2024年4月9日发(作者：河北新课标数学试卷答案)
第12讲 趣味运动
知能概述：
行程问题是最为有趣而又多变的方程应用题的一种，其三要素是距离、速度、时间。
行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题；按运动路线可分为直线形问题、环形问题等，而相
遇、追及是最基本的模型。
熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元，借助直线图辅助分
析，巧用比例等是解行程问题的技巧。
问题解决：
例1．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路
公交车。假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间x发一辆车，那么，发车
间隔的时间x是 分钟。
（《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）
解题思路：本题包含了行程问题中的相遇与追及两种情况。设汽车的速度为a米/分，小王速度为b米/分，
则当一辆汽车追上小王时，另一辆汽车在小王后面ax米处，它用6分钟追上小王；又当一辆汽车与小王相
遇时，另一辆汽车在小王前面ax米处，它经过3分钟与小王相遇，由此布列方程。
例2．如图，甲、乙两人沿着边长为90米的正方形，按A→B→C→D→A……方向，
A
D
甲
甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲
时在正方形的（ ）
A．AB边上 B．DA边上 C．BC边上 D．CD边上
（安徽省竞赛题）
C
B
乙
解题思路：本例是一个特殊的环形的追及问题，注意甲实际在乙的前面3×90=270
（米）处。
例3．父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑，已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步，儿子跑7步的距离与
父亲跑4步的距离相等，现在儿子站在100米跑道的中点处，父亲站在100米跑道的起点处同时开始跑。
问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由。
（重庆市竞赛题）
解题思路：把问题转化为追及问题，即比较父亲追上儿子时，儿子跑的路程与50米的大小，为了理顺步长、
路程的关系，需增设未知数，这是解题的关键。
例4．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完
第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的
2
，甲跑第二圈的速度比
3
第一圆提高了
11
，乙跑第二圈时速度提高了，已知甲、乙三人第二次相遇点距第一次相遇点190米。问：
35
这条椭圆形跑道长多少米?
（“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）
解题思路：设跑道长s米，甲跑第一圈的速度是每分钟v米，把两次相遇时甲距出发点的距离分别用s的代
数式表示。
例5．甲、乙、丙三人一起进行百米赛跑（假定三人均为匀速直线运动）如果当甲到达终点时，乙距终点还
有5米，丙距终点还有10米，那么，当乙到达终点时，丙距终点还有多少米?
（北京市“迎春杯”竞赛题）
解题思路：为建立方程，需增设甲、乙分别跑完全程所需时间及乙的速度。
例6．甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，在距离B地6千米处相遇，相遇后两人又再继续按原方向、
原速度前进，当他们分别到达B地、A地后，立刻返回，又在距A地4千米处相遇，求A，B两地相距多少
千米?
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解法1：第一次相遇时，甲、乙两人所走的路程之和，正是A，B两地相距
甲
的路程，即当甲、乙合走完A，B间的全部路程时，乙走了6千米。
A
B
第二次相遇时，两人合走的路程恰为两地间距离的3倍（如图，图中
乙
实线表示甲所走路线，虚线表乙所走路线），因此，这时乙走的路程应为
②
①
6×3=18（千米）。
考虑到乙从B地走到A后又返回了4千米，所以A，B两地间的距离为18−4=14（千米）。
解法2：甲、乙二人同时动身，相向而行，到相遇时二人所走时间相等，又因为二人都做匀速运动，应有：
二人速度之比等于他们所走路程之比，且相同时间走过的路程亦成正比例。
到第一次相遇，甲走了（全程−6）千米，乙走了6千米；
到第二次相遇，甲走了（2×全程−4）千米，乙走了（全程+4）千米；
设全程为S，易得到下列方程：
S−62S−4
，解之得S
1
=14，S
2
=0（舍去）。
=
6S+4
所以A，B两地相距14千米。
解法3：设全程为S千米，甲、乙二人速度分别为v
1
，v
2
，
S−66
v
=
v
①
S−66
12
则
，①÷②，得，
=
2S−4S+4
2S−4S+4
=
②
v
2
v
1
解得S=14或S=0（舍去）。
例7．8个人乘速度相同的两辆小汽车同时赶往火车站，每辆车乘4人（不包括司机），其中一辆小汽车在距
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