2
x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
l
的极坐标方程为
2
cos
3
sin
110
．
（1）求
C
和
l
的直角坐标方程；
（2）求
C
上的点到
l
距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
a
，
b
，
c
为正数，且满足
abc
=1．证明：
111
222
（1）
a
b
c
；
abc
333
（2）
(ab)(bc)(ca)24
．
答案解析
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
13．
y
=3
x
三、解答题
17．解：（1）由已知得
sin
2
Bsin
2
Csin
2
AsinBsinC
，故由正弦定理得
121
14．
3
15．0.1816．2
b
2
c
2
a
2
bc
．
b
2
c
2
a
2
1
．由余弦定理得
cosA
2bc2
因为
0
A
180
，所以
A60
．
（2）由（1）知
B
120
C
，由题设及正弦定理得
2sinA
sin
120
C
2sinC
，
即
6312
．
cosCsinC2sinC
，可得
cos
C
60
2222
2
，故
2
由于
0
C
120
，所以
sin
C
60
sinC
sin
C
60
60
sin
C
60
cos60
cos
C
60
sin60
6
2
．
4
18．解：（1）连结
B
1
C
，
ME
．
因为
M
，
E
分别为
BB
1
，
BC
的中点，
1
所以
ME
∥
B
1
C
，且
ME
=
B
1
C
．
2
1
又因为
N
为
A
1
D
的中点，所以
ND
=
A
1
D
．
2
DC
，可得
B
1
C
A
1
D
，故
ME
ND
，由题设知
A
1
B
1
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