2024年4月18日发(作者：数学试卷的后三题)
绝密★启用前
2019
年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1
．设集合
A
＝
{x|x
2
－
5x
＋
6>0}
，
B
＝
{ x|x
－
1<0}
，则
A∩B
＝
A．(－∞，1） B．(－2，1） C．(－3，－1） D．(3，＋∞）
2
．设
z
＝－
3
＋
2i
，则在复平面内
z
对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3
．已知
AB
＝
(2,3
），
AC
＝
(3
，
t
），
BC
＝
1
，则
ABBC
＝
A．－3 B．－2 C．2 D．3
4
．
2019
年
1
月
3
日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得
又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联
系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星
“
鹊桥
”
，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日
L
2
点的轨道
运行．
L
2
点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为
M
１
，月球质量为
M
２
，地月距
离为
R
，
L
2
点到月球的距离为
r
，根据牛顿运动定律和万有引力定律，
r
满足方程：
uuur
uuur
uuuruuuruuur
M
1
M
2
M
1
(Rr)
．
(Rr)
2
r
2
R
3
3
3
3
4
5
r
3
3
设
，由于
的值很小，因此在近似计算中，则
r
的近似值为
2
(1
)
R
A．
M
2
R
M
1
B．
M
2
R
2M
1
C．
3
3M
2
R
M
1
D．
3
M
2
R
3M
1
5
．演讲比赛共有
9
位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从
9
个原始评分中
去掉
1
个最高分、
1
个最低分，得到
7
个有效评分．
7
个有效评分与
9
个原始评分相比，不变的
数字特征是
A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6
．若
a>b
，则
A．ln(a−b）>0 B．3
a
<3
b
C．a
3
−b
3
>0 D．│a│>│b│
7
．设
α
，
β
为两个平面，则
α
∥
β
的充要条件是
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面
8
．若抛物线
y
2
＝
2px(p>0
）的焦点是椭圆
A．2
9
．下列函数中，以
x
2
3p
y
2
p
1
的一个焦点，则
p
＝
D．8 B．3
为周期且在区间
(
C．4
，
）单调递增的是
242
A．f (x）＝│cos 2x│ B．f (x）＝│sin 2x│ C．f (x）＝cos│x│
理科数学试题 第 1 页（共 7 页）
D．f (x）＝ sin│x│
10
．已知
α
∈
(0
，
1
A．
5
2
），
2sin 2α
＝
cos 2α
＋
1
，则
sin α
＝
B．
5
5
C．
3
3
D．
2
5
5
x
2
y
2
11
．设
F
为双曲线
C
：
2
2
1(a0,b0)
的右焦点，
O
为坐标原点，以
OF
为直径的圆与圆
ab
x
2
y
2
a
2
交于
P
，
Q
两点．若
PQOF
，则
C
的离心率为
A．
2
B．
3
C．2 D．
5
12
．设函数
f(x)
的定义域为
R
，满足
f(x1)2 f(x)
，且当
x(0,1]
时，
f(x)x(x1)
．若对任
8
9
975
8
A．
(,]
B．
(,]
C．
(,]
D．
(,]
432
3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13
．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有
10
个车次的正点率为
0
．
97
，有
20
个车次的正点率为
0
．
98
，有
10
个车次的正点率为
0
．
99
，则经停该站高铁列车
所有车次的平均正点率的估计值为
__________
．
意
x(,m]
，都有
f(x)
，则
m
的取值范围是
14
．已知
f(x)
是奇函数，且当
x0
时，
f(x)e
ax
．若
f(ln2)8
，则
a
__________
．
15
．
△ABC
的内角
A,B,C
的对边分别为
a,b,c
．若
b6,a2c,B
π
，则
△ABC
的面积为
3
__________
．
16
．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱
体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是
“
半正多面体
”
（图
1
）．半正多面体是由两种或
两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图
2
是一个棱数为
48
的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为
1
．则该半正
多面体共有
________
个面，其棱长为
_________
．（本题第一空
2
分，第二空
3
分．）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个
试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17
．（
12
分）
如图，长方体
ABCD–A
1
B
1
C
1
D
1
的底面
ABCD
是正方形，点
E
在棱
AA
1
上，
BE
⊥
EC
1
．
（
1
）证明：
BE
⊥平面
EB
1
C
1
；
（
2
）若
AE
＝
A
1
E
，求二面角
B–EC–C
1
的正弦值．
理科数学试题 第 2 页（共 7 页）
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