2024年3月27日发(作者：南通高考一模数学试卷)

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2016年普通高等学校招生全国考试

数学（文)（北京卷）

本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本市卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的

一项。

（1)已知集合

A{x|2x4},B{x|x3或x>5}

，则

AB

（A）

{x|2

（B)

{x|x<4或x>5}

（2）复数

12i

=

2i

（C）

{x|2

（D)

{x|x<2或x>5}

（A)i(B)1+i（C）

i

（D)

1i

(3）执行如图所示的程序框图,输出的s值为

(A）8

(B)9

(C）27

（D)36

(4）下列函数中，在区间

(1,1)

上为减函数的是

（A）

y

1

(B)

ycosx

(C）

yln(x1)

（D）

y2

x

1x

（5)圆（x+1)

2

+y

2

=2的圆心到直线y=x+3的距离为

(A)1 （B）2 （C)

2

(D）2

2

(6）从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为

（A）

89

12

（B） （C) （D）

2525

55

(7）已知A（2,5），B（4,1）。若点P（x，y）在线段AB上，则2x−y的最大值为

(A）−1 （B)3 （C)7 （D)8

（8）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段。下表为10名学生的预

赛成绩,其中有三个数据模糊。

学生序号

立定跳远（单位：米）

96

30秒跳绳（单位：次） 63 a

1

1。

1.92

82

75 60

2 3

1。

1.80

78

63 72

4 5

1。

1.76

74

70 a−1

6 7

1。

1.72

68

b 65

8 9

1。

1.60

10

在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则

(A)2号学生进入30秒跳绳决赛 (B）5号学生进入30秒跳绳决赛

（C）8号学生进入30秒跳绳决赛 (D)9号学生进入30秒跳绳决赛

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题（共6小题,每小题5分，共30分）

(9）已知向量

a=(1,3),b(3,1)

，则a与b夹角的大小为_________.

(10)函数

f(x)

x

(x2)

的最大值为_________。

x1

(11）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.

x

2

y

2

（12） 已知双曲线

2

2

1

(a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一个焦点为(

5

，0),则a=_______；

ab

b=_____________。

（13)在

△

ABC中，

A

2

b

，a=

3

c,则=_________.

3c

（14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售

出18种商品;前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;

②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题（共6题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）

(15）（本小题13分）

已知{a

n

｝是等差数列,｛b

n

｝是等差数列，且b

2

=3,b

3

=9，a

1

=b

1

,a

14

=b

4

。

(Ⅰ)求{a

n

}的通项公式；

（Ⅱ)设c

n

= a

n

+ b

n

,求数列｛c

n

｝的前n项和。

（16）(本小题13分）

已知函数f（x)=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω〉0）的最小正周期为π。

(Ⅰ)求ω的值；

（Ⅱ）求f(x）的单调递增区间。

（17）(本小题13分）

某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米

的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据,整理得到如

下频率分布直方图：

（I）如果w为整数，那么根据此次调查,为使80％以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为

多少？

（II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费。

（18)(本小题14分)

如图,在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，

AB∥DC,DCAC

(I）求证:

DC平面PAC

;

(II）求证：

平面PAB平面PAC

；

(III)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得

PA平面CEF

？说明理由。

（19）（本小题14分）

x

2

y

2

已知椭圆C：

2

2

1

过点A（2，0）,B（0，1)两点.

ab

（I)求椭圆C的方程及离心率；

(II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四

边形ABNM的面积为定值。

(20)（本小题13分）

设函数

f

x

xaxbxc.

32

（I)求曲线

yf

x

.

在点

0,f

0

处的切线方程;

（II）设

ab4

，若函数

f

x

有三个不同零点,求c的取值范围；

2

（III）求证：

a3b＞0

是

f

x

.

有三个不同零点的必要而不充分条件。



2016年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）(北京卷）参考答案

一、选择题（共8小题,每小题5分，共40分）

（1）C （2)A （3)B （4）D （5）C （6）B (7）C (8）B

二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

(9)

3

（10）2 （11） （12）1 2

62

(13）1 (14)16 29

三、解答题（共6小题，共80分）

（15）(共13分）

解：（I）等比数列

b

n

的公比

q

b

3

9

3

,

b

2

3

所以

b

1

b

2

1

，

b

4

b

3

q27

．

q

设等差数列

a

n

的公差为

d

．

因为

a

1

b

1

1

，

a

14

b

4

27

，

所以

113d27

，即

d2

．

所以

a

n

2n1

（

n1

，

2

,

3

，



)．

n1

（II)由(I)知，

a

n

2n1

，

b

n

3

．

n1

因此

c

n

a

n

b

n

2n13

．

从而数列

c

n

的前

n

项和

S

n

13

2n1

133

n1

n

12n1

13

n



213

3

n

1

n

．

2

2

(16)（共13分）

解:(I)因为

f

x

2sin

xcos

xcos2

x

sin2

xcos2

x


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