2023年12月17日发(作者：数学试卷自我反思模板初中)

必修4填空题265题

一、填空题

1、若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.

2、如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．

3、经过10分钟，分针转了________度．

4、若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________．

5、已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．

6、将－1 485°化为2kπ＋α (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________．

7、若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．

8、若2π<α<4π，且α与－6角的终边垂直，则α＝______.

7π

9、若角α的终边与角6的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________________.

π

10、代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．

11、已知α终边经过点(3a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a的取值范围为________．

12、若角α的终边过点P(5，－12)，则sin α＋cos α＝______.

13、在[0,2π]上满足sin x≥2的x的取值范围为________．

1

14、集合A＝[0,2π]，B＝{α|sin α

15、不等式tan α＋3>0的解集是______________．

3

16、求函数f(x)＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．

17、若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝10，则m－n＝________.

18、已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝________.

19、已知sin αcos α＝8且4<α<2，则cos α－sin α＝____.

1ππ

20、化简：

1cos1cos ＝ ．其中(,)

1cos1cos2

21、已知tan3，则cos ．

22、若sin θ＝

k＋1k－1，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．

k－3k－3

23、已知α是第四象限角，tan α＝－12，则sin α＝________.

5

24、sin21°＋sin22°＋…＋sin288°＋sin289°＝________.

π7π1α＋＝，则cosα＋＝________.

25、若sin12312

26、已知cos(6＋θ)＝3，则cos(6－θ)＝________.

π35π

27、代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是______．

ππ－α－2cos＋αsinα－3π＋cosπ－α＋sin2228、已知tan(3π＋α)＝2，则＝________.

－sin－α＋cosπ＋α

29、设f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋2，其中a、b、α、β为非零常数．若f(2 009)＝1，则f(2 010)＝____.

30、代数式

1＋2sin 290°cos 430°的化简结果是______．

sin 250°＋cos 790°

cosα＋πsin2α＋3π31、三角函数式的化简结果是______.

tanα＋πcos3－α－π

32、若

x

42则函数

ytan2xtan3x

的最大值为 。

33、若函数

34、定义运算ab为:

aabab,

bab例如，121,则函数f(x)=sinxcosx的值域为

．

135、在ΔABC中，若SΔABC= (a2+b2－c2),那么角∠C=______

4

36、函数y＝2cos x＋1的定义域是________________．

37、方程x2－cos x＝0的实数解的个数是________．

38、设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．

39、函数y＝sin x，x∈R的图象向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式是__________．

π

40、函数f(x)＝sin(2πx＋4)的最小正周期是________．

π

41、若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sin x，则f(x)的解析式是______________．

42、不等式sinx≥

2的解集是______________________.

2

π2πωx＋的最小正周期是，则ω＝______.

43、函数y＝sin43

44、欲使函数y＝Asin ωx(A>0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则ω的最小值是________．

45、关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)有以下命题：

①对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数；

②不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；

③存在φ，使f(x)是奇函数；

④对任意的φ，f(x)都不是偶函数．

其中的假命题的序号是________．

46、sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．

47、函数y＝2sin(2x＋3)(－6≤x≤6)的值域是________．

πππ

π－，π的单调增区间是____________．

48、函数y＝sin(π＋x)，x∈2

49、设|x|≤4，函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是______．

π

πx＋的对称中心的坐标是_________________________________．

50、函数y＝3tan3

51、已知a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c按从小到大的排列是________________．

52、函数y＝3tan(ωx＋6)的最小正周期是2，则ω＝____.

ππ

53、函数y＝tan x－1的定义域是____________．

π2x＋ (x∈R)，有下列命题

54、关于f(x)＝4sin3①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；

π2x－； ②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos6π－，0对称； ③y＝f(x)图象关于6π④y＝f(x)图象关于x＝－对称．

6其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．

55、为得到函数y＝cos x的图象，可以把y＝sin x的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．

ππ2x＋的图象向左平移个单位，所得函数的解析式为____________．

56、将函数y＝sin66

π12x－与y轴最近的对称轴方程是__________．

57、函数y＝2sin6

58、已知函数y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.

59、函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值是________．

6

π

60、某同学给出了以下论断：

π①将y＝cos x的图象向右平移个单位，得到y＝sin x的图象；

2②将y＝sin x的图象向右平移2个单位，可得到y＝sin(x＋2)的图象；

③将y＝sin(－x)的图象向左平移2个单位，得到y＝sin(－x－2)的图象；

ππ2x＋的图象是由y＝sin 2x的图象向左平移个单位而得到的． ④函数y＝sin33其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．

61、函数y＝sin 2x图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f(x)＝____________.

62、某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A、B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0,60].

63、设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．

mπ23x＋的最小正周期在，内，则正整数m的值是________．

64、函数y＝2sin3334

65、一根长l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)gπ的函数关系式时s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s时，线长l等于________．

lt＋3

66、给出下列命题：

(1)函数y＝sin |x|不是周期函数；

(2)函数y＝tan x在定义域内为增函数；

1π(3)函数y＝|cos 2x＋|的最小正周期为；

22ππ(4)函数y＝4sin(2x＋)，x∈R的一个对称中心为(－，0)．

36其中正确命题的序号是________．

67、已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为________．

68、方程sin πx＝4x的解的个数是________．

1

69、已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则f(12)＝________.

7π

70、

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.

71、函数ycos(x

)(x[,])的最小值是

8632

72、函数f(x)＝|sin x|的单调递增区间是__________．

73、设f(x)msin(x1)ncos(x2)，其中m、n、1、2都是非零实数，若 f(2004)1,则f(2005) .

74、已知tanx

12，则sinx3sinxcosx1=______.

2

75、已知函数y＝sin3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是________．

πx

76、设分别是第二、三、四象限角，则点P(sin,cos)分别在第___、___、___象限．

77、如果cos α＝5，且α是第四象限的角，那么cos(α＋2)＝________.

1π

78、设定义在区间(0，2)上的函数y＝6cos x的图象与y＝5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．

π

79、如果tansin0,且0sincos1,那么的终边在第 象限。

80、若角与角的终边互为反向延长线，则与的关系是___________。

81、设MP和OM分别是角17的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：

18①MPOM0；②OM0MP； ③OMMP0；④MP0OM，

其中正确的是_____________________________。

82、若角与角的终边关于y轴对称，则与的关系是___________。

83、设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 。

84、与20020终边相同的最小正角是_______________。

85、若集合Ax|kxk,kZ，Bx|2x2，

3则AB=_______________________________________。

86、在半径为30m的圆形广场中央上空，设置一个照明光源，射向地面的光呈圆锥形，且其轴截面顶角为1200，若要光源恰好照亮整个广场，则其高应为_______m(精确到0.1m)

87、已知sin α＝5，则sin4α－cos4α的值为________．

5

88、若cos

3，且的终边过点P(x,2)，则是第_____象限角，x=_____。

2

89、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.

90、设17.412,29.99，则1,2分别是第 象限的角。

91、与20020终边相同的最大负角是_______________。

92、化简：mtan00xcos900psin1800qcos2700rsin3600=____________。

93、已知角的终边与函数5x12y0,(x0)决定的函数图象重cos_____________．

11的值为tansin

94、若是第三象限的角，是第二象限的角，则

2是第 象限的角.

95、对于函数f(x)＝sin x，sin x≥cos x，cos x，sin x

4π②当且仅当x＝kπ＋ (k∈Z)时，该函数取得最大值1；

2③该函数是以π为最小正周期的周期函数；

3π2④当且仅当2kπ＋π

22其中正确的是________．(填序号)

给出下列四个命题：

π2x－的图象为C，

96、函数f(x)＝3sin311①图象C关于直线x＝π对称；

12π5π－，内是增函数； ②函数f(x)在区间1212π③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.

3以上三个论断中，正确论断的序号是________．

97、要得到函数y2cos(2x3可以由诱导公式先把它变成y2sin( )

)的图像。 然后由ysinx的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到y

2cos(2x)的图像.

3

98、判断下列命题的真假:

（1） 向量AB的长度和向量BA的长度相等.

（2）向量a与b平行,则b与a方向相同.

（3） 向量a与b平行,则b与a方向相反.

（4） 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同.

（5） 若a与b平行同向,且a＞b，则a＞b

（6）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。

（7） 如果a=b，则a与b长度相等。

（8） 如果a=b，则与a与b的方向相同。

（9） 若a=b，则a与b的方向相反。

（10）若a=b，则与a与b的方向没有关系。

99、请写出初中物理中的三个向量_________________________

100、如果对于任意的向量a，均有ab ,则b为_________________

101、下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．

①把所有单位向量移到同一起点；

②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；

③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．

①__________；②____________；③____________.

102、在四边形ABCD中，＝且||＝||，则四边形的形状为________．

103、给出以下5个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位 向量．其中能使a∥b成立的是________．(填序号)

104、给出下列命题：

①向量的大小是实数 ② 平行响亮的方向一定相同 ③向量可以用有向线段表示 ④向量就是有向线段 正确的有_________________________

105、把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是_________________________

106、把平面上的一切单位向量归结到共同的起点，那么这些向量的终点所构成的图形是_______________

107、如图所示，E、F分别为△ABC边AB、AC的中点，则与向量共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．

108、设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式

(1)＋＝________；

(2)＋＋＝________；

(3)＋＋＝________；

(4)＋＋＋＝________.

109、已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，则＋＋的模等于________．

110、已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．

111、已知点G是△ABC的重心，则＋＋＝______.

112、在平行四边形ABCD中，＋＋＋＝________.

113、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则－－＋＋＝________.

114、化简(－)－(－)的结果是________．

115、如图所示，已知O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c，则＝____________(用a，b，c表示)．

116、已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，则 |a＋b|＝________.

117、如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝______.(填写正确的序号)

1①－＋

21②－－

21③－

21④＋

2

118、已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.

119、如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝______.(用a，b表示)

11y－a－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_______.

120、若232

121、若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3，2)，则x＝________.

122、已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.

123、已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，则2－4的坐标是________．

11

124、函数y＝x2＋2x＋2按向量a平移所得图象的解析式为y＝x2，则向量a的坐标是________．

125、在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝____________.

126、已知e1,e2是同一平面内两个不共线的向量，且AB＝２e1+ｋe2，CB＝e1+３e2，CD＝２e1－e2，如果Ａ，Ｂ，Ｄ三点共线，则ｋ的值为 。

127、如图所示，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运1动，且＝x＋y，则x的取值范围是________；当x＝－时，y的取值范围是____________．

2

128、在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝________.

129、如果３e1+４e2＝a，２e1+３e2＝b，其中a，b为已知向量，则e1＝ ，e2＝ 。

130、设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________．(写出所有满足条件的序号)

131、设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝________.

132、已知向量|a|4,的方向与x轴的正方向的夹角是30°，则a的坐标为_____________。

133、在平面直角坐标系中，已知点A时坐标为（2，3），点B的坐标为（6，5），则OA=_______________，OB=__________________。

134、已知M（3，-2）N（-5，-1），且MP2MN则MP=（ ）

A．（-8，1） B．(4,) C．（-16,2） D．(8,-1)

12

135、若点A的坐标是(x1,y1)，向量AB的坐标为(x2,y2)，则点B的坐标为（ ）

A．(x1x2,y1y2) B．(x2x1,y2y1)

C．(x1x2,y1y2) D．(x1x2,y1y2)

136、已知a(3,1),b(1,2),c2ab则C=（ ）

A．（6，-2） B．（5，0） C．（-5，0） D．（0，5）

137、已知M(3,2),N(5,1)，且MP1MN，则P点的坐标（ ）

2 A．(4,) B．(1,) C．(1,) D．(8,1)

123232

138、已知点A(－1，－3)，B(1,1)，直线AB与直线x＋y－5＝0交于点C，则点C的坐标为________.

139、已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝________.

140、若三点P(1,1)，A(2，－4)，B(x，－9)共线，则x的值为________．

141、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

142、已知向量a＝(2x＋1,4)，b＝(2－x,3)，若a∥b，则实数x的值等于________．

143、已知ABC中，AB=AC=4且AB,AC=8，则这三角形的形状为______________。

144、a=3,b=5,a+b与a-b垂直，则＝___________。

145、已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为________．

146、给出下列结论：

①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.

其中正确结论的序号是________．

147、设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝________.

148、已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．

149、已知ab＝12，且a=3,b=5则b在a方向上的投影为________。

150、已知a=6,e是单位向量，它们之间夹角是45º，则a在e方向上的投影_________。

b=___________。

151、已知a=4,b=2且a与b的夹角为120º，则a、

152、已知a=2,1,b=，3且ab则＝__________。

153、已知点A（1，2），B(4,-1),问在y轴上找点C，使∠ABC＝90º若不能，说明理由；若能，求C坐标。

154、求与a=(2,1)平行，且大小25的向量b

155、已知a+b=2i8j,ab=8i+16j那么ab=_______（其中i,j为两个相互垂直的单位向量）

156、A(1,0) B.(3,1) C.(2,0)且a=BC,b=CA则a与b的夹角为_______

157、a=(2,3),b=(-3,5)则a在b方向上的投影为_________

158、与a=3,4垂直的单位向量是__________

43434343（）(,)C.（，）或（-，） A. B.

5，55555554343（，)或(-,-) D.

5555

159、a=(4,7);b=(5,2)则ab=_______

a=_____ 2a3ba+2b=_______



160、已知a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．

161、若等边△ABC的边长为23，平面内一点M满足＝6＋3，则·＝________.

12

162、a=(1,2),b=(x,1)且a+2b与2ab平行，则x=_______

A. 2 B.1 C. D.

1213

163、设a=(x1y1),b=(x2y2)有以下命题：

21①a=x1+y2;②b=x2+y2;③ab=x1x2+y1y2;④abx1x2+y1y2=0。其中假命题的序号是22____________________.

164、a=(1,2),b=(1,0)若a+b与a共线则＝_______

165、a=2,3,b=(2,4),则a+ba-b=__________。



166、a=2 b=2且a,b夹角为450, 使b-a与a垂直，则＝______

167、若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为______．

168、若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝45，则b＝________.

169、已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.

170、若e1=(5,5),e2=(0,3),e1与e2的夹角为，则sin＝_________.

171、a=(2,1) b=(1,0)若a与b的夹角为钝角，则的取值范围为_________

3172、已知a=(3,0),b=(k,5)且a与b的夹角为,则k=______________..

4

173、如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为__________________．

174、已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5.则·＋·＋·＝________________.

175、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是__________．

176、在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||＝2，则＝__________________.

177、如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．

①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．

178、若＝(2,2)，＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．

179、在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．

180、一个重20 N的物体从倾斜角30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．

181、过点A(2,3)且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程是____________．

182、若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线,则x＝

183、已知MA(2,4),MB(2,6)，则

1AB

2

184、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

185、a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.

186、已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，2)，直线l过点A(3，－1)，且与向量a＋2b垂直，则直线l的方程为________．

1

187、已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设M是直线OP上任意一点(O为坐标原点)，则·的最小值为________．

188、已知非零向量a，b，若|a|＝|b|＝1，且a⊥b，又知(2a＋3b)⊥(ka－4b)，则实数k的值为________．

189、设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.

190、已知向量a(6,2)与b(3,k)的夹角是钝角,则k的取值范围是

191、已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.

192、已知a(5,x),a13,则x

193、如图所示，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(＋)·的最小值是________．

2194、已知e为单位向量，|a|=4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为 .

3

195、已知a(3,2)，b(2,1)，若ab与ab平行，则λ= .

196、在四边形ABCD中，若ABa,ADb,且|ab||ab|,则四边形ABCD的形状是

197、已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影是______．

198、已知平面向量α、β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．

199、非零向量a,b满足|a||b||ab|，则a,b的夹角为 .

200、已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.

201、已知α、β均为锐角，且sin α＝5，cos β＝10，则α－β的值为________．

510

202、cos 15°的值是________．

203、若cos(α－β)＝3，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝________.

1 204、已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，则cos(α－β)的值是________．

205、已知α、β均为锐角，且tan β＝

cos α－sin α，则tan(α＋β)＝________.

cos α＋sin α

206、如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0两根，则

sinα＋β＝________.

cosα－β

π207、已知tan4＋α＝2，则

1的值为________．

2sin αcos α＋cos2α

208、

1＋tan 75°＝________.

1－tan 75°

209、函数f(x)＝sin x－cos x的最大值为________．

210、已知sin(α＋β)＝3，sin(α－β)＝5，则tan β的值是__________．

21tan α

π43α＋7π的值是________．

α－＝211、已知sin α＋cos，则sin665

ππ＋α＋cos＋α的结果是________．

212、化简sin63

213、式子

sin 68°－cos 60°sin 8°的值是________．

cos 68°＋sin 60°sin 8°

214、

3－sin 70°的值是________．

2－cos210°

215、函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋4的最大值是______．

7 216、已知tan

2＝3，则

θ1－cos θ＋sin θ＝______.

1＋cos θ＋sin θ

217、已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，2)，则α＝________.

π

218、已知等腰三角形底角的余弦值为3，则顶角的正弦值是________．

2

219、函数f(x)＝sin(2x－4)－22sin2x的最小正周期是______．

π

220、已知等腰三角形顶角的余弦值为5，则底角的正切值为________．

4

221、

2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．

222、

3tan 15°＋1的值是________．

3－tan 15°

223、已知sin α＝cos 2α，α∈(2，π)，则tan α＝________.

π

224、若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.

225、函数y＝2sin x(sin x＋cos x)的最大值为________．

226、函数f(x)cos2x23sinxcosx的最小正周期是___________。

227、若0<α<2<β<π，且cos β＝－3，sin(α＋β)＝3，则cos α＝________.

π11

228、已知sin αcos β＝1，则sin(α－β)＝________.

229、函数f(x)＝sin2(2x－4)的最小正周期是______．

π

230、已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________.

π3231、已知α为第三象限的角，cos 2α＝－5，则tan4＋2α＝________.

33232、已知cos=,且,2,则cos( )=＿＿＿＿.

532

233、求值：tan200tan4003tan200tan400_____________。

234、若

1tan12008,则tan2

。

1tancos2

235、函数y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．

236、ABC中，sinA

35，cosB，则cosC= .

513

237、已知sincos，则sin3cos3＿＿＿＿.

2

1

238、设α为第四象限的角，若sin α＝5，则tan 2α＝________.

sin 3α13

239、tan20tan403tan20tan40的值是 .

240、已知sin

2cos223,那么sin的值为 ,cos2的值为 。

3

241、函数f(x)＝sin2(x＋4)－sin2(x－4)的最小正周期是________．

ππ

242、函数y＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．

243、函数y(acosxbsinx)cosx有最大值2，最小值1，则实数a____，b___。

244、函数ysinx3cosx在区间0,上的最小值为 ．

2

245、函数ytan

x1的最小正周期是___________________。

2sinx

246、给出下列命题：①存在实数x，使sinxcosx3；

2②若,是第一象限角，且，则coscos；

2③函数ysin(x)是偶函数；

32④函数ysin2x的图象向左平移个单位，得到函数ysin(2x)的图象．

44其中正确命题的序号是____________．（把正确命题的序号都填上）

247、已知f(x)Asin(x)在同一个周期内，当xπ时，f(x)取得最大值为2，当

3x0时，f(x)取得最小值为2，则函数f(x)的一个表达式为______________．

1248、函数f(x)cosxcos2x(xR)的最大值等于 ．

2

249、函数ysin

2x2xcos()的图象中相邻两对称轴的距离是 ．

336

sin65o＋sin15osin10o250、计算：的值为_______．

sin25o－cos15ocos80o

251、已知在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1,则角C的大小为 ．

252、ABC的三个内角为A、B、C，当A为 时，cosA2cos最大值为 。

BC取得最大值，且这个2

11253、已知sincos，sincos，则sin()=__________。

32

254、sin 2 010°＝________.

255、若向量＝(3，－1)，n＝(2,1)，且n·＝7，那么n·＝________.

256、已知cos4α－sin4α＝3，α∈(0，2)，则cos(2α＋3)＝________.

2ππ

257、已知α、β为锐角，且a＝(sin α，cos β)，b＝(cos α，sin β)，当a∥b时，α＋β＝________.

258、如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

①＋＝2；

②＝2＋2；

③·＝·；

④(·)＝(·)．

其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)

259、当0≤x≤1时，不等式sin2≥kx成立，则实数k的取值范围是________．

πx

260、已知α为第二象限的角，sin α＝5，则tan 2α＝________.

3

261、已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,2)，若(a－c)⊥b，则k＝________.

262、已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－2≤φ≤2)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，1且过点(2，－)，则函数f(x)＝________.

2

ππ

263、若θ∈[0，2]，且sin θ＝5，则tan

2＝________.

π4θ

1264、已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝2，1＋sin θ(θ为锐角)，且a∥b，则tan θ＝________.

265、已知A(1,2)，B(3,4)，C(－2,2)，D(－3,5)，则向量在上的投影为________．

以下是答案

一、填空题

1、－110°或250°

解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z.∵－360°<θ<360°，

∴k＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.

2、{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

3、－60

4、x轴的正半轴

5、42

解析 设圆半径为r，则内接正方形的边长为2r，圆弧长为42r.

42r∴圆弧所对圆心角|θ|＝＝42.

r

76、－10π＋4π

解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°，

7∴－1 485°可以表示为－10π＋π.

4

7、25

π6π6π解析 216°＝216×＝，l＝α·r＝r＝30π，∴r＝25.

18055

7108、3π或3π

77147792010解析 －π＋π＝π＝π，－π＋π＝π＝π.

62636263

11π5ππ7π9、－3，－3，3，3

ππ7解析 由题意，角α与终边相同，则＋2π＝π，

333π5π11－2π＝－π，－4π＝－π.

3333

10、负号

π解析 ∵<2<π，∴sin 2>0，

2π3∵<3<π，∴cos 3<0，∵π<4<π，∴tan 4>0.

22∴sin 2cos 3tan 4<0.

11、－2

解析 ∵sin α>0，cos α≤0，∴α位于第二象限或y轴正半轴上，∴3a－9≤0，a＋2>0，

∴－2

712、－13

π5π13、6，6

π50，∪π，2π

14、44

α|kπ－<α

15、62解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，

ππππ∴α|kπ－6<α



ππkπ－，kπ＋，k∈Z

16、33解析 如图所示．

333∵3－4sin2x>0，∴sin2x<，∴－

422

ππ2π4πππ2kπ－，2kπ＋∪2kπ＋，2kπ＋ (k∈Z)．即x∈kπ－，kπ＋ (k∈Z)． ∴x∈333333

17、2

解析 ∵y＝3x，sin α<0，∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图象上，且m<0，n<0，

n＝3m.

∴|OP|＝m2＋n2＝10|m|＝－10m＝10.

∴m＝－1，n＝－3，∴m－n＝2.

418、5

sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θtan2θ＋tan θ－222解析 sinθ＋sin θcos θ－2cosθ＝＝，

sin2θ＋cos2θtan2θ＋14＋2－24又tan θ＝2，故原式＝＝.

54＋1

19、－2

3解析 (cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，

4ππ3∵<α<，∴cos α

422

320、

2

sin 121、

2

22、4

解析 ∵sin2θ＋cos2θ＝3k＋12＋k－12＝1，

k－3k－3∴k2＋6k－7＝0，

∴k1＝1或k2＝－7.

当k＝1时，cos θ不符合，舍去．

343当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.

554

523、－13

8924、2

1解析 原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋

289＝.

2

125、－3

π7πππ1α＋＝cos＋α＋12＝－sinα＋＝－. 解析 cos121223

326、－3

27、1

解析 原式＝sin2(A＋45°)＋sin2(45°－A)＝sin2(A＋45°)＋cos2(A＋45°)＝1.

28、2

sin αtan α2解析 原式＝＝＝＝2.

sin α－cos αtan α－12－1

29、3

解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＋2

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)＋2

＝2－(asin α＋bcos β)＝1，

∴asin α＋bcos β＝1，

f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＋2

＝asin α＋bcos β＋2＝3.

30、－1

解析 原式＝＝1＋2sin180°＋110°·cos360°＋70°

sin180°＋70°＋cos720°＋70°1－2sin 110°cos 70°1－2sin 70°cos 70°＝

－sin 70°＋cos 70°cos 70°－sin 70° ＝

|sin 70°－cos 70°|sin 70°－cos 70°＝＝－1.

cos 70°－sin 70°cos 70°－sin 70°31、tan α

－cos α·sin2α－cos α·sin2αcos α·sin2αsin α解析 原式＝＝＝＝＝tan α.

cos2αcos αtan α·cos3α＋π－tan α·cos3αsin α·

32、解析：

tanxt,xt1,

422tan4x2t4222ytan2xtanx8

1tan2x1t211(11)211t4t2t22443

33、

解析：

①

注意到

由①得：

②

再注意到当且仅当

于是由②及

得

34、

[1,

2]

235、

4

222kπ－π，2kπ＋π，k∈Z

36、3322π12kπ－π，2kπ＋，k∈Z. 解析 2cos x＋1≥0，cos x≥－，结合图象知x∈332

37、2

解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，

由图象，可知原方程有两个实数解．

π5π38、4，4

解析 由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与

y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，如图所示：

π5观察图象知x∈[，π]．

44

39、y＝－cos x πx－ 解析 y＝sin xy＝sin2向右平移个单位2ππx－＝－sin－x＝－cos x，∴y＝－cos x. ∵sin22

40、1

41、f(x)＝sin|x|

解析 当x<0时，－x>0，

f(－x)＝sin(－x)＝－sin x，

∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x.

∴f(x)＝sin|x|，x∈R.

42、[

42kx52k]

543、±3

解析

2π2π＝，∴|ω|＝3，∴ω＝±3.

|ω|344、2π

解析 要使y在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，

3则y在[0,1]上至少含49 个周期，

4349 T≤14199即，解得ω≥π.

22πT＝ω199

45、①④

π解析 易知②③成立，令φ＝，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．

2

46、b

π解析 ∵1<<2<3<π，

2sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.

ππ0，上递增，且0<π－3<1<π－2<， y＝sin x在22∴sin(π－3)

∵b

47、[0,2]

πππ2π解析 ∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤.

6633π∴0≤sin(2x＋)≤1，∴y∈[0,2]

3

π48、2，π

49、2

解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x

15＝－(sin x－)2＋

24π22∵|x|≤，∴－≤sin x≤.

4221－22∴当sin x＝－时，f(x)min＝.

22

kππ50、2－3，0 (k∈Z)

πkπ解析 由x＋＝ (k∈Z)，

32kππ得x＝－ (k∈Z)．

23kππ∴对称中心坐标为2－3，0 (k∈Z)．

1－251、b

解析 ∵tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，

ππ又∵<2<π，∴－<2－π<0，

22ππ∵<3<π，∴－<3－π<0，

22ππ显然－<2－π<3－π<1<，

22ππ－，内是增函数， 且y＝tan x在22∴tan(2－π)

即tan 2

∴b

52、±2

ππ解析 T＝＝，∴ω＝±2.

|ω|2

ππ53、[kπ＋4，kπ＋2)，k∈Z.

54、②③

π解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ (k∈Z)．

3kππ∴x＝π－，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；

262π2x＋利用公式得： 对于②，f(x)＝4sin3πππ2x＋＝4cos2x－. f(x)＝4cos2－36∴②对；

ππ2x＋的对称中心满足2x＋＝kπ， 对于③，f(x)＝4sin33 kπ∴x＝π－，

26π－，0是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对； ∴6ππ对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ，

32πkπ∴x＝＋.∴④错．

122

355、2π

πππ－x＝cosx－向右平移φ个单位后得y＝cosx－φ－， 解析 y＝sin x＝cos222ππ∴φ＋＝2kπ，k∈Z，∴φ＝2kπ－，k∈Z.

223∴φ的最小正值是π.

2

56、y＝cos 2x

57、x＝－6

ππkππππ解析 令2x－＝kπ＋(k∈Z)，∴x＝＋(k∈Z)．由k＝0，得x＝；由k＝－1，得x＝－.

622336

9π58、10

解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为

3π5π2π5π42π－＝，∴＝，∴ω＝. 242ω253∵当x＝π时，y有最小值－1，

443ππ∴×＋φ＝2kπ－ (k∈Z)．

5429π∵－π≤φ<π，∴φ＝.

10

5π59、12

解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得

f(x)＝sin 2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．

ππ－2φ＝±由f＝sin631，

ππ∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，

32π5∴2φ＝－kπ－，令k＝－1，得2φ＝π，

66π5π5－＝π.

∴φ＝π或作出y＝sin 2x的图象观察易知φ＝－126412

π60、①③

61、sin x

62、10sin

60

解析 将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，

ππt可得ω＝，所以d＝10sin .

6060

πt63、80

2π11解析 T＝＝(分)，f＝＝80(次/分)．

160π80T

64、26,27,28

6π26π3解析 ∵T＝，又∵<<，

m3m4∴8π

g65、4π2

2πgg解析 T＝＝1.∴ ＝2π.∴l＝2.

l4πgl

66、(1)(4)

解析 本题考查三角函数的图象与性质．(1)由于函数y＝sin |x|是偶函数，作出y轴右侧的图象，再关于y轴对称即得左侧图象，观察图象可知没有周期性出现，即不是周期函数；(2)错，正切函数在定义域内不单π1π调，整个图象具有周期性，因此不单调；(3)由周期函数的定义f(x＋)＝|－cos 2x＋|≠f(x)，∴不是函数222ππ的周期；(4)由于f(－)＝0，故根据对称中心的意义可知(－，0)是函数的一个对称中心，故只有(1)(4)是正66确的．

67、(6π＋40) cm

解析 ∵圆心角α＝54°＝∴周长为(6π＋40) cm.

3π，∴l＝|α|·r＝6π.

1068、7

1解析 在同一坐标系中作出y＝sin πx与y＝x的图象观察易知两函数图象有7个交点，所以方程有7个解．

4

69、0

35ππ2π解析 方法一 由图可知，T＝－＝π，即T＝，

24432π∴ω＝＝3.∴y＝2sin(3x＋φ)，

Tπ3π将(，0)代入上式sin(＋φ)＝0.

443π3π∴＋φ＝kπ，k∈Z，则φ＝kπ－.

447π7π3π∴f()＝2sin(＋kπ－)＝0.

124435ππ2π方法二 由图可知，T＝－＝π，即T＝.

2443 T7ππππ又由正弦图象性质可知，若f(x0)＝f(x0＋)＝0，∴f()＝f(＋)＝f()＝0.

212434

70、3

解析 由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象可知：

Tπ2π2＝(－)－(－π)＝，∴T＝π.

233332π2∵T＝＝π，∴ω＝3.

ω3

71、

1

2πkπ，kπ＋，k∈Z

72、2ππ解析 f(x)＝|sin x|的周期T＝π，且f(x)在区间[0，]上单调递增，∴f(x)的单调增区间为[kπ，kπ＋]，k∈Z.

22

73、-1

74、-2

75、8

解析

5TT＝6，则≤t，

415∴t≥，∴tmin＝8.

2

76、四、三、二 解析：当是第二象限角时，sin0,cos0；当是第三象限角时，sin0,cos0；当是第四象限角时，sin0,cos0；

2677、5

1解析 ∵α是第四象限的角且cos α＝.

526∴sinα＝ －1－cos2α＝－，

5π26∴cos(α＋)＝－sin α＝.

25

278、3 y＝6cos x，解析 由消去y得6cos x＝5tan x.

y＝5tan x

整理得6cos2 x＝5sin x,6sin2x＋5sin x－6＝0，(3sin x－2)(2sin x＋3)＝0，

23所以sin x＝或sin x＝－(舍去)．

3222点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝.

33

sin20,cos0,sin0

79、二 解析：tansincos

80、(2k1)

81、② 解析：sin

1717MP0,cosOM0

181882、2k

与关于x轴对称

1l83、2 解析：S(82r)r4,r24r40,r2,l4,2

2r

84、1580

20020216001580,(2160036006)

85、[2,0][,2] 解析：

32Ax|kxk,kZ...[,0][,]...

333

86、17.3 解析：

3htan300,h103

3087、－5

13解析 sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.

55

88、二，23 解析：cos30，则是第二、或三象限角，而Py20

2得是第二象限角，则sin

123,tan,x23

2x3 89、2

π2π3解析 由图象可知三角函数的周期为T＝4×＝，∴ω＝.

3ω2

390、一、二 解析：07.41222, 得1是第一象限角；

2

9.994,得2是第二象限角

91、2020 解析：2002053600(2020)

92、0 解析：tan000,cos9000,sin18000,cos27000,sin36000

93、77 解析：

131255,tan,sin

131213在角的终边上取点P(12,5),r13,cos

94、一、或三 解析：

32k12k1,(k1Z),2k222k2,(k2Z),

22

(k1k2)(k1k2)

422

95、①

解析

f(x)＝max{sin x，cos x}，在同一坐标系中画出y＝sin x与y＝cos x的图象易知f(x)的图象为实

ππ线所表示的曲线．由曲线关于x＝2kπ＋ (k∈Z)对称，故①对；当x＝2kπ (k∈Z)或x＝2kπ＋ (k∈Z)时，42f(x)max＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2kπ3π2＋π

22

96、①②

11π11π－π＝3sin3π＝－3，

解析 ①f＝3sin3126211∴x＝π为对称轴；

12πππ5ππ5ππππ－，内单调递增，故函数f(x)在－，内单②由－

πx－， ③∵f(x)＝3sin26 ππx－的图象，得不到图象C. ∴由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度得到函数f(x)＝3sin233

15597、2x,左,,,2；

266

98、1）．√

2）．×

3）．×

4）．×

5）．×

6）．×

7）．√

8）．×

9）．×

10）．√

99、力、位移、速度

100、零向量O

101、单位圆 相距为2的两个点 一条直线

102、菱形

解析 ∵＝，∴AB綊DC

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形．

103、①③④

解析 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立．

104、①③

105、直线

106、圆

107、，，

解析 ∵E、F分别为△ABC对应边的中点，

∴EF∥BC，

∴符合条件的向量为，，.

108、(1) (2)0 (3) (4)

109、213

解析 |＋＋|＝|2|＝2||＝213.

110、8

解析 ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8.

∴|a＋b|的最大值为8.

111、0

解析 如图所示，连接AG并延长交BC于E点，点E为BC的中点，延长AE到D点，使GE＝ED，

则＋＝，＋＝0，

∴＋＋＝0.

112、0

解析 注意＋＝0，＋＝0.

113、

114、0

解析 方法一 (－)－(－)

＝－－＋

＝＋＋＋

＝(＋)＋(＋)

＝＋＝0.

方法二 (－)－(－)

＝－－＋

＝(－)＋(－)

＝＋＝0.

115、a－b＋c

解析 ＝＋＝＋＝＋－＝a＋c－b＝a－b＋c.

116、4

解析 如图所示．

设O＝a，O＝b，则|B|＝|a－b|.

以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，

则|O|＝|a＋b|.由于(7＋1)2＋(7－1)2＝42.

故|O|2＋|O|2＝|B|2，

所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，

从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，

根据矩形的对角线相等有|O|＝|B|＝4，

即|a＋b|＝4.

117、①

11解析 －＋＝＋＝＋＝.

22

118、1

解析 ∵A，B，C三点共线，∴∃λ∈R使＝λ.

∴－＝λ(－)．

∴＝(1－λ)＋λ.

∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.

1119、4(b－a)

解析 ＝＋＋

13＝－b－a＋

2413＝－b－a＋(a＋b)

241＝(b－a)．

4

411120、21a－7b＋7c

121、－1

解析 ∵A(1,2)，B(3,2)，∴＝(2,0)．

又∵a＝，它们的坐标一定相等．

∴(x＋3，x2－3x－4)＝(2,0)．

x＋3＝2，∴2

x－3x－4＝0，∴x＝－1.

11122、2

解析 ∵＝(－2,0)－(－1，－2)＝(－1,2)，

＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，

又2＝，即(2x－4,2y－6)＝(－1,2)，

32x－4＝－1，x＝2，∴ 解得

2y－6＝2，y＝4，11∴x＋y＝.

2

123、(－3,6)

124、(1，－1)

解析 函数y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1的顶点坐标为(－1,1)，函数y＝x2的顶点坐标为(0,0)，则a＝(0,0)－(－1,1)＝(1，－1)．

125、3b＋3c

221221解析 ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝b＋c.

333333

21126、－8

13127、(－∞，0)

2，2

解析 由题意得：

＋＝a·＋b·(a，b∈R，0

＝a·λ＋b·

＝aλ(－)＋b·

＝－aλ·＋(aλ＋b)·(λ>0)．

由－aλ<0，得x∈(－∞，0)．

又由＝x＋y，则有0

11当x＝－时，有0<－＋y<1，

2213解得y∈2，2.

4128、3

解析

设＝a，＝b，

1则＝a＋b，

21＝a＋b，

2又∵＝a＋b，

224∴＝(＋)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.

333

79129、－2a3b,ab

44

130、①②

解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，

∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底．

713131、－4m＋8n

解析 设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，

7x＝－42x＋4y＝3得⇒.

13－3x－2y＝2y＝8



132、（23，2）

133、（2，3）（6，5）

134、D

135、C

136、B

137、A

138、(2,3)

解析 设＝λ，则得C点坐标为把C点坐标

λ－1，λ－3.

1＋λ1＋λλ－1，λ－3代入直线x＋y－5＝0的方程，解得λ＝－3.∴C点坐标为(2,3)．

1＋λ1＋λ139、(－4，－8)

解析 由a∥b得m＝－4.

∴2a＋3b＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．

140、3

解析 ＝(1，－5)，＝(x－1，－10)，

∵P、A、B三点共线，∴与共线．

∴1×(－10)－(－5)×(x－1)＝0，解得x＝3.

141、2

λ＋22λ＋3解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)，c＝(－4，－7)，∴＝，∴λ＝2.

－4－7

1142、2

1解析 由a∥b得3(2x＋1)＝4(2－x)，解得x＝.

2

143、正三角形

35144、

145、0

解析 b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2

＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.

146、④

解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；

当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线， 故③不正确；

④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]

＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.

147、120°

解析 ∵a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.

又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，

即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.

1∴cos〈a，b〉＝－，

2∴〈a，b〉＝120°.

148、[0,1]

解析 b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，

∴|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，

∴0≤|b|≤1.

149、4

150、32

151、-4

152、

3

2153、不能，提示：设C（0,y）则AC=(1,y-2)∴ACCB=4+(y-2)(-1-y)

17=-y2+y2=(y-)2-<0恒成立∴AC不垂直于CB,即ABC900,故不能

24

154、(4.2)或（-4.-2）

155、-63

156、450

157、

93434

158、C

159、-6,65

1－，2∪(2，＋∞)

160、2 －2λ－1a·b解析 由题意cos α＝＝，

|a||b|5·λ2＋1∵90°<α<180°，∴－1

－2λ－1∴－1<<0，

5·λ2＋1－2λ－1<0，∴

2－2λ－1>－5λ＋5，

11λ>－2，λ>－2，即 即

2λ＋12<5λ2＋5，λ≠2，1－，2∪(2，＋∞)． ∴λ的取值范围是2

161、－2

解析 建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A(0,3)，B(－3，0)，M(0,2)，

∴＝(0,1)，＝(－3，－2)．∴·＝－2.

162、C

163、②④

164、x=0

165、-7

166、 =2

167、5

解析 设a、b的夹角为θ，则cos θ＝2×－4＋3×722＋32－42＋7565故a在b方向上的投影为|a|cos θ＝13×＝.

55a·b或直接根据计算a在b方向上的投影．

|b|

＝25，

565168、(－4,8)

解析 由题意可设b＝λa＝(λ，－2λ)，λ<0，

则|b|2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，

∴b＝－4a＝(－4,8)．

169、1

解析 a－2b＝(1，3)， (a－2b)·b＝1×1＋3×0＝1.

170、

2

23171、 <且x6

2

172、C

173、2

解析 ∵O是BC的中点，

1mn∴＝(＋)＝＋，

222mn∴＝－＝(－1)＋.

22又∵＝－，∥，

∴存在实数λ，使得＝λ，即n2＝λ，化简得m＋n＝2.

m－1＝－λ，2

174、－25

34解析 △ABC中，B＝90°，cos A＝，cos C＝，

554－＝－16， ∴·＝0，·＝4×5×53－＝－9. ·＝5×3×5∴·＋·＋·＝－25.

175、等腰三角形

解析 ∵(＋－2)·(－)

＝[(－)＋(－)]·(－)

＝(＋)·(－)＝2－2

＝||2－||2＝0，

∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．

10310176、－5，5

解析

已知A(0,1)，B(－3,4)，

设E(0,5)，D(－3,9)，

∴四边形OBDE为菱形．

∴∠AOB的角平分线是菱形OBDE的对角线OD.

设C(x1，y1)，||＝310，

2∴＝.

310210310∴(x1，y1)＝×(－3,9)＝－，

5，5310即＝－10310.

，55

177、①③

π|f|解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.

2cos θ∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．

∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．

178、5 [∵F1＋F2＝(0,5)，

∴|F1＋F2|＝02＋52＝5.]

179、45 km/h

解析 如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．

则v0＋v1表示船实际航行速度，

∵|v0|＝4，|v1|＝8，

∴解直角三角形|v0＋v1|＝42＋82＝45.

180、10 J

1解析 WG＝G·s＝|G|·|s|·cos 60°＝20×1×＝10 J.

2

181、2x＋y－7＝0

解析 设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．

由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，得2x＋y－7＝0.

182、10

183、(2,1)

184、2

解析 ∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，

∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．

∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，

∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.

∴λ＝2.

185、7

1解析 ∵|5a－b|2＝(5a－b)2＝25a2＋b2－10a·b＝25×12＋32－10×1×3×(－)＝49.

2∴|5a－b|＝7.

186、2x－3y－9＝0

解析 设P(x，y)是直线上任意一点，根据题意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化简得2x－3y－9＝0.

187、－8

解析 设＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故当t＝2时，·取得最小值－8.

188、6

解析 由(2a＋3b)·(ka－4b)＝2ka2－12b2＝2k－12＝0，∴k＝6.

189、2

解析 λa＋b＝(λ＋2,2λ＋3)与c＝(－4，－7)共线，

∴(λ＋2)(－7)－(2λ＋3)(－4)＝0，得λ＝2.

190、k<0且k≠-1

191、3

解析 a·b＝|a||b|cos 30°＝2·3·cos 30°＝3.

192、±12

193、－12

解析 因为点O是A，B的中点，所以＋＝2，设||＝x，则||＝1－x(0≤x≤1)．

所以(＋)·＝2·＝－2x(1－x)＝2(x－112)2－2.

∴当x＝12时，(＋)·取到最小值－12.

194、2

195、

1

196、 矩形

197、1

解析 b在a上的投影为|b|cos θ＝2×cos 60°＝1.

198、10

解析 由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝0，∴α2－2α·β＝0.又∵|α|＝1，∴α·β＝12.又∵|β|＝2，


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