2023年12月19日发(作者：沂南费县的数学试卷)

专题训练(二) 利用勾股定理解决最短路径问题

1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是（ ）

A．6 cm B．12 cm

C．13 cm D．16 cm

2．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A．521 B．25

C．105＋5 D．35

3．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈达到点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为多少？

4．(青岛中考改编)如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底3 cm

的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的平方是多少？

5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处．

(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；

(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．

参考答案

1.C 2.B

3.如图是长方体的展开图，连接PQ，则PQ即为蚂蚁爬行的最短路程．易知PP′＝12 cm，QP′＝5 cm.由勾股定理，得PQ2＝PP′2＋P′Q2＝122＋52＝169.所以PQ＝13 cm.所以蚂蚁爬行的最短路径长为13 cm.

4．如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C即为最短距离．A′C2＝A′D2＋CD2＝92＋132＝250(cm2)．

5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个长方形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.


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