初一上学期数学笔记

2024年1月7日发(作者：京东自营初一数学试卷)

初一上学期数学笔记整理

一、有理数：

㈠、有理数的概念：

1、负数：小于零的数叫负数。

2、正数：大于零的数叫正数。

3、有理数：整数和分数统称为有理数。

4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

5、数轴比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的大。

6、相反数的定义：①只有符号不同的两个数互为相反数；②在数轴上原点两侧到原点的距离相等的两个数，叫做互为相反数。

7、相反数求法:①改变所求数的符号；②在正数的前面添一个负号。

8、绝对值定义：在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值

9、绝对值求法：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

10、正数、负数、零比较：①正数大于零；②零大于负数。

11、负数和负数比较：①绝对值大的反而小；②绝对值小的反而大。

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12、倒数的定义：乘积为一的两个数叫做互为倒数。

13、倒数的求法：分子分母颠倒位置。

14、小数求倒数：把小数化为分数，再把分数的分子分母颠倒位置。

15、带分数求倒数:把带分数化为假分数，再把假分数颠倒位置。

㈡、有理数的运算：

1、加法：①同号两数相加，取相同的符号，再把绝对值相加；②异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反数的两个数相加得零。

2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3、乘法：①同号两数相乘，得正，再把绝对值相乘。②异号两数相乘，得负，再把绝对值相乘。③几个因数相乘，奇负偶正，再把绝对值相乘。④零和任何数相乘都得零。

4、除法：①除以一个不为零的数，等于乘于这个数的倒数。②同号两数相除，得正，并把绝对值相除。③异号两数相除，得负，并把绝对值相除。

㈢、有理数的乘方：

1、求多个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。

2、①平方等于一个数的数有两个，这两个数互为相反数。②立方等于一个数的数只有一个。

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3、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

4、正数的任何次幂都是正数，零的任何正整数次幂都是零。

5、从一位数的左边的第一位非零数字起，到末尾数字起，所有的数字都是这个数的有效数字。

二、整式：

㈠、单项式的概念：

1、单项式的定义：表示数字或字母之间乘积关系的式子。

2、单项数的次数：单项式中所有字母的指数和，叫做单项数的次数。

3、单项数的系数：单项式中所含的数字因数叫做单项式的系数。

㈡、和多项式相关的概念：

1、多项式的定义：几个单项式的和，叫做多项式。

2、多项式的项：每个单项式，叫做多项式的项。

3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

㈢、整式的加减：

1、同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。

2、合并同类项的定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

3、合并同类项的方法：把系数相加减，字母和指数照带。

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㈣、去括号法则：

1、括号前面是正号，把括号和它前面的正号去掉，括号里面的各项符号不变。

2、括号前面是负号，把括号和它前面的负号去掉，括号里的各项符号变成和它相反的符号。

㈤、整式加减法则：几个单项式相加减，如果有括号，先去括号，然后再合并同类项。

三、一元一次方程：

㈠、和一元一次方程相关的概念：

1、方程的定义：含有未知数的方程叫做方程。

2、一元一次方程的定义：含有一个未知数，且所含未知数的项的次数是一的整式方程，叫做一元一次方程。

3、方程的解：求出使方程左右两边相等的未知数的知，叫做方程的解。

㈡、一元一次的解法：

1、去分母；（①找最小公倍数；②方程的每一项同乘于分母的最小公倍数。）

2、去括号；

3、移项；（把等式一边的某一项变号后移到另一边，叫做移项。）

4、合并同类项；

5、系数化为一；（把未知数的系数搬到右边做除数或分母。）

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㈢、等式的性质：

1、等式两边同加或同减同一个数或同一个式子，结果仍相等。

2、等式两边乘同一个数，或除以一个不为零的数，结果仍相等。

㈣、一元一次方程的应用：

一、建立方程决解问题；

2、列方解应用题的步骤：⑴弄；⑵设（①间接设未知数；②直接设未知数；③设辅助未知数）;⑶找等量关系（①抓词句；②联系上下文；③利用公式）；⑷列式表；⑸解方程；⑹验；⑺答。

㈤、销售问题：

1、①售价减进价等于利润；②标价乘于折数等于实际售价；③进价乘于利润率等于利润。

2、工程问题：⑴工作效率乘于时间等于工作总量；⑵几个人合作工作效率等于这几个人的工作效率之和。

3、行程问题：①速度乘于时间等于路程；②船在静水中的速度加水流速度等于顺水中的速度；③船在静水中的速度减水流速度等于船在逆水中的速度。

三、几何图形：

㈠、图形的形状：

1、几何图形：长方形、圆柱、长方形、正方形、圆、线段、

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点等，以及其它图形都是从形形色色的物体外形中得到的，我们把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

2、立体图形：长方体、正方体、圆柱体、圆锥、球等，各部分都不在同一平面内，它们是立体图形。叫做几何体，简称体。

3、平面图形：线段、角、三角形、长方形、圆等，各部分都在同一平面内，它们是平面图形。

㈡、立体图形：

1、主视图：把从正面看到的几何图形叫做主视图。

2、左视图：把从左面看到的图形叫做左视图。

3、俯视图：站在物体前面向下看到的几何图形叫做俯视图。

4、展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形成为相应立体图形的展开图。

5、包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。

6、线由点组成，点动成线。

7、面由线组成，线动成面。

8、体由面组成，面动成体。

9、几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素。

10、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简称为两点确定一条直线。

11、直线表示方法：⑴用一个小写字母来表示；⑵在直线上

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任意取一点，用两种大写英文字母表示。

12、点和直线位置关系：⑴点在直线上﹙直线经过点﹚；⑵点在直线外﹙直线不经过点﹚。

13、射线：直线上一点和这点一旁的线叫做射线。这个点叫端点。

14、射线表示方法：⑴用小写字母表示；⑵用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面。

15、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交。这个公共点叫做他们的交点。

16、线段：直线上两点之间的部分及这两点叫做线段。这两点叫线段的端点。

17、线段表示方法：⑴用小写字母表示；⑵用两个大写字母表示。

18、线段的中点：线段上一点把线段平均分成相等的两条线段，这个点叫线段的中点。

㈢、角：

1﹑平角:角的两条边在同一条直线上的角叫平角。

2、周角：一条射线绕端点绕一周重合叫周角。

3、角的定义：一条射线绕端点所形成的角叫角﹙有公共端点的两条射线组成的图形叫角，两条射线是角的两条边﹚。

4、角的表示方法：⑴用三个大写字母表示，顶点字母写在前面；⑵用数字表示，数字写在角里面，且画弧线；⑶用小写希

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腊字母表示；⑷用表示顶点的大写字母表示。

5、度、分、秒是常用的度量单位。把一个周角等分，每一份是一度的角，记作1°；把一度的角六十等分，每一份叫做一分的角，记作1′；把一分的角六十等分，每一份叫做一秒的角，记作1″。角的度、分、秒是六十进制的。

6、以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。

7、只要是十五度的角，都能用三角尺画出来。

8、线段的条数和端点数关系式：﹙n-1﹚n/2

9、平面内n条直线最多将平面分成﹙n+1﹚n/2+1条直线。

10、同一顶点处角的个数为：﹙n-1﹚n/2。

11、角平分线：从一个角的顶点出发，把这个叫分成相等的两个角的射线，叫做这个角的角平分线。类似的，还有角的三等分线等。

12、余角：如果两个角的和等于九十度，叫做这两个角互为余角。即其中一个角是另一个角的余角。

13、补角：如果两个角和等于一百八十度﹙平角﹚，就说这两个角互为补角。即其中一个角是另一个角的补角。

14、等角的补角相等。

15、等角的余角相等。

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四、相交线和平行线：

㈠相交线：

1、垂直的定义：两直线相交有一个角为九十度，叫做着两条直线互相垂直。

2、已知垂直可以得到其中一个角为九十度。

3、对顶角的定义：有一个公共顶角 ，且一个角的两边是另一个脚两边的反向延长线，这样的角叫做互为对顶角。

4、对顶角的性质：对顶角相等。

5、领补角的定义：有一个公共顶角，有一条公共边，且一个角的一边是另一个角一边的反向延长线。

6、领补角的性质：两角相加得一百八十度。

㈡、平行线：

7、同位角:在两条直线的同一方，再截线的同一侧。

8、内错角:在两条直线的同一侧，在直线的两侧。

9、同旁内角：在两条直线内，再截线的同一侧。

10、平线的定义：同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。

11、平行线的判定：⑴同位角相等，两只线平行；⑵内错角相等，两只线平行；⑶同旁内角相等，两直线平行；⑷如果两条直线都与第三条支线平行，那么这两条支线平行；⑸在同一平面

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内，两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条支线平行。

12、平行线的性质：⑴过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑵两直线平行，同位角相等；⑶两直线平行，内错角相等；⑷两直线平行，同旁内角互补。

㈢、命题、定理：

13、判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常可以写成“如果……那么……”的形式。这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。

14、命题都是正确的。如果题设成立，那么结论一定成立。像这样的一些命题，叫做真命题。命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，它们都是错误的命题，像这样的命题叫做假命题。

15、真命题的正确性是经过推理证实的，这样的得到的真命题叫做定理。

㈣、平移：

16、平移：⑴把一个图行整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图性大小和形状完全相同；⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点得到的，这两点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。

17、做平移图形的方法：⑴在原图形上找到关键点；⑵过各关键点做平移方向平行线；⑶在所做平行线上截取平移距离的长

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度得各关键点的对应点。⑷按原图形方式顺次连接各关键点的对应点，的平移图形。

五、平面直角坐标系：

1、有序数对：确定点的位置的数对，叫做有序数对。

2、在同一平面内，画两条互相垂直，原点重合的数轴。所组成的图形叫做平面直角坐标系。

3、坐标：数轴上的点所对应的数字叫这个点做坐标。

4、水平的数轴称为x轴或横轴。

5、竖直的数轴称为y轴或纵轴。

6、已知点求点的坐标的方法：已知点分别作x轴和y轴的垂线，垂足所对的数就是该点的横纵坐标。

7、在y轴上的点横坐标为零，纵坐标是它所对应的数。

8、在x轴上的点纵坐标为零，横坐标为它所对应的数。

9、原点上的点，横纵坐标为零。

10、平面直角坐标系分为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限四个象限。坐标轴不属于任何一个象限。

11、平面直角坐标系内点的坐标特点：⑴一象限：横纵坐标为正数；⑵二象限：横坐标为负数，纵坐标为正数；⑶三象限：横纵坐标为负数；⑷横坐标为正数，纵坐标为负数。

12、对称点坐标的特征：⑴关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标互为相反数；⑵、关于y轴对称的两点：纵坐标相同，横坐标互为相反数；⑶、关于原点对称的两点：横纵坐标互为相

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反数。

13、角平分线上的点的坐标特征：⑴一、三象限角平分线上的横纵坐标相同；⑵二、四象限角平分线上的横坐标与纵坐标互为相反数。

14、点到x轴、y轴的关系：⑴点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值；⑵点到y轴的距离等于横坐标的绝对值。

15、平行于x轴、y轴的直线上的点的坐标关系：⑴平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；⑵平行于y轴的直线上的点的横坐标相同。

16、点的平移规律：⑴左移横减，右移横加，纵不变；⑵上移纵加，下移纵减，横不变。

六、与三角形有关的线段：

㈠、和三角形相关概念：

1、三角行的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形。

2、等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形或叫做正三角形。

3、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

4、不等边三角形：三条边都不相等的三角形叫做不等边三角形又叫斜三角形。

5、三角形的高:过三角形的顶点做所对边的垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

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6、中线：连接三角形一顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的高。

7、三角形的角平分线：做一个角的角平分线，这个角的顶点和角平分线与对边交点之间的线段叫做角平分线。

8、三角形的稳定性：三角形的形状不会改变，四边形的形状会改变。这就是说三角形是具有稳定性的图形，而四边形没有稳定性。

㈡、三角形的边：

9、三角形的三边关系定理：⑴三角形的两边之和大于第三边；⑵三角形两边之和小于第三边。

㈢、三角形的角：

10、三角形内角和等于一百八十度。

11、三角形的外角定义:三角形一边与另一边所组成的角叫三角形的外角。

13、三角形的外角定理：⑴三角形的一个外交等于与它不相邻的两个内角的和；⑵三角形的一个外角大于与它不相领的任何一个内角。

㈢、多边形：

14、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

15、多边形的内角定义：多边形相领两边组成的角叫做多边形的内角。

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16、多边形的内角定理：n边形的内角和等于﹙n-2﹚180°。

17、多边形的外角定义：多边形的边与它相领边的延长线组成的角叫做多边形的外角。

18、多边形的外角定理：多边形的外角和等于三百六十度。

19、多边形的对角线定义：连接多边形不相领的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

20、n边行的对角线条数：﹙n-3﹚n÷2。

21、多边形过一个顶点分成三角形的个数为（边数减2）。

22、n边形一个顶点的对角线条数为﹙n-3﹚条。

23、多边形的边数、内角个数、外角个数、顶点个数相等。

㈣、镶嵌：

24、平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌。

25、正多边形的每个内角都能被三百六十度整除，这种正多边形可以密铺。

26、平面镶嵌：⑴顶点重合；⑵各边相等；⑶围绕一顶点的各内角和为三百六十度。

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