2023年12月25日发(作者：青海高考数学试卷真题文科)

选修1-1模拟测试题

一、选择题

1. 若p、q是两个简单命题,“p或q”的否定是真命题,则必有（ ）

A.p真q真

2.“cos2α=－ B.p假q假 C.p真q假 D.p假q真

35”是“α=kπ+,k∈Z”的（ ）

21A.必要不充分条件

C.充分必要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分又不必要条件

3. 设f(x)sinxcosx，那么( )

A．f(x)cosxsinx B．f(x)cosxsinx

C．f(x)cosxsinx D．f(x)cosxsinx

4.曲线f(x)=x3+x－2在点P0处的切线平行于直线y=4x－1,则点P0的坐标为（ ）

A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)和(－1,－4) D.(2,8)和(－1,－4)

5.平面内有一长度为2的线段AB和一动点P,若满足|PA|+|PB|=6,则|PA|的取值范围是( )

A.［1,4］ B.［1,6］ C.［2,6］ D.［2,4］

6.已知2x+y=0是双曲线x2－λy2=1的一条渐近线,则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.3 C.5 D.2

7.抛物线y2=2px的准线与对称轴相交于点S,PQ为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦,

则∠PSQ的大小是（ ）

A.

 B.2 C.

 D.与p的大小有关

8.已知命题p: “|x－2|≥2”,命题“q:x∈Z”,如果“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为（ ）

A.{x|x≥3或x≤－1,xZ} B.{x|－1≤x≤3,xZ} C.{－1,0,1,2,3} D.{1,2,3}

9.函数f(x)=x3+ax－2在区间(1,+∞)内是增函数,则实数a的取值范围是（ ）

A.［3,+∞］ B.［－3,+∞］ C.(－3,+∞) D.(－∞,－3)

aa1,0),C(,0),且满足条件sinC－sinB=sinA,则动22210.若△ABC中A为动点,B、C为定点,B(－点A的轨迹方程是（ ）

16x216y2A.2－=1(y≠0)

3a2a

16y216y2B.2+ =1(x≠0)

a3a2

16x216y2C. －=1的左支(y≠0)

223aa

16x216y2D. －=1的右支(y≠0)

223aa11.设a>0,f(x)=ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为［0,到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为（ ）

1A.［0,］

a］,则P B.［0,1b］ C.［0,||］

2a2a D.［0,|b1|］

2ax2y212.已知双曲线2－2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且ab|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率e的最大值为（ ）

5A.

3 B.4 C.2

3 D.7

3二、填空题

13. 对命题p：xR,x77x0，则p是______.

14.函数f(x)=x+1x的单调减区间为__________.

15.抛物线y2=1x关于直线x－y=0对称的抛物线的焦点坐标是__________.

4x2y2916.椭圆+=1上有3个不同的点A(x1,y1)、B(4,)、C(x3,y3),它们与点F(4,0)的距离成等2594差数列,则x1+x3=__________.

三、解答题

17.已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在x=1处的切线方程为y=－12x,且f(1)=－12.

(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在［－3,1］上的最值.

18.设P:关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}.Q:函数y=lg(ax2－x+a)的定义域为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求a的取值范围.

x219.已知x∈R,求证:cosx≥1－.

2

20. 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为P元，则销售量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q8300170PP2．问该商品零售价定为多少时毛利润L最大，并求出最大毛利润（毛利润销售收入进货支出）．

21.已知a∈R,求函数f(x)=x2eax的单调区间.

22.已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点A(0,

圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称.

(1)求双曲线C的方程；

(2)若Q是双曲线C上的任一点,F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点,从F1引∠F1QF2的平分线的垂线,垂足为N,试求点N的轨迹方程.

参考答案：1. B “p或q”的否定是“2.A 由“α=kπ+p且q”,∴p、q是真命题,p、q都是假命题.

2)为3355,k∈Z”“cos2α=cos=－”,又“cos2α=－”“α=k22

π±355,k∈Z”, ∴“cos2α=－”是“α=kπ+,k∈Z”的必要不充分条件.

23. 4.C f′(x0)=3x02+1=4,∴x0=±1.

5.D ∵|PA|+|PB|=6>2,∴P点的轨迹为一椭圆，∴3－1≤|PA|≤3+1.

6.C x2－λy2=1的渐近线方程为y=±11x,

1b2∴=2.∴λ=.∴e=12=14=5.

4a7.B 由|SF|=|PF|=|QF|,知△PSQ为直角三角形.

8.D “p且q”与“非q”同时为假命题则p假q真.

9.B f′(x)=3x2+a,令3x2+a>0,∴a>－3x2〔x∈(1,+∞)〕.∴a≥－3.

110.D 由正弦定理知c－b=a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支(c>b).

211.B ∵f′(x)=2ax+b,∴k=2ax0+b∈［0,1］，

∴d=|x0+b|2ax0b|k1|==.∴0≤d≤.

2a2a2a2a10a|F1F2||PF1||PF2|32c512.A e==≤==.

2a|PF1||PF2||PF1||PF2|2a313.

xR,x77x0；14. ［31,1］；15. (0, )；16. 8.

41613.这是一个全称命题，其否定是存在性命题.

14.定义域为{x|x≤1},f′(x)=1+15. y2=11321x1=<0,1x≤, 得x≥.

4221x21x111x的焦点F(,0),F关于x－y=0的对称点为(0, ).

41616449416.∵|AF|=a－ex1=5－x1,|BF|=5－×4=,|CF|=5－x3,

5555944由题知2|BF|=|AF|+|CF|,∴2×=5－x1+5－x3.∴x1+x3=8.

55517.解:(1)∵f′(x)=12x2+2ax+b,而y=f(x)在x=1处的切线方程为y=－12x,

122ab12k12f(1)∴a=－3,b=－18，故f(x)=4x3－3x2－18x+5.

4ab512f(1)123(2)∵f′(x)=12x2－6x－18=6(x+1)(2x－3)，令f′(x)=0,解得临界点为x1=－1,x2=.

2那么f(x)的增减性及极值如下:

x

f′(x)的符号

f(x)的增减性

(－∞,－1)

+

递增

－1

0

极大值16

(－1,3)

23

23(,+∞)

2－

递减

0

极小值－+

61

4递增

∵临界点x1=－1属于［－3,1］,且f(－1)=16，又f(－3)=－76,f(1)=－12,

∴函数f(x)在［－3,1］上的最大值为16,最小值为－76.

18.解:使P正确的a的取值范围是0

a01当a=0时,ax－x+a=－x不能对一切实数恒大于0,故Q正确a>.

22α02若P正确而Q不正确,则0

故所求的a的取值范围是(0,

1；若Q正确而P不正确,则a≥1.

21］∪［1,+∞).

2x219.证明:令f(x)=cosx－1+,则f′(x)=x－sinx，

2

当x>0时,由单位圆中的正弦线知必有x>sinx,∴f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上是增函数.

又∵f(0)=0,且f(x)连续,∴f(x)在区间［0,+∞］内的最小值 f(0)=0,

x2x2(x)2即f(x)≥0,得cosx－1+≥0,即cosx≥1－.∵f(－x)=cos(－x)－1+=f(x),

222

x2∴f(x)为偶函数,即当x∈(－∞,0)时,f(x)≥0仍成立，∴对任意的x∈R,都有cosx≥1－.

220. 解：由题意知L(P)PQ20QQ(P20)

(8300170PP2)(P20)P3150P211700P166000，

L(P)3P2300P11700．

令L(P)0，得P30或P130（舍）．

此时L(30)23000．因为在P30附近的左侧L(P)0，右侧L(P)0，L(30)是极大值．

根据实际意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，有最大毛利润为23000元．

21.解:函数f(x)的导数f′(x)=2xeax+ax2eax=(2x+ax2)eax.

①当a=0时,若x<0,则f′(x)<0,若x>0,则f′(x)>0.

所以当a=0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,+∞)内为增函数.

22②当a>0时,由2x+ax2>0,解得x<－或x>0，由2x+ax2<0,解得－

aa22所以当a>0时,函数f(x)在区间(－∞,－)内为增函数,在区间(－,0)内为减函数,在区间(0,+∞)aa内为增函数.

22,由2x+ax2<0,解得x<0或x>－.

aa22所以当a<0时,函数f(x)在区间(－∞,0)内为减函数,在区间(0,－)内为增函数,在区间 (－,+aa③当a<0时,由2x+ax2>0,解得0

22．解:(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,即kx－y=0，

∵该直线与圆x2+(y－2)2=1相切,∴21k2=1,即k=±1.

y2x2∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x，故设双曲线C的方程为2－2=1.

aa又双曲线C的一个焦点为(2,0),∴2a2=2,a2=1.∴双曲线C的方程为x2－y2=1.

(2)若Q在双曲线的右支上,则延长QF2到T,使|QT|=|QF1|.

若Q在双曲线的左支上,则在QF2上取一点T,使|QT|=|QF1|.

根据双曲线的定义|TF2|=2,所以点T在以F2(2,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T的轨迹方程是(x－2)2+y2=4(y≠0). ①

由于点N是线段F1T的中点,设N(x,y)、T(xT,yT),

x2xT,x2x2,2则即T代入①并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0).

yT2y.yyT,2


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