2016年北京市高考数学试卷(文科)

2024年3月27日发(作者：龙口高考数学试卷真题及答案)

2016年北京市高考数学试卷（文科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩B=（ ）

A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}

2．（5分）复数

A．i

=（ ）

C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}

B．1+i C．﹣i D．1﹣i

3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）

A．8 B．9 C．27 D．36

4．（5分）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）

A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2

﹣

x

5．（5分）圆（x+1）

2

+y

2

=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）

A．1 B．2 C． D．2

6．（5分）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．（5分）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，则2x﹣y

的最大值为（ ）

A．﹣1 B．3 C．7 D．8

8．（5分）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛

两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

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学生序号

立定跳远

1

2

1.92

3

4

5

6

7

8

9

10

（单位：米）

1.96

30秒跳绳

（单位：次）

63

a

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

75

60

63

72

70

a﹣1

b

65

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30

秒跳绳决赛的有6人，则（ ）

A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛

C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）已知向量=（1，

10．（5分）函数f（x）=

），=（，1），则与夹角的大小为 ．

（x≥2）的最大值为 ．

11．（5分）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．

12．（5分）已知双曲线

个焦点为（

﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为2x+y=0，一

，0），则a= ，b= ．

，a=c，则= ．

13．（5分）在△ABC中，∠A=

14．（5分）某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，

第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后

两天都售出的商品有4种，则该网店

①第一天售出但第二天未售出的商品有 种；

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②这三天售出的商品最少有 种．

三、解答题（共6小题，满分80分）

15．（13分）已知{a

n

}是等差数列，{b

n

}是等比数列，且b

2

=3，b

3

=9，a

1

=b

1

，a

14

=b

4

．

（1）求{a

n

}的通项公式；

（2）设c

n

=a

n

+b

n

，求数列{c

n

}的前n项和．

16．（13分）已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

17．（13分）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的

部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随

机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如图频率分布

直方图：

（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格

为4元/立方米，w至少定为多少？

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市

居民该月的人均水费．

18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．

（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；

（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明

理由．

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19．（14分）已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB

与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

20．（13分）设函数f（x）=x

3

+ax

2

+bx+c．

（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；

（2）设a=b=4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；

（3）求证：a

2

﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．

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2016年北京市高考数学试卷（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）（2016•北京）已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，则A∩

B=（ ）

A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5} C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}

【分析】由已知条件利用交集的定义能求出A∩B．

【解答】解：∵集合A={x|2＜x＜4}，B={x|x＜3或x＞5}，

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

故选：C．

【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的定义

的合理运用．

2．（5分）（2016•北京）复数

A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i

=（ ）

【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．

【解答】解：

故选：A

【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的加减运算，共轭复数的定义，难度

不大，属于基础题．

3．（5分）（2016•北京）执行如图所示的程序框图，输出s的值为（ ）

===i，

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A．8 B．9 C．27 D．36

【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变

量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【解答】解：当k=0时，满足进行循环的条件，故S=0，k=1，

当k=1时，满足进行循环的条件，故S=1，k=2，

当k=2时，满足进行循环的条件，故S=9，k=3，

当k=3时，不满足进行循环的条件，

故输出的S值为9，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可

采用模拟程序法进行解答．

4．（5分）（2016•北京）下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（ ）

A．y= B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2

﹣

x

【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可

判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．

【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴

∴函数

增大；

在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；

B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；

C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函

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数，即该选项错误；

D.；

∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．

故选D．

【点评】考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法，以及余弦函

数和指数函数的单调性，指数式的运算．

5．（5分）（2016•北京）圆（x+1）

2

+y

2

=2的圆心到直线y=x+3的距离为（ ）

A．1 B．2 C． D．2

【分析】先求出圆（x+1）

2

+y

2

=2的圆心，再利用点到到直线y=x+3的距离公式

求解．

【解答】解：∵圆（x+1）

2

+y

2

=2的圆心为（﹣1，0），

∴圆（x+1）

2

+y

2

=2的圆心到直线y=x+3的距离为：

d==．

故选：C．

【点评】本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注

意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用．

6．（5分）（2016•北京）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概

率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】从甲、乙等5名学生中随机选出2人，先求出基本事件总数，再求出甲

被选中包含的基本事件的个数，同此能求出甲被选中的概率．

【解答】解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，

基本事件总数n==10，

=4，

甲被选中包含的基本事件的个数m=

∴甲被选中的概率p===．

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故选：B．

【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件

概率计算公式的合理运用．

7．（5分）（2016•北京）已知A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB

上，则2x﹣y的最大值为（ ）

A．﹣1 B．3 C．7 D．8

【分析】平行直线z=2x﹣y，判断取得最值的位置，求解即可．

【解答】解：如图A（2，5），B（4，1）．若点P（x，y）在线段AB上，

令z=2x﹣y，则平行y=2x﹣z当直线经过B时截距最小，Z取得最大值，

可得2x﹣y的最大值为：2×4﹣1=7．

故选：C．

【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数经过的点，是解题的关键．

8．（5分）（2016•北京）某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分

成预赛和决赛两个阶段，表中为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

学生序号

立定跳远

1

2

1.92

3

4

5

6

7

8

9

10

（单位：米）

1.96

30秒跳绳

（单位：次）

63

a

1.82

1.80

1.78

1.76

1.74

1.72

1.68

1.60

75

60

63

72

70

a﹣1

b

65

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30

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秒跳绳决赛的有6人，则（ ）

A．2号学生进入30秒跳绳决赛 B．5号学生进入30秒跳绳决赛

C．8号学生进入30秒跳绳决赛 D．9号学生进入30秒跳绳决赛

【分析】根据已知中这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立

定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，逐一分析四个答案的正误，可得结论．

【解答】解：∵这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，

故编号为1，2，3，4，5，6，7，8的学生进入立定跳远决赛，

又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，

则3，6，7号同学必进入30秒跳绳决赛，

剩下1，2，4，5，8号同学的成绩分别为：63，a，60，63，a﹣1有且只有3人

进入30秒跳绳决赛，

故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是推理与证明，正确利用已知条件得到合理的逻辑推

理过程，是解答的关键．

二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）

9．（5分）（2016•北京）已知向量=（1，

小为 ．

），=（，1），则与夹角的大

【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．

【解答】解：∵向量=（1，

∴与夹角θ满足：

cosθ===，

），=（，1），

又∵θ∈[0，π]，

∴θ=，

．

故答案为：

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【点评】本题考查的知识点是平面向量的夹角公式，熟练掌握平面向量的夹角公

式，是解答的关键．

10．（5分）（2016•北京）函数f（x）=

【分析】分离常数便可得到

（x≥2）的最大值为 2 ．

，根据反比例函数的单调性便可判断该

函数在[2，+∞）上为减函数，从而x=2时f（x）取最大值，并可求出该最大值．

【解答】解：

∴f（x）在[2，+∞）上单调递减；

∴x=2时，f（x）取最大值2．

故答案为：2．

【点评】考查函数最大值的概念及求法，分离常数法的运用，以及反比例函数的

单调性，根据函数单调性求最值的方法．

11．（5分）（2016•北京）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为 ．

；

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱，

进而可得答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱

柱，

棱柱的底面面积S=×（1+2）×1=，

棱柱的高为1，

故棱柱的体积V=，

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