2024年3月14日发(作者：中考新疆数学试卷计算题)

§5.5　复　数

考试要求　1.通过方程的解，认识复数.2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

知识梳理

1．复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a是实部，b是虚部，i为虚数单

位．

(2)复数的分类：

复数z＝a＋bi(a，b∈R)

Error!

(3)复数相等：

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

(4)共轭复数：

a＋bi与c＋di互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．

(5)复数的模：

→

向量

OZ

的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝

b∈R)．

2．复数的几何意义

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)

3．复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则：

设z

1

＝a＋bi，z

2

＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

①加法：z

1

＋z

2

＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；

②减法：z

1

－z

2

＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；

③乘法：z

1

·z

2

＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

z1a

＋

bi

a

＋

bi



c

－

di

ac

＋

bdbc

－

ad

④除法：

2

＝＝＝＋

i(c＋di≠0)．

zc

＋

di

c

＋

di



c

－

di

c

2

＋

d

2

c

2

＋

d

2

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．

复平面内的点Z(a，b)．

→

平面向量

OZ

.

a

2

＋

b

2

(a，

→-→

如图给出的平行四边形OZ

1

ZZ

2

可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即

OZ

＝

OZ

1

＋

-→-→-→-→

OZ

2

，

Z

1

Z

2

＝

OZ

2

－

OZ

1

.

常用结论

1．(1±i)

2

＝±2i；

1

＋

i1

－

i

＝i；＝－i.

1

－

i1

＋

i

2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．

3．i

4n

＝1，i

4n＋1

＝i，i

4n＋2

＝－1，i

4n＋3

＝－i(n∈N)．

4．i

4n

＋i

4n＋1

＋i

4n＋2

＋i

4n＋3

＝0(n∈N)．

5．复数z的方程在复平面上表示的图形

(1)a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；

(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．

思考辨析

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)复数z＝a－bi(a，b∈R)中，虚部为b.(　×　)

(2)复数可以比较大小．(　×　)

(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　×　)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模．

(　√　)

教材改编题

1．已知复数z满足(2＋i)z＝1－i，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限

C．第三象限

答案　D

2．复数z＝(3＋i)(1－4i)，则复数z的实部与虚部之和是________．

答案　－4

解析　z＝(3＋i)(1－4i)＝3－12i＋i＋4＝7－11i，故实部和虚部之和为7－11＝－4.

3．若z＝(m

2

＋m－6)＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为________．

答案　－3

B．第二象限

D．第四象限


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