2021年美国数学竞赛(AMC10A)的试题与解答

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2021年美国数学竞赛(AMC10A)的试题与解答

华南师范大学数学科学学院(510631)李湖南

1.算式(2

2

−2)−(3

2

−3)+(4

2

−4)的值是多少?

(A)1(B)2(C)5(D)8(E)12

解直接计算,原式=2−6+12=8,故(D)正确.

高中的学生人数是Lara高中的3倍,这两所高

中总共有2600名学生.问Portia高中有多少名学生?

(A)600(B)650(C)1950(D)2000(E)2050

解依题意可知,Portia高中占总人数的

3

3

4

,即有

2600×

4

=1950名学生,故(C)正确.

3.两个自然数之和是17402.这两个数中的一个可以被

10整除,如果去掉该数的个位数字则得到另外一个数.问这

两个数的差是多少?

(A)10272(B)11700(C)13362(D)14238(E)15426

解设第一个数为x,则第二个数为

x

10

,已知x+

x

=

17402,解得x=15820,于是两数之差为x−

x9

10

10

=

10

x=

14238,故(D)正确.

4.一辆小车冲下山坡,它第一秒移动了5英寸,并且速

度不断加快.在每个连续的1秒时间间隔内,它都比前1秒

多移动7英寸.小车用了30秒到达山脚.问它一共行进了多

少英寸?

(A)215(B)360(C)2992(D)3195(E)3242

解小车每秒移动的距离是个等差数列,首项为

5,公差为7,第30秒移动了208英寸,从而距离和为

(5+208)×30÷2=3195英寸,故(D)正确.

5.一个共有k>12名学生的班级进行测验的平均分为

8分,其中12名学生的测验平均分是14分.问其余学生的测

验平均分如何用k来表示?

(A)

14−8k−168

k−12

(B)

8

k−12

(C)

148

12

−

k

(D)

14(k−12)14(k−12)

k

2

(E)

8k

解所有学生的分数总和为8k,其中12名学生的分数

和为168,剩下k−12名学生的分数和为8k−168,故平均

分为

8k−168

k−12

,(B)正确.

l和Jean从山路的起点开始向消防塔徒步旅

行.Jean背着一个沉重的背包,走得较慢.Chantal开始以每

小时4英里的速度行走,走到路程一半,山路变得非常陡峭,

Chantal的速度减慢到每小时2英里.到达塔后,她立即掉头,

以每小时3英里的速度沿着陡峭的山路向下走,她在路程的

一半处遇见了Jean.从出发到他们相遇,Jean的平均速度是

每小时多少英里?

(A)

12

13

(B)1(C)

1324

12

(D)

13

(E)2

解设半程为x英里,Jean所用的时间与Chantal一

样,均为

xxx13x

小时,

x

4

+

2

+

3

=于是Jean的平均速度为

(13x)/12

=

12

12

13

英里/小时,故(A)正确.

7.汤姆有13条蛇,其中4条是紫色的,5条是快乐的.他

观察发现:他的所有快乐的蛇都能做加法,他的紫色的蛇不

会做减法,而且他所有不会做减法的蛇也不会做加法.关于

汤姆的蛇,可以得出以下哪个结论?

(A)紫色的蛇可以做加法(B)紫色的蛇是快乐的

(C)能做加法的蛇是紫色的(D)快乐的蛇不是紫色的

(E)快乐的蛇不能做减法

解紫色的蛇不会做减法,从而也不会做加法,因此也不

是快乐的.故快乐的蛇都不是紫色的,(D)正确.

8.一名学生在用66乘以如下的循环小数时,

···=1.a˙b

˙

,其中a和b是数字.他没有注意到循环

小数的标识,而只是做了66乘以.后来他发现他的答案

比正确答案小0.5.问两位整数ab是多少?

(A)15(B)30(C)45(D)60(E)75

解由题意可得,0.5=66×(1.a˙b

˙

−)=66×0.00a˙b

˙

=

0.66×

ab

99

,解得ab=75,故(E)正确.

9.对于实数x和y,(xy−1)

2

+(x+y)

2

的最小可能值

是多少?

(A)0(B)

11

4

(C)

2

(D)1(E)2

解(xy−1)

2

+(x+y)

2

=x

2

y

2

+x

2

+y

2

+1