2024年4月3日发(作者：学校里的数学试卷六)

正弦定理与余弦定理

【知识概述】

在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，

R

为△ABC外接圆半径.

1. 正弦定理：

abc

2R

sinAsinBsinC

abc

，

sinB

，

sinC

2R2R2R

定理变式：

a2RsinA

，

b2RsinB

，

c2RsinC

sinA

asinBbsinA,asinCcsinA,csinBbsinC,

a:b:csinA:sinB:sinC

2.余弦定理：

a

b

c

2bccosA,b

a

c

2accosB,c

a

b

2abcosC

222222222

b

2

c

2

a

2

a

2

c

2

b

2

a

2

b

2

c

2

,cosB,cosC,

定理变式：

cosA

2bc2ac2ab

3.射影定理：

abcosCccosB,bacosCccosA,cacosCccosA,

4.面积公式：

S

ABC

111

ab

sin

C

ac

sin

B

bc

sin

A

222

【学前诊断】

1．[难度] 易

在△ABC中，若

C90,a6,B30

，则

cb

等于（ ）

A．

1

B．

1

C．

23

D．

23

2．[难度] 易

在△

ABC

中，若

b2asinB

，则

A

等于（ ）

00000000

A．

30或60

B．

45或60

C．

120或60

D．

30或150

00

3．[难度] 易

222

在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 且

cabba

，∠C= .

【经典例题】

例1．在△ABC中，若 ,则△A=45°，a = 2,c =

6

，则△B=_______, b =___________.

例2．已知△ ABC满足条件

acosAbcosB,

判断△ ABC的形状.

例3． 在△ABC中，△A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且满足

cos

（1）求△ ABC的面积；

（2）若b + c =6，求a 的值．

A25

,ABAC3.

25

例4．在△ABC中，a , b , c分别为内角A, B, C的对边，

且

2asinA(2bc)sinB(2cb)sinC.

（1）求A的大小；

（2）求

sinBsinC

的最大值.

例5．在△ABC中，内角A ，B，C对边的边长分别是 a，b，c，已知 c=2

，

C =

（1）若△ABC的面积等于

3

，求a，b ；

（2）若

sinB2sinA

，求△ABC的面积．

【本课总结】

一、合理选择使用定理

解三角形需要利用边角关系，正弦定理和余弦定理是刻画三角形边角关系的重要定理，

如何恰当的选择公式则是解题的关键，一般来说，如果题目中含有边的一次式或角的正弦，

可考虑选择正弦定理，如果题目中含有边的二次式或角的余弦，可考虑选择余弦定理.

二、确定三角形的形状常用归一法

在解三角形的题目中，条件中往往会同时涉及边和角，解题策略则是选择合适的公式把

已知条件转化成只含有边或角的关系式.

三、解三角形主要涉及的问题

解三角形主要处理的是三角形中各边的长度、角的大小以及三角形面积等问题，在三角

形中有六个基本元素，三条边、三个角，通常是给出三个独立条件，可求出其它的元素，如

果是特殊三角形，如直角三角形，则给出两个条件就可以了.

已知条件

三条边

两边一角 两边及一边对角

一解

或

解的情况

唯一解

两解

可选定理

余弦定理

正弦定理

π

．

3


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