高中数学选修2-3知识点

2024年3月5日发(作者：曙光中学高考数学试卷答案)

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高中数学选修2-3基础知识

一．基本原理

1．加法原理：做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一m列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为An.

m1.公式：nn1n2„„nm1n!

nm!

2.

规定：0!1

(1)n!n(n1)!,(n1)n!(n1)!

(2)

nn![(n1)1]n!(n1)n!n!(n1)!n!；

nn11n1111(3)

(n1)!(n1)!(n1)!(n1)!n!(n1)!三．组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

nn1„„nm1Amn! 1. 公式：

Cnm!m!nm!Ammmn

0

规定：Cn1

mnmmm1m01n

2.组合数性质：

CnCn，CnCnCn„Cn2n

1，CnCn„①m；②m；③rrr1rrCn1CnCr1Cr1Cr2；④rrr1rCn1CnCr2Cr2

rrr1Cn1CnCn1注：CrrCrr1Crr2

若Cn1Cn2则m1=m2或m1+m2n

四．处理排列组合应用题

1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

2．解排列、组合题的基本策略

（1）两种思路：①直接法；

②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。

（2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

（3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

（4）两种途径：①元素分析法；②位置分析法。

3．排列应用题：

（1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；

(2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑；

例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

2424解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A2种；中间4个为不同的商业广告有A4种，从而应当填 A2·A4＝48. 从而应填48．

例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法？

6554解一：间接法：即A6A5A5A4720212024504

解二：（1）分类求解：按甲排与不排在最右端分类.

51(1) 甲排在最右端时,有A5种排法； (2) 甲不排在最右端（甲不排在最左端）时，则甲有A4种排法，乙141145114有A4种排法，其他人有A4种排法，共有A4A4A4种排法，分类相加得共有A5+A4A4A4=504种排法

（3）．相邻问题：捆邦法：

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对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。

（4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。

（5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插

解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。

解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法；

例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法？

4分析一：先在7个位置上任取4个位置排男生，有A7种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，4只有1种排法，故共有A7·1=840种.

（6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。

（7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。

（8）．数字问题（组成无重复数字的整数）

① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。

②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；

③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。

④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。

⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。

⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。

⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。

4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法:

1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有

解析1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法333共有C9C4C570种,选.C

解析2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型1台乙型2台；甲型2台乙型1台；故不同2112的取法有C5C4C5C470台,选C.

（2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法:

2．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛（1）如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法； （2）如果男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法； （3）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法； （4）如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法

分析：本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题.

2222解：（1）先从男生中选2人，有C5种选法，再从女生中选2人，有C4种选法，所以共有C5

C4=60（种）；22（2）除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有C2C7=21（种）；

44（3）在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数：C9=91（种）；

C7直接法，则可分为3类：只含甲；只含乙；同时含甲和乙，得到符合条件的方法数131322332=91（种）.

C1C7C1C7C2C7C7C7C7444（4）在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数C9=120（种）.

C5C4132231直接法：分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为C5C4C5C4C5C4=120（种）.

3．分组问题：

均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。

非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。

混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。

4．分配问题：

定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。

随机分配：（不指定到具体位置）即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分组组数的阶乘。

5．隔板法： 不可分辨的球即相同元素分组问题

五． 二项式定理

1.

nrr2.二项展开式的通项公式：Tr1Crb(r0，1„„n)

nan它是(a+b)的二项展开式的第r+1项，而不是第r项； （r=0的情形不要忽视 ）

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3二项式定理的应用

① 求二项展开式中的任何一项，特别是常数项：变量的指数为0、有理项：指数为整数；

② 证明整除或求余数；

③ 利用赋值法证明某些组合恒等式；

④ 近似计算。

nr 4.二项式系数的性质：（1）对称性：Crr0，1，2，„„，n

nCn01n

（2）二项式系数和：CnCn„Cn2n

r

Cn为二项式系数（区别于该项的系数）35024n1 （3）C1

nCnCn„CnCnCn„2（4）最值：

n2 ①n为偶数时，n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第1项，二项式系数为Cn；2n1n1②n为奇数时，

(n1)为偶数，中间两项的二项式系数最大即第项及第1项，22n其二项式系数为Cn12nCn12n

5．区分（1）某一项的二项式系数与系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为，第ｒ＋１项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；

（2）二项式系数最大项与系数最大项

①二项式系数最大项是中间项

Tk1的系数Tk的系数求k。再求第k+1项值。 ②系数最大项求法：设第k+1项的系数最大，由不等式组Tk1的系数Tk2的系数③系数的绝对值最大的项

（abx)n,(a0,b0)二项展开式的系数绝对值最大项的求法，设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系Tk1的系数Tk的系数求r 数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值，即由Tk1的系数Tk2的系数注意：（abx)n,(a0,b0)二项展开式中系数最大的项及系数最小的项的求法:先求系数的绝对值最大项第r+1项，然后再求第r+1项的符号，若这一项的系数符号为正，则它为展开式中系数最大的项；若这一项的系数符号为负，则它为展开式中系数最小的项

（3）二项展开式中，二项式系数和与各项系数和

01n二项式系数和：CnCn…Cn2n

应用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和即令式子中变量为1。

注意：f(x)(abx)a0a1xa2xa3xn23akxk①anxn

3

令x1得：a0a1a2a3令x1得：a0a1a2a3akakanf(1)n(1）anf(1)高中数学 选修2-3

②

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①+②得：a0a2a42①-②得：a1a3a52f(1)+f(1)2

f(1)-f(1)2a0f(0)

注意：（1）（abx)n,(a0,b0)二项展开式的各项系数绝对值的和相当于（abx)n,(a0,b0)的各项系数的和。即令原式中的x=-1即可。

（2）审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？

六．事件分类

（1）必然事件，P)1，不可能事件，P()0

（2）包含关系：AB，“A发生必导致B发生”称B包含A。

（3）互斥事件（互不相容事件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

A·B

A B

图1

（4）事件的和（并）：AB或AB“A与B至少有一个发生”叫做A与B的和（并）。（4）事件的积（交）：A·B或AB“A与B同时发生”叫做A与B的积。

（6）对立事件（互逆事件）：

“A不发生”叫做A发生的对立（逆）事件，AAA，AA

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相

互独立事件。A与B独立，A与B，A与B，A与B也相互独立。

七 对某一事件概率的求法：

（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法，即P(A)A包含的等可能结果m

一次试验的等可能结果的总数n

（2）若A、B互斥，则PABP(A)P(B) 即分类相加

（3）若A、B相互独立，则PA·BPA·PB 即分步相乘

（4）P(A)1P(A)

（5）如果在一次试验中A发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生k次的概率。

nkkk即当X～B(n,p)时，Pn(k)Cnp1p

八.离散型随机变量

1.在的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．

2.离散型随机变量的分布列

一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,xi , ,xn

X取每一个值xi(i=1,2,）的概率 P(X=xi）＝Pi，

则称表



为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列

性质：① 0≤pi≤1, i =1，2， „ ② p1 + p2 +„+pn= 1．

③ 一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

3.公式：期望或平均数、均值 E(X)＝x1p1＋x2p2＋„＋xnpn

222方差:DX=（x1-E(X))·P1+ （x2-E(X))·P2 + „ + （xn-E(X))·Pn

说明（1）数学期望的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

(2) D X的算术平方根D(X)为随机变量X的标准差，

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(3)、随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与分散的程度。

22 (4)性质：EaXbaE(X)b

DaXba2D(X)

D(X)EXE(X)

4．二项分布：在n次独立重复试验中，一次试验中某事件A发生的概率是p, 某事件A发生的次数为X，

kknk则在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(X=k)=Cnpq,

X的分布列为

X

p

0

00nCnpq

1 „ xi „ N

nnCnp

11n1Cnpq

„

kknkCnpq

„

此时称ξ服从二项分布，记作X～B(n,p).

若X～B(n,p)，则EX=np ,DX=np（1-P）

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