2024年4月16日发(作者：2020的相反数数学试卷)
绝密★启用前
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
考试时间：120分钟；试卷整理：微信公众号--浙江数学
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
得分
注意事项：
一二三总分
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人得分
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2018•新课标Ⅱ）
A．iB．C．
=（）
D．
2．（5分）（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x
2
+y
2
≤3，x∈Z，y∈Z），则A
中元素的个数为（）
A．9B．8C．5D．4
3
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）函数
f
（
x
）
=
的图象大致为（）
A．B．
第1页（共30页）
C．D．
4
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知向量，满足
||=1
，
（）
=
﹣
1
，则
•
（
2
）
=
A
．
4B
．
3C
．
2D
．
0
5
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）双曲线
渐近线方程为（
A
．
y=±x
）
xC
．
y=±xD
．
y=±x
，
BC=1
，
AC=5
，则
AB=
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的离心率为，则其
B
．
y=±
6
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）在△
ABC
中，
cos=
（
A
．
4
）
B
．
C
．
D
．
2
7
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）为计算
S=1
﹣
+
﹣
+…+
程序框图，则在空白框中应填入（）
﹣，设计了如图的
第2页（共30页）
A
．
i=i+1B
．
i=i+2C
．
i=i+3D
．
i=i+4
8
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世
界领先的成果．哥德巴赫猜想是
“
每个大于
2
的偶数可以表示为两个素数的和
”
，
如
30=7+23
．在不超过
30
的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
30
的概
率是（
A
．
B
．
）
C
．
D
．
，
9
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=BC=1
，
AA
1
=
则异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角的余弦值为（
A
．
B
．
C
．
D
．
）
10
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）若
f
（
x
）
=cosx
﹣
sinx
在
[
﹣
a
，
a]
是减函数，则
a
的
最大值是（
A
．
B
．
）
C
．
D
．
π
11
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知
f
（
x
）是定义域为（﹣
∞
，
+∞
）的奇函数，满
足
f
（
1
﹣
x
）
=f
（
1+x
），若
f
（
1
）
=2
，则
f
（
1
）
+f
（
2
）
+f
（
3
）
+…+f
（
50
）
=
第3页（共30页）
（）
A
．﹣
50B
．
0C
．
2D
．
50
12
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知
F
1
，
F
2
是椭圆
C
：
右焦点，
A
是
C
的左顶点，点
P
在过
A
且斜率为
=1
（
a
＞
b
＞
0
）的左、
的直线上，△
PF
1
F
2
为等腰三
角形，∠
F
1
F
2
P=120°
，则
C
的离心率为（）
A
．
B
．
C
．
D
．
第4页（共30页）
第
Ⅱ
卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人得分
二．填空题（共
4
小题，满分
20
分，每小题
5
分）
13
．
0
）（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）曲线
y=2ln
（
x+1
）在点（
0
，处的切线方程为
14．（5分）（2018•新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件
值为．
．
．
，则z=x+y的最大
15
．
cosα+sinβ=0
，
=
（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知
sinα+cosβ=l
，则
sin
（
α+β
）
16
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知圆锥的顶点为
S
，母线
SA
，
SB
所成角的余弦
值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5
面积为．
，则该圆锥的侧
评卷人得分
三．解答题（共7小题，满分80分）
17．（12分）（2018•新课标Ⅱ）记S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，已知a
1
=﹣7，
S
3
=﹣15．
（1）求{a
n
}的通项公式；
（2）求S
n
，并求S
n
的最小值．
18．（12分）（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资
额y（单位：亿元）的折线图．
第5页（共30页）
为了预测该地区
2018
年的环境基础设施投资额，建立了
y
与时间变量
t
的两个线
性回归模型．根据
2000
年至
2016
年的数据（时间变量
t
的值依次为
1
，
2
，
…
，
17
）建立模型①：
=
﹣
30.4+13.5t
；根据
2010
年至
2016
年的数据（时间变量
t
的值依次为
1
，
2
，
…
，
7
）建立模型②：
=99+17.5t
．
（
1
）分别利用这两个模型，求该地区
2018
年的环境基础设施投资额的预测值；
（
2
）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19
．（
12
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）设抛物线
C
：
y
2
=4x
的焦点为
F
，过
F
且斜率为
k
（
k
＞
0
）的直线
l
与
C
交于
A
，
B
两点，
|AB|=8
．
（
1
）求
l
的方程；
（
2
）求过点
A
，
B
且与
C
的准线相切的圆的方程．
20
．（
12
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）如图，在三棱锥
P
﹣
ABC
中，
AB=BC=2
PA=PB=PC=AC=4
，
O
为
AC
的中点．
（
1
）证明：
PO
⊥平面
ABC
；
（
2
）若点
M
在棱
BC
上，且二面角
M
﹣
PA
﹣
C
为
30°
，求
PC
与平面
PAM
所成
角的正弦值．
第6页（共30页）
，
21
．（
12
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知函数
f
（
x
）
=e
x
﹣
ax
2
．
（
1
）若
a=1
，证明：当
x≥0
时，
f
（
x
）
≥1
；
（
2
）若
f
（
x
）在（
0
，
+∞
）只有一个零点，求
a
．
22．（10分）（2018•新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（θ为参数），直线l的参数方程为
（
1
）求
C
和
l
的直角坐标方程；
（
2
）若曲线
C
截直线
l
所得线段的中点坐标为（
1
，
2
），求
l
的斜率．
23
．（
10
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）设函数
f
（
x
）
=5
﹣
|x+a|
﹣
|x
﹣
2|
．
（
1
）当
a=1
时，求不等式
f
（
x
）
≥0
的解集；
（
2
）若
f
（
x
）
≤1
，求
a
的取值范围．
，（t为参数）．
，
第7页（共30页）
2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一．选择题（共
12
小题，满分
60
分，每小题
5
分）
1
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）
A
．
iB
．
C
．
=
（）
D
．
【考点】
A5
：复数的运算．
【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【解答】解：
故选：
D
．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查．
==+
．
2
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知集合
A={
（
x
，
y
）
|x
2
+y
2
≤3
，
x
∈
Z
，
y
∈
Z
），则
A
中元素的个数为（）
A
．
9B
．
8C
．
5D
．
4
【考点】
1A
：集合中元素个数的最值．
【分析】分别令
x=
﹣
1
，
0
，
1
，进行求解即可．
【解答】解：当
x=
﹣
1
时，
y
2
≤2
，得
y=
﹣
1
，
0
，
1
，
当
x=0
时，
y
2
≤3
，得
y=
﹣
1
，
0
，
1
，
当
x=1
时，
y
2
≤2
，得
y=
﹣
1
，
0
，
1
，
即集合
A
中元素有
9
个，
故选：
A
．
第8页（共30页）
【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题的
关键．
3．（5分）（2018•新课标Ⅱ）函数f（x）=的图象大致为（）
A．B．C．D．
【考点】
6B
：利用导数研究函数的单调性；
3A
：函数的图象与图象的变换．
【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．
【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），
则函数
f
（
x
）为奇函数，图象关于原点对称，排除
A
，
当
x=1
时，
f
（
1
）
=e
﹣＞
0
，排除
D
．
当
x→+∞
时，
f
（
x
）
→+∞
，排除
C
，
故选：
B
．
【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行
排除是解决本题的关键．
第9页（共30页）
4
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知向量，满足
||=1
，
（）
=
﹣
1
，则
•
（
2
）
=
A
．
4B
．
3C
．
2D
．
0
【考点】
9O
：平面向量数量积的性质及其运算；
91
：向量的概念与向量的模．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：向量，满足
||=1
，
故选：
B
．
【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题
=
﹣
1
，则
•
（
2
）
=2
﹣
=2+1=3
，
5
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）双曲线
渐近线方程为（
A
．
y=±x
）
xC
．
y=±
=1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的离心率为，则其
B
．
y=±xD
．
y=±x
【考点】
KC
：双曲线的性质．
【分析】根据双曲线离心率的定义求出
a
，
c
的关系，结合双曲线
a
，
b
，
c
的关系
进行求解即可．
【解答】解：∵双曲线的离心率为
e==
则
=====
，
x
，
，
即双曲线的渐近线方程为
y=±x=±
故选：
A
．
【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近
线的方程是解决本题的关键．
第10页（共30页）
6
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）在△
ABC
中，
cos=
（
A
．
4
）
B
．
C
．
，
BC=1
，
AC=5
，则
AB=
D
．
2
【考点】
HR
：余弦定理．
【分析】利用二倍角公式求出
C
的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．
【解答】解：在△
ABC
中，
cos=
BC=1，AC=5，则AB=
故选：
A
．
【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．
7
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）为计算
S=1
﹣
+
﹣
+…+
程序框图，则在空白框中应填入（）
﹣，设计了如图的
，
cosC=2×
=
=
﹣，
==4．
A
．
i=i+1B
．
i=i+2C
．
i=i+3D
．
i=i+4
【考点】
EH
：绘制程序框图解决问题；
E7
：循环结构．
第11页（共30页）
【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的
S=N
﹣
T
，
由此知空白处应填入的条件．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，
该程序运行后输出的是
S=N
﹣
T=
（
1
﹣）
+
（﹣）
+…+
（﹣）；
累加步长是
2
，则在空白处应填入
i=i+2
．
故选：
B
．
【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题．
8
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世
界领先的成果．哥德巴赫猜想是
“
每个大于
2
的偶数可以表示为两个素数的和
”
，
如
30=7+23
．在不超过
30
的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
30
的概
率是（
A
．
B
．
）
C
．
D
．
【考点】
CB
：古典概型及其概率计算公式．
【分析】利用列举法先求出不超过
30
的所有素数，利用古典概型的概率公式进
行计算即可．
【解答】解：在不超过
30
的素数中有，
2
，
3
，
5
，
7
，
11
，
13
，
17
，
19
，
23
，
29
共
10
个，
从中选2个不同的数有=45种，
和等于
30
的有（
7
，
23
），（
11
，
19
），（
13
，
17
），共
3
种，
则对应的概率
P==
，
第12页（共30页）
故选：
C
．
【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过
30
的素数是解决本
题的关键．
9
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=BC=1
，
AA
1
=
则异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角的余弦值为（
A
．
B
．
C
．
D
．
，
）
【考点】
LM
：异面直线及其所成的角．
【分析】以
D
为原点，
DA
为
x
轴，
DC
为
y
轴，
DD
1
为
z
轴，建立空间直角坐
标系，利用向量法能求出异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角的余弦值．
【解答】解：以
D
为原点，
DA
为
x
轴，
DC
为
y
轴，
DD
1
为
z
轴，建立空间直
角坐标系，
∵在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB=BC=1
，
AA
1
=
，
），
D
（
0
，
0
，
0
），
∴
A
（
1
，
0
，
0
），
D
1
（
0
，
0
，
B
1
（
1
，
1
，），
），=（﹣1，0，=（1，1，），
设异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角为
θ
，
则
cosθ===
，
．
∴异面直线
AD
1
与
DB
1
所成角的余弦值为
故选：
C
．
第13页（共30页）
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面
面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础
题．
10
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）若
f
（
x
）
=cosx
﹣
sinx
在
[
﹣
a
，
a]
是减函数，则
a
的
最大值是（
A
．
B
．
）
C
．
D
．
π
【考点】
GP
：两角和与差的三角函数；
H5
：正弦函数的单调性．
fx
）【分析】利用两角和差的正弦公式化简（，由
得
k
∈
Z
，，
，
]
，，
k
∈
Z
，取
k=0
，得
f
（
x
）的一个减区间为
[
结合已知条件即可求出
a
的最大值．
【解答】解：
f
（
x
）
=cosx
﹣
sinx=
﹣（
sinx
﹣
cosx
）
=
由
得
，
k
∈
Z
，
，
k
∈
Z
，
，
]
，
，
取
k=0
，得
f
（
x
）的一个减区间为
[
由
f
（
x
）在
[
﹣
a
，
a]
是减函数，
第14页（共30页）
得，∴
．
．
则
a
的最大值是
故选：
A
．
【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于
基本知识的考查，是基础题．
11
．（
5
分）（
2018•
新课标
Ⅱ
）已知
f
（
x
）是定义域为（﹣
∞
，
+∞
）的奇函数，满
足
f
（
1
﹣
x
）
=f
（
1+x
），若
f
（
1
）
=2
，则
f
（
1
）
+f
（
2
）
+f
（
3
）
+…+f
（
50
）
=
（）
A
．﹣
50B
．
0C
．
2D
．
50
【考点】
3K
：函数奇偶性的性质与判断．
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是
4
，结合函数的周期
性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵
f
（
x
）是奇函数，且
f
（
1
﹣
x
）
=f
（
1+x
），
∴
f
（
1
﹣
x
）
=f
（
1+x
）
=
﹣
f
（
x
﹣
1
），
f
（
0
）
=0
，
则
f
（
x+2
）
=
﹣
f
（
x
），则
f
（
x+4
）
=
﹣
f
（
x+2
）
=f
（
x
），
即函数
f
（
x
）是周期为
4
的周期函数，
∵
f
（
1
）
=2
，
∴
f
（
2
）
=f
（
0
）
=0
，
f
（
3
）
=f
（
1
﹣
2
）
=f
（﹣
1
）
=
﹣
f
（
1
）
=
﹣
2
，
f
（
4
）
=f
（
0
）
=0
，
则
f
（
1
）
+f
（
2
）
+f
（
3
）
+f
（
4
）
=2+0
﹣
2+0=0
，
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