2024年4月5日发(作者：小考数学试卷套题分析及答案)

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题23二次函数推理计算与证明综合问题

【例1】(2022•北京)在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax

2

+bx+c(a

＞0)上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．

(1)当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)点(x

0

，m)(x

0

≠1)在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x

0

的取值范围．

【例2】(2022•绍兴)已知函数y＝﹣x

2

+bx+c(b，c为常数)的图象经过点(0，﹣3)，(﹣6，﹣

3)．

(1)求b，c的值．

(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．

(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．

【例3】(2022•青岛)已知二次函数y＝x

2

+mx+m

2

﹣3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．

(1)求m的值；

(2)判断二次函数y＝x

2

+mx+m

2

﹣3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．

【例4】(2022•杭州)设二次函数y

1

＝2x

2

+bx+c(b，c是常数)的图象与x轴交于A，B两点．

(1)若A，B两点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，求函数y

1

的表达式及其图象的对称轴．

(2)若函数y

1

的表达式可以写成y

1

＝2(x﹣h)

2

﹣2(h是常数)的形式，求b+c的最小值．

(3)设一次函数y

2

＝x﹣m(m是常数)，若函数y

1

的表达式还可以写成y

1

＝2(x﹣m)(x﹣m﹣

2)的形式，当函数y＝y

1

﹣y

2

的图象经过点(x

0

，0)时，求x

0

﹣m的值．

【例5】(2022•安顺)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为

和谐点．例如：点(1，1)，(，)，(﹣，﹣)，……都是和谐点．

(1)判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；

(2)若二次函数y＝ax

2

+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(，)．

①求a，c的值；

②若1≤x≤m时，函数y＝ax

2

+6x+c+(a≠0)的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取

值范围．

一．解答题(共20题)

1．(2022•瑞安市校级三模)已知抛物线y＝ax

2

﹣2ax﹣2+a

2

(a≠0)．

(1)求这条抛物线的对称轴；若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；

(2)设点P(m，y

1

)，Q(4，y

2

)在抛物线上，若y

1

＜y

2

，求m的取值范围．

2．(2022•西城区校级模拟)在平面直角坐标系xOy中，点A(x

1

，y

1

)、点B(x

2

，y

2

)为抛物线y

＝ax

2

﹣2ax+a(a≠0)上的两点．

(1)求抛物线的对称轴；

(2)当﹣2＜x

1

＜﹣1且1＜x

2

＜2时，试判断y

1

与y

2

的大小关系并说明理由；

(3)若当t＜x

1

＜t+1且t+2＜x

2

＜t+3时，存在y

1

＝y

2

，求t的取值范围．

3．(2022•新野县三模)在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax

2

﹣4ax+2．

(1)抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；

(2)若当x满足1≤x≤5时，y的最小值为﹣6，求此时y的最大值．

4．(2022•萧山区二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax

2

+(a﹣1)x﹣1．

(1)若该函数的图象经过点(1，2)，求该二次函数图象的顶点坐标．

(2)若(x

1

，y

1

)，(x

1

，y

2

)为此函数图象上两个不同点，当x

1

+x

2

＝﹣2时，恒有y

1

＝y

2

，试

求此函数的最值．

(3)当a＜0且a≠﹣1时，判断该二次函数图象的顶点所在象限，并说明理由．

5．(2022•盈江县模拟)抛物线C

1

：y＝x

2

+bx+c的对称轴为x＝1，且与y轴交点的纵坐标为

﹣3．

(1)求b，c的值；

(2)抛物线C

2

：y＝﹣x

2

+mx+n经过抛物线C

1

的顶点P．

①求证：抛物线C

2

的顶点Q也在抛物线C

1

上；

②若m＝8，点E是在点P和点Q之间抛物线C

1

上的一点，过点E作x轴的垂线交抛物

线C

2

于点F，求EF长度的最大值．

6．(2022•沂水县二模)抛物线y＝ax

2

+bx经过点A(﹣4，0)，B(1，5)；点P(2，c)，Q(x

0

，y

0

)

是抛物线上的点．

(1)求抛物线的顶点坐标；

(2)若x

0

＞﹣6，比较c、y

0

的大小；

(3)若直线y＝m与抛物线交于M、N两点，(M、N两点不重合)，当MN≤5时，求m的

取值范围．

7．(2022•姜堰区二模)设一次函数y

1

＝2x+m+n和二次函数y

2

＝x(2x+m)+n．

(1)求证：y

1

，y

2

的图象必有交点；

(2)若m＞0，y

1

，y

2

的图象交于点A(x

1

，a)、B(x

2

，b)，其中x

1

＜x

2

，设C(x

3

，b)为y

2

图


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