九年级数学中考复习+二次函数综合压轴题+常考题专项练习题【附

2024年3月30日发(作者：央美附中中考数学试卷及答案)

九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》

常考题专项练习题（附答案）

1．如图，已知抛物线y＝ax+bx+c与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于

2

点C（0，3）．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）点N为第二象限内抛物线上的动点，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．

（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为

顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明

理由．

2．如图，二次函数y＝ax

2

+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求二次函数的解析式；

（2）第一象限内的二次函数y＝ax

2

+bx+3图象上有一动点P，x轴正半轴上有一点D，

且OD＝2，当S

△

PCD

＝3时，求出点P的坐标；

（3）若点M在第一象限内二次函数图象上，是否存在以CD为直角边的Rt△MCD，若

存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．

1 / 49

3．已知抛物线y＝﹣x

2

+bx+c与x轴交于点A（3，0）和点B（﹣1，0），与y轴交于点C，

点D在抛物线上运动（不与点A，B，C重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当点D在第一象限抛物线上运动时，过点D作DF⊥x轴，垂足为点F，

直线DF与直线AC交于点E，若DE＝EA，求点D的坐标；

（3）如图2，直线BD交直线AC于点H，点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点

D，使以点A，D，H，G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点D的坐标；若

不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（3，0），点B在y轴正半轴上，连接AB，将

△AOB绕点O逆时针旋转90°，后得到△COD，抛物线y＝ax

2

+2x+c经过A、C、D三

点，点M为抛物线的顶点，连接AM、BM．

（1）求抛物线的表达式及点M坐标；

（2）求△ABM的面积；

（3）若点F是x轴上一动点，过点F作FG∥BM，交抛物线于点G，在抛物线上是否存

在点G，使以点C、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出符合条件

的点G的坐标，若不存在，请说明理由；

（4）点N是x轴上的一点，当tan（∠MAO+∠MNO）＝时，请直接写出点N的坐标．

5．如图，抛物线y＝ax

2

+bx+3（a，b是常数，且a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交

于点C．并且A，B两点的坐标分别是A（﹣1，0），B（3，0）．

2 / 49

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，是否存在点P，使得△PBC是直角三角形？若

存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点F在抛物线的对称轴上，若线段FB绕点F逆时针旋转90°后，点B的对应点B′

恰好也落在此抛物线上，请直接写出点F的坐标．

6．如图，抛物线L：y＝

﹣3）．

（1）求抛物线L的解析式：

（2）如图1，点P为第四象限抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交

AB于点D，求PD+AD的最大值，并求出此时P的坐标；

（3）如图2，将抛物线L：y＝+bx+c向右平移得到抛物线L\'，直线AB与抛物线L\'

+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，

交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L\'的解析式．

7．如图，已知二次函数y＝﹣x

2

+bx+c的图象交x轴于点A（﹣1，0），B（2，0），交y轴

于点C，P是抛物线上一点．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）如图1，当点P在直线BC上方时，求△PBC面积的最大值；

（3）直线PE∥x轴，交直线BC于点E，点D在x轴上，点F在坐标平面内，是否存在

点P，使以D，E，F，P为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点P坐标；若不

存在，请说明理由．

3 / 49

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x

2

﹣4x+c与y轴相交于点A（0，2）．

（1）求c的值；

（2）点B为y轴上一点，其纵坐标为m（m≠2），连接AB，以AB为边向右作正方形

ABCD．

①设抛物线的顶点为P，当点P在BC上时，求m的值；

②当点C在抛物线上时，求m的值；

③当抛物线与正方形ABCD有两个交点时，直接写出m的取值范围．

9．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x+1）（x﹣m）与x轴交于A（﹣1，0）、

B（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）连接BC，则∠OCB＝ °；

（2）如图2，若⊙P经过A、B、C三点，连接PA、PC，若△PAC与△OBC的周长之比

为：3，求该抛物线的函数表达式；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接OP，抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得以O、

P、Q为顶点的三角形与△OAP相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

4 / 49

10．如图，已知抛物线y＝x

2

+bx+c与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（﹣1，0），

点B的坐标（3，0），与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接

CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在线段AE上找一点M，在线段DE上找一点N，求△CMN的周长最小值；

（3）在（2）问的条件下，将得到的△CMN沿射线AE平移得到△C\'M\'N\'，记在平移过

程中，在抛物线上是否存在这样的点Q，使Q、C\'、M\'、N\'为顶点的四边形为菱形，若存

在，直接写出△CMN平移的距离；若不存在，说明理由．

11．如图，抛物线y＝ax

2

+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的

对称轴交x轴于点D．已知A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P

的坐标，如果不存在，请说明理由．

5 / 49

12．如图，抛物线y＝ax

2

+bx+c与x轴相交于A（，0）、B（，0）两点，与y轴交于点

C（0，），连接BC，抛物线顶点M．

（1）求抛物线的解析式；

（2）把抛物线y＝ax

2

+bx+c在x轴下方图象沿x轴翻折得到新图象．平移直线BC得函

数y＝mx+n，当直线y＝mx+n与新图象有四个公共点时，求n的取值范围；

（3）平移直线BC，使它过点M，交x轴于点D，在x轴上取点E（，0）连接EM，

求∠BEM﹣∠BDM的度数．

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x

2

+bx+c与x轴交于点A，B，点A，B的坐

标分别是（﹣1，0）、（4，0），与y轴交于点C．点P在第一、二象限的抛物线上，过点

P作x轴的平行线分别交y轴和直线BC于点D、E．设点P的横坐标为m，线段DE的

长度为d．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）当点P在第一象限的抛物线上时，求d与m之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当PE＝2DE时，求m的值．

6 / 49

14．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x

2

+bx+c与x轴交于A（1，0），与y

轴交于C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP＝∠ABC，若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

（3）如图2，点D为线段BC上一点，过点D作y轴的平行线交抛物线于点E，连结BE．当

∠DBE＝90°时，求S

△

BEC

．

15．如图，抛物线y＝﹣x

2

+bx+c经过点A，B（1，0），点C在x轴上，∠ACB＝90°，OC

＝2OB，tan∠ABC＝2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB

于点E，使线段PE最大．

①求线段PE的最大值；

②在直线PD上存在点M，且点M在以AB为直径的圆上，求出点M的坐标．

7 / 49

16．已知：如图，抛物线y＝ax

2

+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且线段OA＝

OC＝3OB＝3，对称轴DE与x轴交于点D，顶点为E，连接AE．

（1）求抛物线对应的函数表达式；

（2）若点P为对称轴右侧且位于x轴上方的抛物线上的一个动点（点P不与顶点E重

合），连接PE，过点P作PQ⊥AE于点Q，当△PQE与△ADE相似时，求点P的坐标；

（3）连接AC，BC，问：对称轴DE上是否存在一点M，使得∠ACB＝2∠AMD？若存

在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax

2

+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点

B（1，0），顶点为D．直线l与抛物线交于B，C两点，其中点C的坐标为（﹣2，﹣3）．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）直线l与抛物线的对称轴交于点E，P为线段BC上一动点（点P不与点B，C重合），

过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为t．

①当t为何值时，四边形PEDF是平行四边形；

②设△BCF的面积为S，当t为何值时，S最大？最大值是多少？

18．在平面直角坐标系中，抛物线F：y＝2（x﹣m）

2

+2m（m为常数）的顶点为A．

（1）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并直接

写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围；

（2）当x≤2m时，若函数y＝2（x﹣m）

2

+2m的最小值为3，求m的值；

（3）分别过点P（4，2）、Q（4，2﹣2m）作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当

抛物线F与四边形PQNM的边两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B

的纵坐标大于点C的纵坐标．

8 / 49

①若时，求m值；

②若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，写出m的值．

19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x

2

+bx+c的图象与坐标轴相交于A，B，C三

点，其中A点坐标为（3，0），B点坐标为（﹣1，0），连接AC，BC．动点P从A点出

发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从B点出发，

在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点

随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．

（1）b＝ ，c＝ ；

（2）在P，Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？

（3）已知点M是该抛物线对称轴上一点，当点P运动1秒时，若要使得线段MA+MP

的值最小，则试求出点M的坐标．

20．直线y＝﹣x+3与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，抛物线y＝ax

2

+2x+c经过点A，

B，与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE∥y轴交AB于点E，DF⊥

AB于点F，FG⊥x轴于点G；

①如图1，当点D为抛物线顶点时，求DE长；

②如图2，当DE＝FG时，求点D的坐标；

（3）如图3，在（2）②的条件下，直线CD与AB相交于点M，点H在抛物线上，过H

作HK∥y轴，交直线CD于点K．P是平面内一点，当以点M，H，K，P为顶点的四边

形是正方形时，请直接写出点P的坐标．

9 / 49

10 / 49

参考答案

1．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax

2

+bx+c，

∴，

解得，

∴抛物线的函数解析式为y＝﹣x

2

﹣2x+3；

（2）设直线BC的解析式为y＝kx+m，

∴

解得，

，

∴y＝x+3，

过点N作NG∥y轴交BC于点G，

设N（n，﹣n

2

﹣2n+3），则G（n，n+3），

∴NG＝﹣n

2

﹣2n+3﹣n﹣3＝﹣n

2

﹣3n，

∴S

△

BCN

＝3×（﹣n

2

﹣3n）＝﹣（n+）

2

+

，

，

∴当n＝﹣时，△BCN面积的最大值为

此时N（﹣，）；

（3）存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：

∵y＝﹣x

2

﹣2x+3＝﹣（x+1）

2

+4，

∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，

设Q（﹣1，t），P（x，﹣x

2

﹣2x+3），

①当AB为平行四边形的对角线时，

，

解得，

∴P（﹣1，4）；

②当AQ为平行四边形的对角线时，

11 / 49