2024年4月11日发(作者：天津高考数学试卷免费下载)
中学数学研究 ｌ７
２０１８年美国数学竞赛（ＡＭＣ１０Ａ）的试题与详细解答
广东省华南师范大学数学科学学院（５１０６３１） 李湖南
１．Ｗｈａｔｉｓｔｈｅｖａｌｕｅ ｏ （（２＋１）一 ＋１）一 ＋１）一 ＋１７
（Ａ）Ｊａｎｕａｒｙ ２ （Ｂ）Ｊａｎｕａｒｙ １２ （Ｃ）Ｊａｎｕａｒｙ ２２ （Ｄ）
Ｆｅｂｒｕａｒｙ １ ｌ （Ｅ）Ｆｅｂｒｕａｒｙ １２
（Ａ） （Ｂ） １１（ｃ）；（Ｄ）订１８（Ｅ） １５
译文：（（（２＋１）－１＋１） ＋１） ＋１的值是多少？
解直接计算，可得（Ｂ）正确．
２．Ｌｉｌｉａｎｅ ｈａｓ ５０％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ｊａｃｑｕｅｌｉｎｅ，ａｎｄ Ａｌｉｃｅ ｈａｓ
译文：一个单位血液的有效期是１０１＝１０．９．８…１秒．
雅辛在１月１日中午捐献了一个单位的血液，问他的血液将
于哪天失效？
２５％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ｊａｃｑｕｅｌｉｎｅ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｔｈｅ ａｍｏｕｎｔｓ ｏｆ ｓｏｄａ ｔｈａｔ Ｌｉｌｉａｎｅ ａｎｄ Ａｌｉｃｅ ｈａｖｅ？
解一个单位血液的有效期为１０×９ Ｘ ８×…×１÷ｆ２４×
６０×６０）＝４２天，可以从１月１日中午保持到２月１２日中
午，故（Ｅ）正确．
４．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｗａｙｓ ｃａｎ ａ ｓｔｕｄｅｎｔ ｓｃｈｅｄｕｌｅ ３ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ
（Ａ）Ｌｉｌｉａｎｅ ｈａｓ ２０％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ａｌｉｃｅ．
（Ｂ）Ｌｉｌｉａｎｅ ｈａｓ ２５％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ａｌｉｃｅ．
ｃｏｕｒｓｅｓ－－ａｌｇｅｂｒａ，ｇｅｏｍｅｔｙ，ａｒｎｄ ｎｕｍｂｅｒ ｍｅｏｒｙ—ｉｎ ａ ６－ｐｅｒｉｏｄ
ｆＣ）Ｌｉｌｉａｎｅ ｈａｓ ４５％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ａｌｉｃｅ．
ｄａｙ ｉｆｎｏ ｔｗｏ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｏｕｒｓｅｓ Ｃａｎ ｂｅ ｔａｋｅｎ ｉｎ ｃｏｎｓｅｃｕｔｉｖｅ ｐｅ．
（Ｄ）Ｌｉｌｉａｎｅ ｈａｓ ７５％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ａｌｉｃｅ．
ｒｉｏｄｓ？（Ｗｈａｔ ＣＯＵｒＳｅｓ ｔｈｅ ｓｔｕｄｅｎｔ ｔａｋｅｓ ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｏｔｈｅｒ ３ ｐｅｒｉｏｄｓ
ｉｓ ｏｆｎｏ ｃｏｎｃｅｒｎ ｈｅｒｅ．）
（Ｅ）Ｌｉｌｉｎｅａ ｈａｓ １ ００％ｍｏｒｅ ｓｏｄａ ｔｈａｎ Ａｌｉｃｅ．
译文：莉莲的苏打水比杰奎琳多５０％，艾莉丝的苏打水
比杰奎琳多２５％．莉莲和艾莉丝的苏打水数量是什么关系？
解设杰奎琳有１００份苏打水，则莉莲有１５０份，
艾莉丝有１２５份，莉莲比艾莉丝多２５份，是艾莉丝的
２５÷１２５×１００％＝２０％，故ｆＡ）正确．
３．Ａｕｎｉｔ ｏｆｂｌｏｏｄ ｅｘｐｉｒｅｓ ａｆｔｅｒ１０ １＝１０·９·８···ｌｓｅｃｏｎｄｓ．
Ｙａｓｉｎ ｄｏｎａｔｅｓ ａ ｕｎｉｔ ｏｆｂｌｏｏｄ ａｔ ｎｏｏｎ ｏｎ Ｊａｎｕａｒｙ １．Ｏｎ ｗｈａｔ ｄａｙ
ｄｏｅｓ ｈｉｓ ｕｎｉｔ ｏｆ ｂｏｌｄ ｅｘｐｉｒｅ？
（Ａ）３ （Ｂ）６ （Ｃ）１２（Ｄ）１８ （Ｅ）２４
译文： 如果一个学生一天上６节课，任意两节数学课
不相连，问一个学生有多少种方法安排他的３节数学课一代
数、几何和数论？（其它３节课是什么课与此无关）
解要使得任意两节数学课不相连，只能将３节数学课
安排在第１、３、５节，或第１、３、６节，或第１、４、６节，或第２、
４、６节，共４种可能，而每一种可能，都有３ １＝６种方法，因此
共有２４种方法，故（Ｅ）正确．
义 为
２所不）．此时Ｐ０＝Ｃ，又由
ＰＱ２＝ｐ砰＋Ｑ砰＝（…· ）。＋（…· ） ，
从而解得ＰＱ＝ ，再由对称性可知点Ｐ坐标为
ＰＦ１＋Ｐ ＝２ａ， Ｐ砰＋Ｐ磅＝Ｆ１砖＝４ｃ。
得ＰＦｚ．ＰＦ：＝２ｂ。，从而
ＰＦ、．Ｐ ｂ２
（丽ａ， 。）
２．当ｃ≥６即
于原点对称．
为（丽－－ａ， ）；
卯＝
—万万一 ，
≤ｅ＜１时，Ｐ，Ｑ￣Ｔ 轴对称或关
、／／ｏＰ 一 刍＝ ·
，
、
．
故点Ｐ坐标为 ａ．、 唧
一兰·一，一等）．
（如图１所示） 由ｌ可知Ｐ坐标为（ ， 篙６），
（
另一个有心二次圆锥曲线双曲线也有类似结论，也可以
点Ｑ坐标为（一丽ａ， 箬 ）；
从纯几何角度探究。不再赘述．
当尸，Ｑ关于Ｙ轴对称时，四边形ＰＱＦ￣Ｆ２为等腰梯形
ｃ／
、ｌ，点Ｑ坐标为
１８ 中学数学研究
故（Ｅ）正确．
８．Ｊｏｅ ｈａｓ ａ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｏｆ２３ ｃｏｉｎｓ，ｃｏｎｓｉｓｔｉｎｇ ｏｆ５·ｃｅｎｔ ｃｏｉｎ—
ｓ，１ ０一ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ，ａｎｄ ２５一ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ．Ｈｅ ｈａｓ ３ ｍｏｒｅ １ ０一ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ
ｔｈａｎ ５－ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ，ａｎｄ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｖａｌｕｅ ｏｆｈｉｓ ｃｏｌｌｅｃｔｉｏｎ ｉｓ ３２０ ｃｅｎｔｓ．
Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｍｏｒｅ ２５一ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ ｄｏｅｓ Ｊｏｅ ｈａｖｅ ｔｈａｎ ５－ｃｅｎｔ ｃｏｉｎｓ？
５．Ａｌｉｃｅ，Ｂｏｂ ａｎｄ Ｃｈａｒｌｉｅ ｗｅｒｅ ｏｎ ａ ｈｉｋｅ ａｎｄ ｗｅｒｅ ｗｏｎ—
ｄｅｒｉｎｇ ｈｏｗ ｆａｒ ａｗａｙ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ ｗａｓ．Ｗｈｅｎ Ａｌｉｃｅ ｓａｉｄ，
“Ｗｅ ａｒｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ６ ｍｉｌｅｓ ａｗａｙ，”Ｂｏｂ ｒｅｐｌｉｅｄ，“Ｗｅ ａｒｅ ａｔ ｍｏｓｔ ５
ｍｉｌｅｓ ａｗａ ”Ｃｈａｒｌｉｅ ｔｈｅｎ ｒｅｍａｒｋｅｄ，“Ａｃｔｕａｌｌｙ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ
ｉｓ ａｔ ｍｏｓｔ ４ ｍｉｌｅｓ ａｗａｙ．”Ｉｔ ｔｕｒｎｅｄ ｏｕｔ ｔｈａｔ ｎｏｎｅ ｏｆｔｈｅ ｔｈｒｅｅ ｓｔａｔｅ—
ｍｅｎｔｓ ｗａｓ ｔｒｕｅ．Ｌｅｔ ｄ ｂｅ ｔｈｅ ｄｉｓｔｎｃｅ ａｉｎ ｍｉｌｅｓ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅａｒｅｓｔ ｔｏｗｎ．
Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｉｎｔｅｒｖａｌｓ ｉｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ａｌｌ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅｓ
（Ａ）０ （Ｂ）１ （Ｃ）２ （Ｄ）３（Ｅ）４
译文：乔收集了２３枚硬币，其中包括５分、１０分和２５
ｏｆｄ？
（Ａ）（０，４） （Ｂ）（４，５） （Ｃ）（４，６） （Ｄ）（５，６） （Ｅ）（５，∞）
译文：艾莉丝、鲍勃和查理在徒步旅行，他们想知道他
们离最近的镇有多远．艾莉丝说：“我们至少有６英里远．”鲍
勃说：“我们至多有５英里远．”查理说：“实际上最近的镇至
多还有４英里远．”事实证明三个人说的都不对．设ｄ是他们
到最近的镇的距离，下列哪个区间是ｄ可能的取值？
解艾莉丝说的不对说明ｄ不到６英里，鲍勃和查理说
的也不对说明ｄ超过５英里，即ｄ应该在５英里到６英里之
间，故（Ｄ）正确．
６．Ｓａｎｇｈｏ ｕｐｌｏａｄｅｄ ａ ｖｉｄｅｏ ｔｏ ａ ｗｅｂｓｉｔｅ ｗｈｅｒｅ ｖｉｅｗｅｒｓ ｃａｎ
ｖｏｔｅ ｔｈａｔ ｔｈｅｙ ｌｉｋｅ ｏｒ ｄｉｓｌｉｋｅ ａ ｖｉｄｅｏ．Ｅａｃｈ ｖｉｄｅｏ ｂｅｇｉｎｓ ｗｉｔｈ ａ
ｓｃｏｒｅ ｏｆ ０，ａｎｄ ｔｈｅ ｓｃｏｒｅ ｉｎｃｒｅａｓｅｓ ｂｙ １ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｌｉｋｅ ｖｏｔｅ ａｎｄ
ｄｅｃｒｅａｓｅｓ ｂｙ １ ｆｏｒ ｅａｃｈ ｄｉｓｌｉｋｅ ｖｏｔｅ．Ａｔ ｏｎｅ ｐｏｉｎｔ Ｓａｎｇｈｏ ｓａｗ
ｔｈａｔ ｈｉｓ ｖｉｄｅｏ ｈａｄ ａ ｓｃｏｒｅ ｏｆ ９０．ａｎｄ ｔｈａｔ ６５％ｏｆ ｔｈｅ ｖｏｔｅｓ ｃａｓｔ
ｏｎ ｈｉｓ ｖｉｄｅｏ ｗｅｒｅ ｌｉｋｅ ｖｏｔｅｓ．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｖｏｔｅｓ ｈａｄ ｂｅｅｎ ｃａｓｔ ｏｎ
Ｓａｎｇｈｏ’ｓ ｖｉｄｅｏ ａｔ ｔｈａｔ ｐｏｉｎｔ？
（Ａ）２００ （Ｂ）３００ （Ｃ）４００ （Ｄ）５００（Ｅ）６００
译文：桑谷向一个网站上传了一个视频，观众可以给它
投票表示喜欢还是不喜欢．每个视频的初始评分为０，每被投
一
个喜欢的票评分会增加１，不喜欢的票评分会减少１．某个
时刻桑谷看见他的视频评分为９０，且６５％的观众给他投了
喜欢的票．问在那个时刻桑谷的视频被投了多少票？
解被投喜欢的票占６５％，不喜欢的占３５％，喜欢的票多
了３０％，得了９０分，因此共有９０÷３０％＝３００人投票，故（Ｂ）
正确．
７．Ｆｏｒ ｈｏｗ ｍａｎｙ（ｎｏｔ ｎｅｃｅｓｓａｒｉｌｙ ｐｏｓｉｔｉｖｅ）ｉｎｔｅｇｅｒ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ
ｎ ｉｓ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ４０００
（；）ｎ ａｎ ｉｎｔｅｇｅｒ？
（Ａ）３ （Ｂ）４ （Ｃ）６ （Ｄ）８ （Ｅ）９
译文： 有多少个整数佗（不必是正的）可以使得
４０００．（ １的值是一个整数？
解当ｎ≥。时，４。。。．（；）”＝２ ×５。× ２ｎ是整数，
则ｍ＿０＿ 当ｎ＜ ４０００．（；） ＿２５ ×
是整数，则Ｔｔ＝一１，一２，一３，一４，一５．因此佗共有９个取值，
分硬币．他的１Ｏ分硬币比５分硬币多３枚，且所有的硬币总
值是３２０分．问他的２５分硬币比５分硬币多几枚？
解设乔有ｘ枚５分硬币，Ｙ枚２５分硬币，则有ｘ＋３
枚 分硬币，１０ 于是有｛ｌ ＋（
５ｘ＋ｌＯ（
＋３。
ｘ＋３）＋２５ｙ：３２０，
）＋Ｙ 。 ２一 ３，
解
， 、
得｛Ｉ ＝６
ｙ＝８，
，即２
５分硬币比５分硬币多２枚，故（ｃ）正确．
９．Ａｌｌ ｏｆ ｔｈｅ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｉｎ
ｔｈｅ ｄｉａｇｒａｍ ｂｅｌｏｗ ａｒｅ ｓｉｍｉｌａｒ
ｔｏ ｉｓｏｓｃｅｌｅｓ ｔｒｉａｎｇｌｅ ＡＢＣ，ｉｎ
ｗｈｉｃｈ ＡＢ＝ＡＣ．Ｅａｃｈ ｏｆｔｈｅ ７ ｓ一 ０
ｍａｌｌｅｓｔ ｔｒｉａｎｇｌｅｓ ｈａｓ ａｒｅａ １，ａｎｄ 图１
ＡＡＢＣ ｈａｓ ａｒｅａ ４０．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｔｒａｐｅｚｏｉｄ ＤＢＣＥ？
（Ａ）１６ （Ｂ）１８ （Ｃ）２０ （Ｄ）２２ （Ｅ）２４
译文：如图，所有的三角形都相似于等腰三角形ＡＢＣ，
其中ＡＢ＝ＡＣ，７个小三角形的面积均为１，三角形ＡＢＣ的面
积为４０，则梯形ＤＢＣＥ的面积是多少？
解分别延长小三角形的
腰线，可得右图．易得所有小
三角形均全等，面积均为１，
因此三角形ＡＤＥ的面积为
１＋３＋５＋７＝１６，梯形ＤＢＣＥ的面
图２
积＝４０．１６＝２４，故（Ｅ）正确．
１ ０． Ｓｕｐｐｏｓｅ ｔｈａｔ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｘ ｓａｔｉｓｆｉｅｓ√４９一ｘ 一
二＝＿ ＝３
．
Ｗｈａｔｉｓｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆｖ／＇￣－ｘ２。＋ 二二Ｉ ？
（Ａ）８ （Ｂ）、／３３＋３ （Ｃ）９ （Ｄ）２￣１０＋４ （Ｅ）１２
译文：设实数 满足式子 二 一 二 ：３．
则、 ＋ ＝ 的值是多少？
解由于
（ 而＋ ）（ 砑一 丽）
＝
（４９一ｘ ）～（２５一ｚ ）：２４，
代入式子％／ｒ￣＿Ｘ２。～ ＝ ＝３，即得 二 ＋
￣／ ＝ ＝８，故（Ａ）正确．
中学数学研究 １９
ａｂｉｌｉｔｙ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒｓ ｏｎ ｔｈｅ ｔＯｐ ｆａｃｅｓ ｉｓ １０ ｃａｎ ｂｅ
ｗｒｉｔｔｅｎ ａｓ ，ｗｈｅｒｅ ｎ ｉｓ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｎ？
（Ａ）４２ ０３）４９ （Ｃ）５６ （Ｄ）６３ （Ｅ）８４
译文：扔出７个均匀的、标准的６面骰子，顶面数字之
和等于１０的概率为 ，其中礼是一个正整数，求礼是多少？
解设７个骰子顶面的数字分别为ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，ａ６，
ａ７，其中ａ ：１，２，３，４，５，６，１≤ｉ≤７，显然所有的可能有６
种，而符合条件ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６＋ａ７＝１０的分
为三种情况：（１）一个４，六个１：有Ｇ｛＝７种；（２）一个３，一个
２，五个１：有 ：４２种；（３）三个２，四个１：有 ＝３５
种．因此礼＝７＋４２＋３５＝８４种，故（Ｅ）正确．
１２．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｏｒｄｅｒｅｄ ｐａｉｒｓ ｏｆ ｒｅａｌ ｎｕｍｂｅｒｓ（ ，Ｙ）ｓａｔｉｓｆｙ
ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｙｓｔｅｍ ｏｆｅｑｕａｔｉｏｎｓ
｛ ＋３ｙ圳＝３：
（Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）３ （Ｄ）４ （Ｅ）８
译文： 有多少对有序实数对（ ，Ｙ）满足以下方程组
Ｊ ＋３ｙ ３ 。
Ｉ 『一ｌＹｌ Ｊ＝１
解先去绝对值符号， ｌ一 Ｊ可得四种结果：
Ｘ—Ｙ，Ｘ＋Ｙ，一 —Ｙ，一 ＋Ｙ，代入后分别与Ｘ＋３ｙ＝３联立
方程组，解得三组解： ， ， ３
，
经检验，它们均为原方程组的解，故（Ｃ）正确．
１３．Ａ ｐａｐｅｒ ｔｒｉａｎｇｌｅ ｗｉｔｈ ｓｉｄｅｓ ｏｆｌｅｎｇｔｈｓ ３，４ ａｎｄ ５ ｉｎｃｈｅｓ，
ａｓ ｓｈｏｗｎ，ｉｓ ｆｏｌｄｅｄ ＳＯ ｔｈａｔ ｐｏｉｎｔ Ａ ｆａｌｌｓ ｏｎ ｐｏｉｎｔ Ｂ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ
ｌｅｎｇｔｈ ｉｎ ｉｎｃｈｅｓ ｏｆｔｈｅ ｃｒｅａｓｅ７
（Ａ）ｌ＋ （Ｂ）／Ｘ３（ｃ） ７（Ｄ）萼（Ｅ）２
译文：一张三角形纸的三边长分别为３，４，５英寸，如图，
现将纸折叠使得点Ａ落到点Ｂ上，问折痕的长度是多少英
解如图，设折痕为ＤＥ，
则ＡＤ＝ＤＢ＝２．５，令
ＥＣ＝ｚ，则ＡＥ＝ＢＥ＝
４一 ，由勾股定理可得：ｆ４一
，
· 一
）。＝抖３。，解得ｚ＝ ．
４－ｚ 最善Ｃ
图３
又ＤＥ ＝ＡＥ。一ＡＤ０＝
（４一 ） ５ ＝ ＤＥ＝萼， 正确
１ ４． Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ ｏｒ
ｅｑｕａｌ
３１０ ￣ｄ－５２１００
ｔ。
７
（Ａ）８０ （Ｂ）８ｌ （Ｃ）９６ （Ｄ）９７ （Ｅ）６２５
ａｎｄ＇／Ｚ ａｒｅ ｒｅｌａｔｉｖｅｌｙ ｐｒｉｍｅ ｐｏｒｅ－
ｔｉｖｅｉｎｔｅｇｅｒｓ．Ｗｈａｔｉｓｍ＋礼？
（Ａ）２１ （Ｂ）２９ （Ｃ）５８ （Ｄ）６９ （Ｅ）９３
译文：两个半径为５的圆互相外切，且均内切于一个半
径为１３的圆，切点分别为 和Ｂ，如图所示．ＡＢ的长度为
ｍ
一
，
其中ｍ和似互素，求ｍ＋ｎ是多少？
解如图４，设三个圆的圆心分别Ｃ、Ｄ、Ｅ，连结
ＡＢ，蛆踞 贝ＩＪ△Ｅ Ｄ一△Ｅ 因此 ： ，
Ｂ＝ ＥＡ￣ ＣＤ
： ＝
譬，Ｎ Ｊ￣ｍ＋几＿６ｇ，故
（Ｄ）正确．
１６．Ｒｉｇｈｔ ｒｔｉｎａｇｌｅ ＡＢＣ ｈａｓ ｌｅｇ ｌｅｎｇｔｈｓ ＡＢ＝２０ ａｎｄ ＢＣ＝
２１．Ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ＡＢ ａｎｄ ＢＣ．ｈｏｗ ｍａｎｙ ｌｉｎｅ ｓｅｇｍｅｎｔｓ ｗｉｔｈ ｉｎｔｅｇｅｒ
ｌｅｎｇｔｈ ｃａｉ１ ｂｅ ｄｒａｗｎ ｆｒｏｍ ｖｅｒｔｅｘ Ｂ ｔｏ ａ ｐｏｉｎｔ ｏｎ ｈｙｐｏｔｅｎｕｓｅ Ａ ？
（Ａ）５ （Ｂ）８ （Ｃ）１２ （Ｄ）１３ （Ｅ）１５
译文： 直角三角形ＡＢＣ中，直角边ＡＢ＝２０，
ＢＣ＝２１，从顶点Ｂ出发到斜边ＡＣ上一点作一条线段，
使得该线段长度是整数，包括ＡＢ和ＢＣ，这样的线段有多
少条？
解如 ，过点Ｂ
做ＢＤ＿ＬＡＣ于Ｄ，则
ＡＣ＝ｘ／—ＡＢｅ＋—ＢＣ２＝
２９，由射影定理，ＡＤ＝
ＡＢ２
Ａ
４０Ｏ
Ｃ
：
２９…
，
从而…… ＾：
图５
／ｘ—ＡＢ２－—ＡＤ２： ４２０
＝
１４ １４
，
因此，在Ｂ 与ＢＤ之间符合条件的线段长度可以为
１５，１６，１７，１８，１９，２０，在ＢＤ与ＢＣ之间符合条件的线段长度
可以为１５，１６，１７，１８，１９，２０，２１，共１３条，故（Ｄ）正确．
１７，Ｌｅｔ Ｓ ｂｅ ａ ｓｅｔ ｏｆ６ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ｔａｋｅｎ ｆｒｏｍ｛１，２，…，ｌ２｝
２０ 中学数学研究
２０．Ａ ｓｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅ ｃｏｎｓｉｓｔｓ ｏｆ ａ ７ ｘ ７ ｇｒｉｄ ｏｆ ｓｑｕａｒｅｓ．
ｗｉｔｈ ｓｏｍｅ ｏｆ ｉｔｓ ｓｑｕａｒｅｓ ｃｏｌｏｒｅｄ ｂｌａｃｋ ｎｄ ａｔｈｅ ｒｅｓｔ ｃｏｌｏｒｅｄ ｗｈｉｔｅ．
ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｔｈａｔ ｉｆａ ａｎｄ ｂ ａｒｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｏｆＳ ｗｉｔｈ ａ＜ｂ，
ｔｈｅｎ ｂ ｉｓ ｎｏｔ ａ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｏｆ ａ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｌｅａｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ
ａｎ ｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆＳ？
Ｔｈｅｒｅ ｍｕｓｔ ｂｅ ａｔ ｌｅａｓｔ ｏｎｅ ｓｑｕａｒｅ ｏｆ ｅａｃｈ ｃｏｌｏｒ ｉｎ ｔｈｉｓ ｇｒｉｄ ｏｆ
４９ ｓｑｕａｒｅｓ．Ａ ｓｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅ ｉｓ ｃａｌｌｅｄ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｉｆ ｉｔｓ ｌｏｏｋ ｄｏｅｓ
ｎｏｔ ｃｈａｎｇｅ ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｅｎｔｉｒｅ ｓｑｕａｒｅ ｉｓ ｒｏｔａｔｅｄ ｂｙ ａ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｏｆ ９０。
ｃｏｕｎｔｅｒｃｌｏｃｋｗｉｓｅ ａｒｏｕｎｄ ｉｔｓ ｃｅｎｔｅｒ，ｎｏｒ ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｒｅｆｌｅｃｔｅｄ ａｃｒｏｓｓ
（Ａ）２ （Ｂ）３ （Ｃ）４ （Ｄ）５ （Ｅ）７
译文：设ｓ是一个从｛１，２，…，１２｝中取出的６个元素
的集合，具有以下性质：若ａ和ｂ均是ｓ中的元素，且ａ＜ｂ，
则ｂ不是ａ的倍数．问Ｓ中元素的最小可能取值是多少？
解这个性质说明：集合Ｓ中的元素不存在倍数关系．
显然，Ｓ中最小元素不能是１；若Ｓ中最小元素为２，则
ａ ｌｉｎｅ ｊｏｉｎｉｎｇ ｏｐｐｏｓｉｔｅ ｃｏｍｅｒｓ ｏｒ ａ ｌｉｎｅ ｊｏｉｎｉｎｇ ｍｉｄｐｏｉｎｔｓ ｏｆ ｏｐ—
ｐｏｓｉｔｅ ｓｉｄｅｓ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｔｏｔａｌ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｓｙｍｍｅｔｒｉｃ ｓ—
ｃａｎｎｉｎｇ ｃｏｄｅｓ？
Ｓ＝｛２，３，５，７，９，１１｝，元素３和９不符合性质，矛盾！若ｓ
中最小元素为３，则Ｓ ｛３，４，５，７，８，１０，１１｝，元素４和８、
５和１０均不符，矛盾！因此，Ｓ中可能的最小元素是４，此时
Ｓ＝｛４，５，６，７，９，１１｝或Ｓ＝｛４，６，７，９，１０，１１｝均满足要求，
故（ｃ）正确．
１ ８．Ｈｏｗ ｍａｎｙ ｎｏｎｎｅｇａｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ｃａｌｌ ｂｅ ｗｒｉｔｔｅｎ ｉｎ ｔｈｅ
ｆｏｒｍ ａ７．３ ＋ａ６．３。＋ａ５．３ ＋ａ４．３ ＋ａ３．３３＋ａ２．３。＋
ａｉ－３ ＋ａｏ·３。
，
ｗｈｅｒｅ ａｉ∈｛－１，０，１｝ｆｏｒ０≤ｉ≤７７
（Ａ）５１２ （Ｂ）７２９（Ｃ）１０９４ （Ｄ）３２８１ （Ｅ）５９０４８
译文： 有多少个非负整数可以写成如下形式：
ａ７．３７＋０６．３６＋ｎ５．３５＋。４．３４＋０３．３３＋ｎ２．３２＋０１．３ ＋０ｏ．３０
，
其中ａｉ∈卜１，０，１），０≤ｉ≤７７
解由于３”＞３ 一 ＋３ 一。＋…＋３ ＋３。，ｎ是正
整数，所以当以上３的多项式中首项系数ａ ，０≤ｎ≤７
取１的时候，其它的系数ａｔ，ｉ＝０，１，…，ｎ一１可以任
意取，显然首项系数不能取一１，因此所有可能的组合有
３ ＋３０＋３ ＋３ ＋３。＋３。＋３ ＋３０＋１＝３２８１种，故（Ｄ）
正确．
１ ９． Ａ ｎｕｍｂｅｒ ｍ ｉｓ ｒａｎｄｏｍｌｙ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｓｅｔ
｛１１，１３，１５，１７，１９｝，ａｎｄ ａ ｎｕｍｂｅｒ ｎ ｉｓ ｒａｎｄｏｍｌｙ ｓｅｌｅｃｔｅｄ ｒｆｏｍ
ｔｈｅ ｓｅｔ｛１９９９，２０００，２００１，···，２ｏ１８｝．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ
ｔｈａｔｍ ｈａｓ ａ ｕｎｉｔｓ ｄｉｇｉｔ ｏｆ１７
（Ａ）５１（Ｂ） １（ｃ） （Ｄ） （Ｅ）；
译文： 从集合｛１１，１３，１５，１７，１９｝中随机选取一个数
ｍ，集合｛１９９９，２０００，２００１，…，２０１８｝中随机选取一个数ｎ，
使得ｍ 的个位数为１的概率是多少？
解ｍ有５种选择，礼有２０种选择，共有１００种选择，其
中符合条件的有：（１）ｍ＝１１时，所有的佗均可，共２０种；（２）
ｍ：１３时，几三０（ｍｏｄ ４）即可，共５种；（３）ｍ＝１５时，所有
的佗均不满足；（４）ｍ＝１７时，ｎ三０（ｏｒｏｄ ４）即可，共５种；（５）
ｍ＝１９时，礼三Ｏ（ｍｏｄ ２）即可，共１０种．因此所求概率为
尘±旦± ：一
１００
２
５ ，。
，
故（ ＼，Ｅ）正确 ——～
（Ａ）５１０ （Ｂ）１０２２（Ｃ）８１９０ （Ｄ）８１９２ （Ｅ）６５５３４
译文：一个扫描码包含一个７×７正方形方格，其中一
些方格是黑色的，而其余的是白色．在这４９个方格中，每种
颜色必须至少有一格．如果一个扫描码围绕着它的中心做
９０。的整数倍的逆时针旋转还是一样的，或者沿着对角线或
对边中点连线的翻转也不变，则称这个扫描码是对称的．问
对称的扫描码共有多少个？
解由于对称的扫描码绕着
ｂ Ｃ
中心９０。旋转是一样的．从而只
需要考虑４×４的正方形方格即
｛ ｇ
可：又由于该４×４的正方形方格
ｈ Ｚ
关于对角线对称，所以只需考虑
●
ｊ
图中标有ａ，ｂ，ｃ，ｄ ｆ，ｇ，ｈ，ｉ，Ｊ
的１０个方格即可，每个方格的
图６
颜色有黑色和白色２种选择，故有２加＝１０２４种，再减去全
黑和全白的２种，共有１０２２种，故（Ｂ）正确．
２ １．Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｄｅｓｃｒｉｂｅｓ ｔｈｅ ｓｅｔ ｏｆ ｖａｌｕｅｓ ｏｆ ０
ｆｏｒ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｕｒｖｅｓ ｘ。＋Ｙ。＝ｎ。ａｎｄ Ｙ： 。一ａ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅａｌ
ｘｙ—ｐｌｎａｅ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔ ａｔ ｅｘａｃｔｌｙ ３ ｐｏｉｎｔｓ？
（Ａ）。： １（Ｂ） １＜ｎ＜１（ｃ）ｎ＞ １（Ｄ）ｎ
互
＝
（Ｅ）ａ＞妄
译文：ａ取何值时，曲线 ＋ｙ ＝ａ。与ｙ＝ｘ。～ａ在
实平面上恰好有３个交点？
解代人可得 。＋（ｘ 一ｎ） ＝ａ ，化简得ｚ。（ｘ。一２ａ＋
１）＝０，要使得该方程有３个不同的解，则ｘ。～２ａ＋１＝０必
须有２个解，即有。。＝２ａ一１＞０，于是ｎ＞ ，故（Ｅ）正确．
２２．Ｌｅｔ ａ，ｂ，ｃ ａｎｄ ｄ ｂｅ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒｓ ｓｕｃｈ ｔｈａｔ
ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝２４，ｇｃｄ（ｂ，ｃ）＝３６，ｇｃｄ（ｃ，ｄ）＝５４，ａｎｄ
７０＜ｇｃｄ（ｄ，ａ）＜１００．Ｗｈｉｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｍｕｓｔ ｂｅ ａ ｄｉ—
ｖｉｓｏｒ ｏｆａ？
（Ａ）５ （Ｂ）７ （Ｃ）１１ （Ｄ）１３（Ｅ）１７
译文： 设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为正整数，且ｇｃｄ（ａ，ｂ）：２４，
中学数学研究
ｇｃｄ（ｂ，Ｃ）＝３６，ｇｃｄ（ｃ，ｄ）＝５４，７０＜ｇｃｄ（ｄ，ａ）＜１００，其
中ｇｃｄ表示最大公因数．以下哪个一定是ａ的因数？
１２０．Ｌｅｔ Ｄ ｂｅ ｔｈｅ ｍｉｄｐｏｉｎｔ ｏｆ
．
２１
．ａｎｄ ｌｅｔ Ｅ ｂｅ ｔｈｅ ｍｉｄｐｏｉｎｔ ｏｆ
Ｔｈｅ ａＩｌｇ１ｅ ｂｉｓｅｃｔｏｒ ｏｆ ＺＢＡＣ ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｓ赢ａｎｄ赢ａｔ Ｆ
（Ａ）６０ （Ｂ）６５ （Ｃ）７０ （Ｄ）７５（Ｅ）８０
解由于２４［ｂ，３６［ｂ，从而７２１ｂ，又ｇｃｄ（ａ，ｂ）＝２４可
得ａ＝２４ａ１，且（ａｌ，３）＝ｌ，另一方面，３６１ｃ，５４１ｃ，从而
１０８［ｃ，又ｇｃｄ（Ｃ，ｄ）＝５４可得ｄ＝５４ｄ１，且（ｄｌ，２）＝１．因
此６ｌｇｃｄ（ｄ，ｎ），令ｇｃｄ（ｄ，ａ）＝６ｋ，则７０＜６ｋ＜１００，有
１１＜ ＜１７，于是恕＝１２，１３，１４，１５，１６．另外，０１不含因数
ａｎｄ Ｇ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ａｒｅａ ｏｆ ｑｕａｄｒｉｌａｔｅｒａｌ ＦＤＢＧ？
译文：三角形ＡＢＣ的面积为１２０，ＡＢ＝５０，ＡＣ＝１０，
Ｄ是ＡＢ的中点，Ｅ是ＡＣ的中点，ＺＢＡＣ的平分线分别交
ＤＥ和ＢＣ于Ｆ和Ｇ．求四边形ＦＤＢＧ的面积是多少？
３，ｄ 不含因数２，从而 也不含因数２和３，符合条件的只有
解如图示，ＤＥ是ＡＡＢＣ的中位线，根据角平分线
ｋ＝１３，即１３１ａ，故（Ｄ）正确．
定理，器＝ ＝；，从而 Ｓ￣ ＡＢＧ＝器＝；，可得
２３．Ｆａｒｍｅｒ Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ ｈａｓ ａ ｆｉｅｌｄ ｉｎ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ａ ｒｉｇｈｔ
ｔｒｉａｎｇｌｅ．Ｔｈｅ ｒｉｇｈｔ ｔｒｉａｎｇｌｅ’Ｓ ｌｅｇｓ ｈａｖｅ ｌｅｎｇｔｈｓ ｏｆ ３ ａｎｄ ４ ｕｎｉｔｓ．
Ｉｎ ｔｈｅ ｃｏｍｅｒ ｗｈｅｒｅ ｔｈｏｓｅ ｓｉｄｅｓ ｍｅｅｔ ａｔ ａ ｒｉｇｈｔ ａｎｇｌｅ，ｈｅ ｌｅａｖｅｓ
ａ ｓｍａｌｌ ｕｎｐｌａｎｔｅｄ ｓｑｕａｒｅ Ｓ ＳＯ ｔｈａｔ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ａｉｒ ｉｔ ｌｏｏｋｓ ｌｉｋｅ ｔｈｅ
ｒｉｇｈｔ ａｎｇｌｅ ｓｙｍｂｏ１．Ｔｈｅ ｒｅｓｔ ｏｆ ｔｈｅ ｆｉｅｌｄ ｉｓ ｐｌａｎｔｅｄ．Ｔｈｅ ｓｈｏｒｔｅｓｔ
ｄｉｓｔｎａｃｅ ｒｆｏｍ Ｓ ｔｏ ｔｈｅ ｈｙｐｏｔｅｎｕｓｅ ｉｓ ２ ｕｎｉｔｓ．Ｗｈａｔ ｆｒａｃｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ
ｉｆｅｌｄ ｉｓ ｐｌａｎｔｅｄ？
图７ 图８
（Ａ） ２５ （Ｂ） ２６ （ｃ） ７３ （Ｄ）１ ４５ （Ｅ） ７４
Ｔ
译文：农夫毕达哥拉斯有一块直角三角形的地，直角边
长分别为３个单位和４个单位．在构成直角的那个角落里，
他留了一小块未种植的正方形地Ｓ，从空中看上去就像一个
直角符号．其余的地均进行了种植．Ｓ到斜边的最短距离是２
个单位．问种植的地占多少比例？
解如图，分别延长ＥＤ、ＦＤ交 于点 、 ，作
ＨＣ＝ ４
，
由于ＡＫＤＬ—ＡＡＢＣ，可以设ＫＤ＝３ ，
ＤＬ：４ ，于是ＤＣ：
－
１
－
ｉｆ２ｋ：２，解得ｋ： ．因为
Ｂｃ： ＋４ ＋百４ ：４
，
得 ：；，则ｓ占 比例为
：
刍，因此所求的占地比例为 一 ： ，
故（Ｄ）正确．
２４．ＴｒｉａｎｇｌｅＡＢＣｗｉｔｈＡＢ＝５０ａｎｄＡＣ＝１０ ｈａｓａｒｅａ
Ｓ￣ＡＢＧ＝ ｓ△ＡＢａ＝１００，而Ｓ￣ＡＤＦ：｛ｓ△ＡＢＧ：２５，
于是ＳＦＤＢａ＝１００—２５＝７５，故（Ｄ）正确．
一量
Ｇ Ｃ
图９
２５．Ｆｏｒ ａ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｉｎｔｅｇｅｒ ｎ ａｎｄ ｎｏｎｚｅｒｏ ｄｉｇｉｔｓ ａ，ｂ ｎａｄ Ｃ，ｌｅｔ
Ａｎ ｂｅ ｔｈｅ ｎ－ｄｉｇｉｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｎ；ｌｅｔ
Ｂｎ ｂｅ ｔｈｅ ｎ－ｄｉｇｉｔ ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆ ｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ ｅｑｕａｌ ｔｏ ｂ；ａｎｄ
ｌｅｔ ｂｅ ｔｈｅ ２ｎ—ｄｉｇｉｔ（ｎｏｔ ｎ—ｄｉｇｉｔ）ｉｎｔｅｇｅｒ ｅａｃｈ ｏｆｗｈｏｓｅ ｄｉｇｉｔｓ ｉｓ
ｅｑｕａｌ ｔｏ Ｃ．Ｗｈａｔ ｉｓ ｔｈｅ ｇｒｅａｔｅｓｔ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｖａｌｕｅ ｏｆａ＋ｂ＋Ｃ ｆｏｒ
ｗｈｉｃｈｔｈｅｒｅａｒｅａｔｌｅａｓｔｔｗｏｖａｌｕｅｓｏｆｎ ｓｕｃｈｔｈａｔ 一Ｂｎ＝Ａ ？
（Ａ）１２ （Ｂ）１４ （Ｃ）１６ （Ｄ）１８ （Ｅ）２０
译文：已知几是正整数，ａ，ｂ，ｃ是非零数字，设Ａ礼是数
字均为ａ的ｎ位数，Ｂ 是数字均为ｂ的ｎ位数，Ｃ『ｎ是数字
均为ｃ的２ 位数（不是礼位）．求ａ＋ｂ＋ｃ可能取到的最大
值，使得至少存在两个ｎ值能让等式Ｇ『礼一Ｂ ＝Ａ 成立？
解Ａ竹＝ ：：：乡Ｂｎ＝ 、
－●。、 。＿－，、－。、 ＿＿－，
＝￡三：：：
、Ｉ＿＿＿＿＿‘、 ‘＿＿－＿＿一，
： ：：：多因
为 —Ｂ ＝Ａ ，可得
ｃ．１１．．．１１１…１＝ｂ．１１．．．１＋ｎ ．ｆ１１．．．１１ ，
———— ———— 、＿—～
——、 —
即ｃ．（１０ｎ＋１）：６＋ａ２． ，进一步可得（。２—９ｃ）１０ｎ：
以ａ２－－９ｃ－－０，
ａ＝３
解
．
毗
．
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