2023年12月17日发(作者：中考数学试卷押题湖南)

任意角与弧度制

知识梳理:

一、任意角和弧度制

1、角的概念的推广

定义：一条射线OA由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位置OB，就形成了角，记作：角或 可以简记成。

注意：

（1）“旋转”形成角，突出“旋转”

（2）“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于x轴正半轴

（3）“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

例1、若90135，求和的范围。（0,45） （180,270）

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、零角和负角。

正角：按照逆时针方向转定的角。

零角：没有发生任何旋转的角。

负角：按照顺时针方向旋转的角。

例2、（1）时针走过2小时40分，则分针转过的角度是 -960

（2）将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是

3、 “象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x轴的正半轴。

角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角

角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。

例1、30? ；390? ；?330?是第 象限角 300? ； ?60?是第 象限角

585? ； 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。

例2、（1）A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=

④ （填序号）.

3 ． ①{小于90°的角}

③ {第一象限的角}

②{0°～90°的角}

④以上都不对

（2）已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（B）

A．B=A∩C B．B∪C=C C．AC D．A=B=C

例3、写出各个象限角的集合：

例4、若是第二象限的角，试分别确定2, 的终边所在位置.

2解 ∵是第二象限的角，

∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.

（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），

∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.

（2）∵k·180°+45°＜当k=2n（n∈Z）时，

n·360°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z），

2＜n·360°+90°；

2当k=2n+1（n∈Z）时，

n·360°+225°＜∴＜n·360°+270°.

2是第一或第三象限的角.

23拓展：已知是第三象限角，问是哪个象限的角？

∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），

60°+k·120°＜＜90°+k·120°.

3①当k=3m(m∈Z)时，可得

60°+m·360°＜故＜90°+m·360°（m∈Z）.

3的终边在第一象限.

3②当k=3m+1 (m∈Z)时，可得

180°+m·360°＜故＜210°+m·360°（m∈Z).

3的终边在第三象限.

3③当k=3m+2 （m∈Z）时，可得

300°+m·360°＜＜330°+m·360°（m∈Z）.

3故的终边在第四象限.

3是第一、第三或第四象限的角.

3综上可知，4、常用的角的集合表示方法

1、终边相同的角：

（1）终边相同的角都可以表示成一个0?到360?的角与k(kZ)个周角的和。

（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S|k360,kZ

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和

注意：

1、kZ

2、是任意角

3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。

例1、（1）若角的终边与8角的终边相同，则在0,2上终边与的角终边相54同的角为 。

若θ角的终边与8π/5的终边相同

则有：θ=2kπ+8π/5 (k为整数)

所以有：θ/4=(2kπ+8π/5)/4=kπ/2+2π/5

当：0≤kπ/2+2π/5≤2π

有：k=0 时，有2π/5 与θ/4角的终边相同的角

k=1 时，有9π/10 与θ/4角的终边相同的角

（2）若和是终边相同的角。那么在 X轴正半轴上

例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：

（1）210； （2）148437．

1260． 例3、求，使与900角的终边相同，且180，2、终边在坐标轴上的点： 终边在x轴上的角的集合：

|k180,kZ

终边在y轴上的角的集合：|k18090,kZ

终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ

3、终边共线且反向的角：

终边在y=x轴上的角的集合：|k18045,kZ

终边在yx轴上的角的集合：|k18045,kZ

4、终边互相对称的角：

若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：360k

若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系：360k180

若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：180k

角与角的终边互相垂直，则角与角的关系：360k90

例1、若k360，m360(k,mZ)则角与角的中变得位置关系是（ ）。

A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称

例2、将下列各角化成0到2的角加上2k(kZ)的形式

（1）

19 （2）315

3例3、设集合Ax|k36060xk360300,kZ,

Bx|k360210xk360,kZ,求AB,AB.

二、弧度与弧度制

1、弧度与弧度制：

弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度

定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。

B

C

l=2r

o

r

1rad

A

o

2rad

r

A

如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad

注意：

1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0

2、角?的弧度数的绝对值

l（l为弧长，r为半径）

r3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）

用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。

4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算

弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度

角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad

∴ 1?=180rad0.01745rad

180

1rad57.305718\'

注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

例1、 把6730\'化成弧度

131 解：6730\'67 ∴

6730\'rad67rad

180282例2、 把rad化成度

解：rad35353180108

53rad

5例2、将下列各角从弧度化成角度

（1）36 rad （2）2.1 rad? （3）

例3、用弧度制表示：1?终边在x轴上的角的集合 2?终边在y轴上的角的集合 3?终边在坐标轴上的角的集合

解：1?终边在x轴上的角的集合

S1|k,kZ 2?终边在y轴上的角的集合

S2|k,kZ

23?终边在坐标轴上的角的集合

S3|k,kZ

2

三、弧长公式和扇形面积公式

lr ；

S11lRr2

22例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是

1或4 .

例2、若两个角的差为1弧度，它们的和为1，求这连个角的大小分别为 。

例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴ 解：

r10cm ⑴：

lr4 ⑵

165

344010(cm)

33111155 ⑵：165165(rad)rad ∴l10(cm)

18012126例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇

形的面积是多少？

（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

解 （1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,

所以扇形的周长是2r+r.

依题意，得2r+r=r,

180∴=-2=(-2)×

≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,

∴扇形的面积为S=121r=（-2）r2.

22（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,

即l=20-2r (0＜r＜10)

扇形的面积S=S= ①

1lr，将①代入，得

21(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,

2所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时 l=20-2×5=10,=l=2.

r所以当=2 rad时，扇形的面积取最大值.

例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；

（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

解 设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.

12R4,（1）依题意，得2

R2R10,∴22-17+8=0,∴=8或∵8＞2π,舍去,∴=1.

21.

2(2)扇形的周长为40,∴R+2R=40，

1R2R111S=lR=R2=R·2R≤100.

224422当且仅当R =2R,即R=10,

=2时面积取得最大值，最大值为100.

（七）任意角的三角函数（定义）

1． 设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与原点的距离rxy22x2y20

2．比值yxxy叫做?的正弦 记作：

sin；比值叫做?的余弦 记作：

cos

rrrrxyy叫做?的正切 记作：

tan；比值叫做?的余切 记作：

yxxx

yrrr叫做?的正割 记作：

sec；比值叫做?的余割 记作：

yxxr

y比值cot比值csc注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。

②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”为函数值的函数 ④r0，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定

三角函数在各象限的符号：

⑤定义域：

ysinycot

ycos

ysec

ytanycsc4.

是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos=. 已知角的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则sinsincoscos2x,则sin=

4 2 .

10 .

4

例8、 已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值

解：

y

x2,y3,r22(3)213

o

x ∴sin?=?313213 cos?=

1313

tan?=?P(2,-3) sec?= 例9、 求下列各角的六个三角函数值

⑴ 0 ⑵ ? ⑶

32 cot?=?

231313 csc?=?

2332⑷

2 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17

时

x0,yr

2 ∴sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0

2222 sec不存在 csc=1

22 ⑷ 当?=例10、 ⑴ 已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值

⑵已知角?的终边经过P(4a,?3a),(a?0)求2sin?+cos?的值

342 cos?= ∴2sin?+cos?=?

555342 ⑵若a0

r5a 则sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=?

555342 若a0

r5a 则sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?=

555解：⑴由定义 ：r5 sin?=?


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