2024年4月17日发(作者：下载北京市高考数学试卷)
江苏省南通市新高考2024届高三适应性测试数学模拟试题
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
一、单选题
1
．数据
68,70,80,88,89,90,96,98
的第
15
百分位数为（
A
．
69B
．
70C
．
75
）
D
．
96
）
x
2
y
2
2．已知双曲线
2
2
=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是（
ab
A．
10
B．
10
10
C．
310
10
D．3
10
3．等差数列
a
n
和
b
n
的前
n
项和分别记为
S
n
与
T
n
，若
A．
a
2
a
9
S
2
n
8
n
（，则
T
n
3
n
5
b
3
D．
2
）
12
7
B．
32
17
C．
16
7
的是（）
4
．已知
，
是两个平面，
m
，
n
是两条直线，则下列命题错误
．．
A
．如果
//
，
n
，那么
n
//
B
．如果
m
，
n
//
，那么
mn
C
．如果
m
//n
，
m
，那么
n
D
．如果
mn
，
m
，
n
//
，那么
5
．为了更好的了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹．某校团支部
6
人组建了
党史宣讲，歌曲演唱，诗歌创作三个小组，每组
2
人，其中甲不会唱歌，乙不能胜任诗
歌创作，则组建方法有（
A
．
60
）种
C
．
30D
．
42B
．
72
(m1)xmy3＝0
与直线
l
2
:(m1)x2y－1=0
平行，则“m＝2”是“
l
1
平行
6．已知直线
l
1
：
于
l
2
”的（）
A
．必要不充分条件
C
．充要条件
B
．充分不必要条件
D
．既不充分也不必要条件
）
D．
3
sin2
tan2
7．已知
,
0,
,2tan
，则
（
2
sin
sin
3
2
A．
3
B．
3
3
C．
3
3
8．双曲线
C:x
2
y
2
4
的左，右焦点分别为
F
1
,F
2
，过
F
2
作垂直于
x
轴的直线交双曲线
于
A,B
两点，
AF
1
F
2
,BF
1
F
2
,F
1
AB
的内切圆圆心分别为
O
1
,O
2
,O
3
，则
O
1
O
2
O
3
的面积是
（）
试卷第1页，共4页
A
．
628
B
．
624
C
．
842
D
．
642
二、多选题
9．关于函数
f(x)sinx|sinx|
有下述四个结论，其中结论错误的是（
A．
f(x)
是偶函数
C
．
f(x)
在
[,]
有
4
个零点
）
π
B．
f(x)
在区间
,π
单调递增
2
D
．
f(x)
的最大值为
2
）
10．已知复数
z
1
,z
2
，满足
z
1
z
2
0
，下列说法正确的是（
22
A．若
z
1
z
2
，则
z
1
z
2
B．
z
1
z
2
z
1
z
2
D．
z
1
z
2
z
1
z
2
C．若
z
1
z
2
R
，则
z
1
R
z
2
11．已知函数
f
x
的定义域为R，且
3
f
x
y
f
x
y
f
2
x
f
2
y
,
f
1
3,
f
2
x
为偶函数，则（
2
）
A．
f(0)0
C．
f(3x)f(3x)
B．
f
x
为偶函数
D．
f
(
k
)
3
k
1
2023
三、填空题
12．定义集合运算
AB
z|zxy
xy
,xA,yB
，集合
A
0,1
,B
2,3
，则
集合
AB
所有元素之和为
13
．早在南北朝时期，祖冲之和他的儿子祖暅在研究几何体的体积时，得到了如下的祖
暅原理：幂势既同，则积不容异
.
这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，如果
被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体
y
2
积一定相等.将双曲线
C
1
：
x
1
与
y0
，
y3
所围成的平面图形（含边界）绕
3
2
其虚轴旋转一周得到如图所示的几何体
，其中线段
OA
为双曲线的实半轴，点
B
和
C
为直线
y3
分别与双曲线一条渐近线及右支的交点，则线段BC旋转一周所得的图形
的面积是，几何体
的体积为
.
试卷第2页，共4页
．设
A
为由
X
的一些三元子集（含
14
．已知
X
为包含
v
个元素的集合（
vN
*
，
v3
）
有三个元素的子集）组成的集合，使得
X
中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在
唯一的一个三元子集中，则称
X,A
组成一个v阶的Steiner三元系．若
X,A
为一个7
阶的
Steiner
三元系，则集合
A
中元素的个数为．
四、解答题
15．已知函数
f(x)lnxaxa
2
x
2
(a0)
.
（
1
）若
x1
是函数
yf(x)
的极值点，求
a
的值；
（
2
）求函数
yf(x)
的单调区间
.
16
．
A
，
B
，
C
，
D
四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛
结束时，负的一方下场，第
1
局由
A
，
B
对赛，接下来按照
C
，
D
的顺序上场第
2
局、
第
3
局
(
来替换负的那个人
)
，每次负的人其上场顺序排到另外
2
个等待上场的人之后
(
即排到最后一个
)
，需要再等
2
局
(
即下场后的第
3
局
)
才能参加下一场练习赛．设各局
中双方获胜的概率均为
2
，各局比赛的结果相互独立．
(1)
求前
4
局
A
都不下场的概率；
(2)
用
X
表示前
4
局中
B
获胜的次数，求
X
的分布列和数学期望．
17
．四棱锥
P
ABCD
中，四边形
ABCD
为菱形，
AD2
，
BAD60
，平面
PBD
平
面
ABCD
．
1
(1)
证明：
PBAC
；
试卷第3页，共4页
1
PEPC
(2)若
PBPD
，且
PA
与平面
ABCD
成角为
60
，点
E
在棱
PC
上，且，求平
3
面
EBD
与平面
BCD
的夹角的余弦值．
x
2
y
2
18．如图，已知椭圆C：
2
2
1(
a
b
0)
的左、右顶点分别为A
1
，A
2
，左右焦点
ab
分别为F
1
，F
2
，离心率为
3
，|F
1
F
2
|=
23
，O为坐标原点．
2
（
1
）求椭圆
C
的方程；
（
2
）设过点
P
（
4
，的直线
PA
1
，其中
m
＞
0
，求
OMN
m
）
PA
2
与椭圆分别交于点
M
，
N
，
的面积
S
的最大值．
a
1,1
a
1,2
a
2,1
a
2,2
19．已知
A
m
a
m
,1
a
m
,2
a
1,
m
a
2,
m
(
m
2)
是
m
2
个正整数组成的
m
行
m
列的数表，当
a
m
,
m
1ism,1jtm
时，记
da
i
,
j
,
a
s
,
t
a
i
,
j
a
s
,
j
a
s
,
j
a
s
,
t
．设
nN
*
，若
A
m
满足
如下两个性质：
①
a
i
,
j
1,2,3;
,
n
(
i
1,2,
,
m
;
j
1,2,
,
m
)
；
②对任意
k
1,2,3,,n
，存在
i
1,2,,m
,j
1,2,,m
，使得
a
i,j
k
，则称
A
m
为
Γ
n
数表．
123
(1)判断
A
3
231
是否为
3
数表，并求
d
a
1,1
,a
2,2
d
a
2,2
,a
3,3
的值；
312
(2)若
2
数表
A
4
满足
da
i
,
j
,
a
i
1,
j
1
1(
i
1,2,3;
j
1,2,3)
，求
A
4
中各数之和的最小值；
(3)证明：对任意
4
数表
A
10
，存在
1is10,1jt10
，使得
d
a
i
,
j
,
a
s
,
t
0
．
试卷第4页，共4页
参考答案：
1
．
B
【分析】根据百分位数的定义得到答案
.
【详解】因为
815%1.2
，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的
15%
分位数为第
2
个
数据
70.
故选：
B
．
2
．
A
2
b
c
b
【解析】由渐近线求得，由双曲线的离心率
e
1
求得答案.
a
a
a
【详解】因为该双曲线的渐近线方程为y=±3x，则
3
，
b
a
cb
2
所以双曲线的离心率
e
1
1
3
10
a
a
故选：
A
【点睛】本题考查求双曲线的离心率，涉及双曲线的渐近线方程，属于简单题
.
3
．
D
2
S
10
a
aa
aS
【分析】由等差数列下标和的性质可得
29
110
10
10
，进而代值计算即可得
b
1
b
5
T
5
b
3
T
5
25
2
解
.
2
S
10
S
2
n
8
n
a
aa
aS
8
5
2
.
【详解】因为，所以
29
110
10
10
b
1
b
5
T
5
T
n
3
n
5
b
3
T
5
3
5
5
25
故选：
D.
4
．
D
【分析】结合空间中的线面位置关系逐一判断即可
.
【详解】对于
A:
由面面平行的定义可得
n
与
没有公共点，即
n//
，故
A
正确；
对于
B:
如果
m
，
n//
，那么在
内一定存在直线
b//n
，又
mb
，则
mn
，故
B
正
确；
对于
C:
如果
m//n
，
m
，那么根据线面平行的性质可得
n
，故
C
正确
;
对于
D
；如果
mn
，
m
，则
n//
或
n
，又
n//
，那么
与
可能相交，也可能
答案第
1
页，共
14
页
平行，故
D
错误
.
故选：
D.
5
．
D
【分析】分别求得将
6
人平均分
3
个不同组的种数，甲在歌曲演唱小组的种数，乙在歌曲诗
歌创作小组的种数，以及甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作的种数，即可求解
.
222
C
6
C
4
C
2
3
A
3
90
种，【详解】由题意，将6人平均分3个不同组，共
3
A
3
122
C
5
C
4
C
2
2
A
2
30
种，甲在歌曲演唱小组，此时有
2
A
2
122
C
5
C
4
C
2
2
A
30
种，乙在歌曲诗歌创作小组，此时有
2
2
A
2
2
甲在歌曲演唱小组且乙在歌曲诗歌创作有
A
4
12
种，
故共有
9030301242
种
.
故选：
D.
6
．
B
【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条件等知识确定正确答案
.
【详解】当
l
1
//l
2
时，
m1
2m
m1
，
解得
m1
或
m2
，经检验可知
m1
或
m2
都符合
.
所以“
m2
”是“
l
1
//l
2
”的充分不必要条件.
故选：
B
7
．
B
【分析】先将已知等式化简得到
sin
cos
，再利用角的关系求解即可
.
【详解】
2tan
sin2
sin
2sin
cos
2cos
2
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
2
cos
sin
sin
2
1
sin
sin
cos
cos
sin
sin
cos
，因为
,
0,
,
所以
，所以
2
2
tan
2
3
故选：
B
答案第
2
页，共
14
页
5
3
tan
63
8
．
A
【分析】由题意画出图，由已知求出
c
的值，找出
A,B
的坐标，由
AF
1
F
2
,BF
1
F
2
,F
1
AB
的
内切圆圆心分别为
O
1
,O
2
,O
3
，进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出
O
1
O
2
O
3
的底和高，利用三角形的面积公式计算即可
.
【详解】由题意如图所示：
由双曲线
C:x
2
y
2
4
，知
a
2
b
2
4
，
所以
c
2
a
2
b
2
8
，
所以
F
2
(22,0)
，
F
1
F
2
2c42
所以过
F
2
作垂直于
x
轴的直线为
x22
，
代入
C
中，解出
A22,2,B22,2
，
由题知
AF
1
F
2
,BF
1
F
2
的内切圆的半径相等，
且
AF
1
BF
1
，
AF
1
F
2
,BF
1
F
2
的内切圆圆心
O
1
,O
2
的连线垂直于
x
轴于点
P
，
设为
r
，在
△AF
1
F
2
中，由等面积法得：
11
AF
1
AF
2
F
1
F
2
rF
1
F
2
AF
2
22
由双曲线的定义可知：
AF
1
AF
2
2a4
由
AF
2
2
，所以
AF
1
6
，
所以
11
6
2
42
r
42
2
，
22
答案第
3
页，共
14
页
22
2
2
解得：
r
22
22
2
，
2
2
2
因为
F
1
F
2
为
F
1
AB
的
AF
1
B
的角平分线，
所以
O
3
一定在
F
1
F
2
上，即
x
轴上，令圆
O
3
半径为
R
，
在
AF
1
B
中，由等面积法得：
11
AF
1
BF
1
AB
RF
1
F
2
AB
，
22
又
AF
1
BF
1
F
1
F
2
AF
1
22
422
2
6
2
11
所以
6
6
4
R
42
4
，
22
所以
R2
，
所以
PF
2
r222
，
O
3
PO
3
F
2
PF
2
Rr22222
2
，
所以
S
O
1
O
2
O
3
11
O
1
O
2
O
3
P
2
rO
3
P
22
rO
3
P22222628
，
故选：
A.
9
．
BC
【分析】利用正弦函数的图象性质结合函数的奇偶性、单调性最值、零点的概念一一求解
.
【详解】因为
f(x)sinx|sinx|
的定义域为
R
，
又
f
x
sinxsin
x
sinxsinxf
x
，
f
(
x
)
为偶函数，故A正确．
当
π
π
x
π
时，
f
x
2sinx
，它在区间
,
π
单调递减，故B错误．
2
2
当
0xπ
时，
f
x
2sinx
，它有两个零点：
0
；
当
πx0
时，
f
x
sin
x
sinx
2sinx
，
它有一个零点：
π
，故
f
x
在
,
有
3
个零点：
0
，故C错误．
当
x
2k
,2k
k
N
时，
f
x
2sinx
；
当
x
2k
,2k
2
k
N
时，
f
x
sinxsinx0
，
答案第
4
页，共
14
页
又
f
x
为偶函数，
f
(
x
)
的最大值为
2
，故D正确．
故选：
BC
．
10
．
BD
【分析】对选项
A
，
C
，利用特殊值法即可判断
A
，
C
错误，对选项
B
，根据复数模长的性
质即可判断
B
正确，对选项
C
，根据复数模长公式即可判断
D
正确
.
【详解】对选项A，设
z
1
1i
，
z
2
2i
，则
z
1
z
2
2
，
z
1
2
1i
2i
，
z
2
2
2
22
2i2
，不满足
z
1
z
2
，故A错误.
2
对选项B，设
z
1
,z
2
在复平面内表示的向量分别为
z
1
,z
2
，且
z
1
,z
2
0
，
zzzz
当
z
1
,z
2
方向相同时，
1212
，
当
z
1
,z
2
方向不相同时，
z
1
z
2
z
1
z
2
，
综上
z
1
z
2
z
1
z
2
，故B正确.
对选项C，设
z
1
1i
，
z
2
1i
，
z
1
z
2
1i
1i
2R
，
1
i
i
R
，故C错误.
z
1
1
i
z
2
1
i
1
i
1
i
对选项
D
，设
z
1
abi
，
z
2
cdi
，
a,b,c,d0
，
2
z
1
z
2
abi
cdi
acbd
adbc
i
，
则
z
1
z
2
acbd
adbc
22
2
bc
ac
bd
ad
222
2222
，
z
1
z
2
a
2
b
2
c
2
d
2
ac
bd
ad
bc
z
1
z
2
，
故
D
正确
.
故选：
BD
11
．
ACD
【分析】对于
A
，利用赋值法即可判断；对于
B
，利用赋值法与函数奇偶性的定义即可判断；
对于C，利用换元法结合
f
x
的奇偶性即可判断；对于D，先推得
f
x
的一个周期为6，
再依次求得
f
1
,f
2
,f
3
,f
4
,f
5
,f
6
，从而利用
f
x
的周期性即可判断.
22
【详解】对于A，因为
f
xy
f
xy
f
x
f
y
，
答案第
5
页，共
14
页
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