2023年12月9日发(作者：英文数学试卷的常用单词)

第5章 平面向量E是AB的中点，则EC•ED=(1(2023•乙卷)正方形ABCD的边长是2，A.5B.3C.25D.5)【解析】：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，所以EB⋅EA=-1，EB⊥AD，EA⊥BC，BC⋅AD=2×2=4，则EC•ED=(EB+BC)•(EA+AD)=EB⋅EA+EB⋅AD+EA⋅BC+BC⋅AD=-1+0+0+4=3．故选：B．1)，b=(2，2)，则cos‹a+b，a-b›=(2(2023•甲卷)已知向量a=(3，A.117B.1717C.55D.)255【解析】：根据题意，向量a=(3，1)，b=(2，2)，则a+b=(5，3)，a-b=(1，-1)，|a-b|=1+1=2，(a+b)•(a-b)=2，则有|a+b|=25+9=34，(a+b)⋅(a-b)217故cos‹a+b，a-b›==．1734⋅2|a+b||a-b|故选：B．|c|=2，且a+b+c=0，则cos‹a-c，b-c›=(3(2023•甲卷)向量|a|=|b|=1，A.-15B.-25C.25D.45)【解析】：因为向量|a|=|b|=1，|c|=2，且a+b+c=0，所以-c=a+b，222所以c=a+b+2a•b，即2=1+1+2×1×1×cos，解得cos=0，所以a⊥b，又a-c=2a+b，b-c=a+2b，22所以(a-c)•(b-c)=(2a+b)•(a+2b)=2a+2b+5a•b=2+2+0=4，22|a-c|=|b-c|=4a+4a⋅b+b=4+0+1=5，(a-c)⋅(b-c)44=．所以cos‹a-c，b-c›==55×5|a-c||b-c|故选：D．内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB-bcosA=c，且C=4(2023•乙卷)在△ABC中，∠B=(A.π10)B.π5C.3π10D.2π5π，则5【解析】：由acosB-bcosA=c得sinAcosB-sinBcosA=sinC，得sin(A-B)=sinC=sin(A+B)，即sinAcosB-sinBcosA=sinAcosB+sinBcosA，即2sinBcosA=0，得sinBcosA=0，在△ABC中，sinB≠0，π3πππ．∴cosA=0，即A=，则B=π-A-C=π--=51022故选：C．第１６／４３页1)，b=(1，-1)．若(a+λb)⊥(a+μb)，则(5(2023•新高考Ⅰ)已知向量a=(1，A.λ+μ=1B.λ+μ=-1C.λμ=1【解析】：∵a=(1，1)，b=(1，-1)，∴a+λb=(λ+1，1-λ)，a+μb=(μ+1，1-μ)，由(a+λb)⊥(a+μb)，得(λ+1)(μ+1)+(1-λ)(1-μ)=0，整理得：2λμ+2=0，即λμ=-1．故选：D．x+1)，b=(x-2，-1)，若a⊥b，则x=(6(2023•全国)设向量a=(2，C.1【解析】：∵向量a=(2，x+1)，b=(x-2，-1)，a⊥b，∴a⋅b=0，可得2(x-2)+(x+1)×(-1)=0，∴x=5．故选：A．A.5B.2D.0)D.λμ=-1)∠A=60°，|BC|=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=7(2023•天津)在△ABC中，1a，AC=b，则AE可用a，b表示为；若BF=BC，则AE•AF的最大值为　．3【解析】：在△ABC中，∠A=60°，|BC|=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，AB=a，AC=b，11111则AE=(AD+AC)=AB+AC=a+b；22442设|AB|=x，|AC|=y，由余弦定理可得：1=x2+y2-xy，又x2+y2≥2xy，即xy≤1，当且仅当x=y时取等号，1又BF=BC，3112121则AF=AB+BC=AB+(AC-AB)=AB+AC=a+b，3333331121则AE⋅AF=a+b⋅a+b4233212=(2a+5a⋅b+2b)121522=2x+2y+xy12219=xy+212219≤+212213=，2413即AE•AF的最大值为．241113故答案为：a+b；．2244第１７／４３页坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面8(2023•上海)某公园欲建设一段斜坡，与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为(1.025-cosθ)，欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ=斜坡的长度为l=【解析】：．4，sinθ44.1-4cosθ×(1.025-cosθ)=，上坡所消耗的总体力y=sinθsinθ4sinθ⋅sinθ-(4.1-4cosθ)cosθ4-4.1cosθ函数的导数y′==，sin2θsin2θ4040由y′=0，得4-4.1cosθ=0，得cosθ=，θ=arccos，4141π4040，<θ<时，由f′(x)>0时cosθ<即arccos函数单调递增，414124040，时，由f′(x)<0时cosθ>即0<θ0，∴sinA=1-cos2A=1-3=447故答案为：．4第１８／４３页b满足|a-b|=3，|a+b|=|2a-b|，则|b|=　　．11(2023•新高考Ⅱ)已知向量a，【解析】：|a+b|=|2a-b|，∵|a-b|=3，222222∴a+b-2a⋅b=3，a+b+2a⋅b=4a+b-4a⋅b，22∴a=2a⋅b，∴b=3，∴|b|=3．故答案为：3．A=2B，a=6，b=4，则cosB=　　．12(2023•全国)在△ABC中，【解析】：在△ABC中，A=2B，a=6，b=4，b64a63则=，即==，解得cosB=．sinAsinBsin2B2sinBcosBsinB43故答案为：．4OB、OC为空间中三组单位向量，且OA⊥OB、OA⊥OC，OB与OC夹角13(2023•上海)已知OA、为60°，点P为空间任意一点，且|OP|=1，满足|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，则|OP•OC|最大值为　　．31【解析】：，，0，OC=(0，设OA=(0，0，1)，OB=1，0)，22OP=(x，y，z)，不妨设x，y，z>0，则|OP|=x2+y2+z2=1，因为|OP•OC|≤|OP•OB|≤|OP•OA|，313所以y≤x+y≤z，可得x≥y，z≥y，23213所以1=x2+y2+z2≥y2+y2+y2，解得y2≤，3721故OP⋅OC=y≤．721．故答案为：74)，b=(1，2)，则a-2b=14(2023•上海)已知向量a=(3，【解析】：因为向量a=(3，4)，b=(1，2)，所以a-2b=(3-2×1，4-2×2)=(1，0)．故答案为：(1，0)．．第１９／４３页


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