高中数学定积分知识点

2024年1月1日发(作者：湖北省高考数学试卷分值比例)

名师总结 优秀知识点

数学选修2-2知识点总结

一、导数

1．函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yf

x2x1xxx注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则limx0xx0x称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f\'(x0)或y\'|xx0，即f\'(x0)=limf(x0x)f(x0)y.

limx0xx0x

3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；

函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

5、常见的函数导数

函数 导函数

yc

yxnnN*

yaxa0,a1

yex

y\'0

y\'nxn1

y\'axlna

y\'ex

ylogaxa0,a1,x0

y\'ylnx

ysinx

1

xlna1y\'

xy\'cosx

y\'sinx

ycosx

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6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有：

和差的导数运算

f(x)g(x)f\'(x)g\'(x)

\'f(x)g(x)f\'(x)g(x)f(x)g\'(x)

积的导数运算

特别地：Cfx\'Cf\'x

f(x)f\'(x)g(x)f(x)g\'(x)(g(x)0)

g(x)2g(x)\'\'商的导数运算

1g\'(x)特别地：

\'2gxgx复合函数的导数

yxyuux

微积分基本定理

fxdx

ab（其中F\'xfx）

和差的积分运算

ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb

特别地：积分的区间可加性

bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb

用导数求函数单调区间的步骤:

①求函数f(x)的导数f\'(x)

②令f\'(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.

③令f\'(x)<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间；

[注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f(x)的极值的步骤：

(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f(x)的导数f\'(x)

(3)求方程f\'(x)=0的根

(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

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果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

8.利用导数求函数的最值的步骤:求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求f(x)在a,b上的极值；

⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；

9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限 （“以直代曲”的思想）

10.定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1

1dxba

ab性质5 若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0

ab①推广：[f1(x)f2(x)abfm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabbfm(x)

ab ②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxaac1bc1c2f(x)dx

ckb

11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.

( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；

（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；

（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x

轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．

12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。

二、推理与证明知识点

13.归纳推理的定义：

从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

．．．．

14.归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

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15.归纳推理的特点:

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

16.类比推理的定义：

根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。

．．．．

17.类比推理的思维过程

观察、比较 联想、类推 推测新的结论

18.演绎推理的定义：

演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。

．．．．

19．演绎推理的主要形式：三段论

20.“三段论”可以表示为：①大前题：M是P②小前提：S是M ③结论：S是P。

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

21.直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

22.综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

23.分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

24反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

25.反证法的一般步骤

（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

（2）从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；

（3）从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正确。

．．．

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26常见的“结论词”与“反义词”

原结论词 反义词

至少有一个

至多有一个

至少有n个

至多有n个

一个也没有

至少有两个

至多有n-1个

至少有n+1个

原结论词

对任意x不成立

p或q

p且q

反义词

存在x使成立

对所有的x都成立 存在x使不成立

p且q

p或q

27.反证法的思维方法:正难则反

．．．．

28.归缪矛盾

（1）与已知条件矛盾:

．．．．（2）与已有公理、定理、定义矛盾；

．．．．．．．．．．（3）自相矛盾．

．．

29．数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤

．．．(1)证明：当n取第一个值nnN时命题成立；

00．．．．(2)假设当n=k (k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.

．．．．．由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

[注]：常用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明。

三、数系的扩充和复数的概念知识点

30.复数的概念：形如a+bi的数叫做复数，其中i叫虚数单位，a叫实部，

b叫虚部，数．．．．集Cabi|a,bR叫做复数集。

规定：abicdia=c且，

．．．．b=d．．．强调：两复数不能比较大小，只有相等或不相等。

实数 (b0)31．数集的关系：复数Z一般虚数(a0)

虚数 (b0)纯虚数(a0)

32.复数的几何意义：复数与平面内的点或有序实数对一一对应。

33.复平面：根据复数相等的定义，任何一个复数zabi，都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定。

由于有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应，因此复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应。这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，

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x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。

34.求复数的模(绝对值)与复数z对应的向量OZ的模r叫做复数zabi的模(也叫绝对值)记作z或abi。由模的定义可知：zabia2b2

35.复数的加、减法运算及几何意义

①复数的加、减法法则：z1abi与z2cdi，则z1z2ac(bd)i。

注：复数的加、减法运算也可以按向量的加、减法来进行。

．．②复数的乘法法则：(abi)(cdi)acbdadbci。

③复数的除法法则：abi(abi)(cdi)acbdbcad22i其中cdi叫做实数化因子

22cdi(cdi)(cdi)cdcd36.共轭复数:两复数abi与abi互为共轭复数，当b0时，它们叫做共轭虚数。

常见的运算规律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i

1i1i213i3n12,3n2,3n31 是1的立方虚根，则10，2(9)设