2024年3月14日发(作者：四年数学试卷的答案)

第1节 复数与复平面

要点一：复数

知识点一 复数的有关概念

1.复数

(1)定义：我们把形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i

2

＝－1.

(2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b

叫做复数z的虚部.

2.复数集(1)定义：全体复数所构成的集合叫做复数集.(2)表示：通常用大写字母C表示.

知识点二 复数的分类

实数b＝0，

1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)

纯虚数a＝0，

非纯虚数a≠0.

虚数b≠0

2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

知识点三 复数相等的充要条件

设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d，a＋bi＝0⇔a＝b＝0.

一、复数的概念

例1 下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；

③若(x

2

－4)＋(x

2

＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；

④实数集是复数集的真子集.

其中正确的是( )

A.① B.② C.③ D.④

解析 对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数.对于①，若a＝－1，则(a

＋1)i不是纯虚数，即①错误.两个虚数不能比较大小，则②错误.对于③，若x＝－2，则x

2

－4＝0，x

2

＋3x＋2＝0，此时(x

2

－4)＋(x

2

＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误.显然，④正

确.

反思感悟 复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部.特别注意，b为

复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪训练1 (多选)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是( )

A.若a＝0，则a＋bi为纯虚数

B.若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2

C.若b＝0，则a＋bi为实数

D.i的平方等于1

答案 ABD

解析 对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，

b＝－1；对于D，i的平方为－1.所以ABD均错误.

二、复数的分类

m

2

－m－6

例2 当m为何实数时，复数z＝＋(m

2

－2m－15)i.(1)是虚数；(2)是纯虚数.

m＋3

m＋3≠0，

解 (1)当

2

即m≠5且m≠－3时，z是虚数.

m

－2m－15≠0，

m

2

－m－6

＝0，

(2)当

m＋3

即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数.

m

2

－2m－15≠0，

延伸探究

1.本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？

m＋3≠0，

解 当

2

即m＝5时，z是实数.

m

－2m－15＝0，

2.已知z＝log

2

(1＋m)＋i

log

1

(3－m)(m∈R)，若z是虚数，求m的取值范围.

2

3－m>0，

解 ∵z是虚数，∴

log

1

(3－m)≠0，且1＋m>0，即

3－m≠1，

2

1＋m>0，

∴m的取值范围为(－1,2)∪(2,3).

反思感悟 解决复数分类问题的方法与步骤

∴－1

(1)化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

(2)定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复

数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.

(3)下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，

①z为实数⇔b＝0.②z为虚数⇔b≠0.③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.


更多推荐

复数,虚部,实部,叫做,虚数