上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2024年1月8日发(作者：扬州小升初数学试卷及答案)

上海市上海中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若集合A={xÎN|-1

3．函数y=x+1-x-2的值域是

．4．关于x的不等式4x<1的解是

．3x-15．已知幂函数 f(x)=æ1ö10，若f(a-1)

2f(h)f(x)=x+sinx，则7．若lim=

．h®0h8．已知存在x1Î[1,3]2xÎ-1,1x[]21，对任意，不等式+4³2x2+3+a成立，则实数ax1的取值范围是

．aìï-ax+4,x

．试卷第11页，共33页

11．已知正实数a，b满足113a+4b-1，则的最小值为

．+=2522a2b2a+b12．给定一张2´(n+1)的数表（如下表），0123××××××n-n1a0a1a2a3××××××an-1an统计a0，a1，×××，an中各数出现次数．若对任意k=0，1，×××，n，均满足数k恰好出现ak次，则称之为n+1阶自指表，举例来说，下表是一张4阶自指表．01122130对于如下的一张7阶自指表．记N=106a+105a+104a+103a+102a+10a+a，N0123456的所有可能值为

．012345a56a6a0a1a2a3a4二、单选题2πöπ1öæ13．已知sinæ，则q+=cosq+ç÷=（

）ç÷3ø6ø2èè1A．-32B．32C．2D．-1214．设函数f(x)=a+bxx+c(a,b,cÎZ)，则点f2，f-2不可能在函数（

）的(()())图像上．A．y=x+2023C．y=x2023B．y=x+2024D．y=x202415．从商业化书店到公益性城市书房，再到“会呼吸的文化森林”--图书馆，建设高水平､现代化､开放式的图书馆一直以来是大众的共同心声，现有一块不规则的地，其平试卷第21页，共33页

面图形如图1所示，AC=8（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数f(x)=kx图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，若在此地块上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2），则图书馆占地面积（万平方米）的最大值为（

）

A．2B．1169C．196327D．3522716．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，h(x)依次是严格增函数、严格减函数与周期函数，记K(x)=max{f(x),g(x),h(x)}．则对于下列命题：①若K(x)是严格增函数，则K(x)=f(x)；②若K(x)是严格减函数，则K(x)=g(x)；③若K(x)是周期函数，则K(x)=h(x)．正确的有（

）A．无一正确B．①②C．③D．①②③三、解答题17．已知a:x<3m-1或x>-m，b:x<2或x³4．(1)若a是b的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若a是b的必要条件，求实数m的取值范围．18．已知a>0，关于x的不等式2£ax2+bx+c£3．试卷第31页，共33页

(1)若{a,b,c}={1,0,-1}，且c2>c，求解该不等式；(2)若该不等式解集为[2,3]，求a的取值范围．19．设a,b,cÎR，且a+b+c=1.1öæ1öæ1ö(1)若a,b,cÎ(0,+¥)，求æç-1÷ç-1÷ç-1÷的最小值；èaøèbøècø(2)求(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2的最小值.20．已知aÎR，函数f(x)=ex-ax，g(x)=ax-lnx．(1)当a=e时，若斜率为0的直线l是g(x)的一条切线，求切点的坐标；(2)若f(x)与g(x)有相同的最小值，求实数a．21．给定自然数i．称非空集合A为减i集，若A满足：（i）AÍN*，A¹{1}；（ii）对任意x，yÎN*，只要x+yÎA，就有xy-iÎA．问：(1)直接判断P={1,2}是否为减0集，是否为减1集；(2)是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；(3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由．试卷第41页，共33页

参考答案：1．14【分析】先用列举法把集合A求出来，然后根据集合B的定义求出集合B，不妨设集合B中有n个元素，则集合B的非空真子集的个数为2n-2个.【详解】由题意知A={xÎN|-1

1´0=0,1´1=1,1´2=2，2´0=0,2´1=2,2´2=4，根据集合的元素之间满足互异性去重得B={xx=ab,a,bÎA}={0,1,2,4}，所以集合B中含有个元素，4所以集合B的非空真子集的个数为故答案为：14.2．(2,+¥)24-2=14.【分析】根据解析式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为f(x)=1log2(x-1)，所以log2(x-1)>0，x-1>0，解得x>2，1log2(x-1)即函数f(x)=的定义域为(2,+¥).答案第11页，共22页

故答案为：(2,+¥)3．[-3,3]【分析】讨论去绝对值，得到分段函数，求出各段上的值域，求并集得解.ì-3,x<-1【详解】由y=x+1-x-2=ïí2x-1,-1£x£2，ï3,x>2î当-1£x£2时，y=2x-1单调递增，所以-3£y£3，故函数y=x+1-x-2的值域为[-3,3].故答案为：[-3,3].1ö4．æ-1,ç÷3øè【分析】解分式不等式可得答案.4x-3x+1x+14x<0，即<0，<1可得3x-13x-13x-1【详解】由1解得-1

【详解】由幂函数f(x)=æ1ö10=1=x-10，ç÷10xèxø可得函数f(x)的定义域为(0,+¥)，且是递减函数，11因为f(a-1)8-2a，可得ï，解得，ía-1>0ï8-2a>0î即实数a的取值范围为(3,4).故答案为：(3,4)6．f(x)=log(3-x)2【详解】设xÎ[-1,0]，则-xÎ[0,1]，结合题意可得：f(x)=f(-x)=log2(-x+1)，设xÎ[1,2]，则x-2Î[-1,0]，故f(x)=log2é-(x-2)+1ù=log2(3-x).ëû综上可得，函数f(x)在[1,2]上的解析式是f(x)=log(3-x).27．1f(h)f¢(x)=2x+cosx=f¢(0)，求得，进一步求解即可.h【分析】根据导函数的定义得limh®0【详解】因为f(x)=x2+sinx，所以f(0)=0，f¢(x)=2x+cosx，f(h)f(h+0)-f(0)=lim=f¢(0)=1.h®0hh则limh®0故答案为：1.8．(-¥，0]【分析】根据题意求出不等式左边的最大值恒大于右边的最大值即可.答案第31页，共22页

2x441【详解】设f(x1)=+=x1+，x1x124x-41因为f¢x=1-=(1)x2x2,x1Î[1,3]11()当xÎ[1,2]时，f¢(x1)<0，f(x)为减函数；11当xÎ[2,3]时，f¢(x)>0，f(x)为增函数；111故f(x)=f(1)=5；1maxx1Î[1,3]2xÎ-1,1x[]21，对任意，不等式+4³2x2+3+a成立，x1因为存在等价于5³2x2++3a恒成立，等价于2-a³(2x2)max=2故a£0，故答案为：(-¥，0]9．[0,2]【分析】根据题意分a<0，a=0，02四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，-a>0，故函数f(x)在(-¥,a)上单调递增，因此f(x)不存在最小值；a=0②当ìï4,x<02时，f(x)=í，x-2,x³0()ïî当x³0时，f(x)min=f(2)=0<4，故函数f(x)存在最小值；③当0

当xf(a)=-a2+4；当x³a时，f(x)=(x-2)2³f(2)=0.若-a2+4<0，则f(x)不存在最小值，故-a2+4³0，解得-2£a£2.此时02时，-a<0，故函数f(x)在(-¥,a)上单调递减，当xf(a)=-a2+4；当x³a时，f(x)=(x-2)2³f(a)=(a-2)2.因为(a-2)2-(-a2+4)=2a2-4a=2a(a-2)>0，所以(a-2)2>-a2+4，因此f(x)不存在最小值.综上，a的取值范围是0£a£2.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.10．36【分析】将原式转化变形，利用基本不等式求解得结果.【详解】Qa>0，b>0，a+b=1，(a+1)a2(b+4)+b2a2+2a+1b2+8b+16116=+=10+a+b++abab=11+116b16aæ116ö+=11+ç+÷(a+b)=28++ababèabø14b16ab16a即a=，b=时等号成立，´=28+8=36，当且仅当=55abab³28+2所以原式的最小值为36.故答案为：36.答案第51页，共22页

11．12/2.45【分析】由题设条件有3a+4b-1a2+b2=3a+4b-1341，令x=1>0,y=1>0，=+-ab5ab5b5a5ab则有3a+4b-1a2+b2x2+y2=25，应用基本不等式求xy范围且1、=4x+3y-xy5t=4x+3y-xy³43xy-xy恒成立，进而求t的范围，即可得结果.22a,b>0a2+b2=25a2b211a+b【详解】由+=，则，且，=252222abab3a+4b-1a2+b2=3a+4b-1341=+-5ab5b5a5ab22113a+4b-11x+y=25，令x=>0,y=>0，则=4x+3y-xy，且ab5a2+b2x2+y2=25³2xy，即xy£25，仅当x=y=5时等号成立，22对于t=4x+3y-xy³43xy-xy恒成立，当且仅当4x=3y，即x=3,y=4时，等号成立，2综上，若k=xyÎæ0,5ù，则y=43k-k=-k-23çú2ûè()2+12，而23-0>t=12511，即a=,b=时，等号成立，-23，即342t=12111t12，即a=,b=时，等号成立，t=³，仅当34555综上，3a+4b-1a2+b2=目标式最小值为12.5答案第61页，共22页

故答案为：12.512．3211000【分析】由题意，写出7阶自指表，求出ak，k=0,1,2,3,4,5,6，代入即可求出N.【详解】由题意可得，7阶自指表为:11此时a0=3，a1=2，a2=1，a3=1，a4=a5=a6=0，所以N=106a+105a+104a+103a+102a+10a+a=3211000.0123456故答案为：3211000.13．D【分析】以q+π为整体，利用诱导公式运算求解.62ππππ1éæùööæö.【详解】由题意可得：cosæçq+÷=cosêçq+÷+ú=-sinçq+÷=-3ø6ø2û6ø2èèëè故选：D.14．A【分析】先表示出点的坐标，然后逐项代入函数中判断点在函数上的可能性即可.【详解】因为(f(2)，f(-2))即为(a+4b+c,a-4b+c)，对于A：若点在函数上，则有a-4b+c=a+4b+c+2023，所以b=-2023，8显然bÏZ，所以点不可能在y=x+2023上；对于B：若点在函数上，则有a-4b+c=a+4b+c+2024，所以b=-2024=-253，8答案第71页，共22页

所以当a,cÎZ，b=-253时，点在y=x+2024上；对于C：若点在函数上，则有(a+4b+c)2023=a-4b+c，若取a=1,b=0,c=0时，(a+4b+c)2023=a-4b+c显然成立，所以点可能在y=x2023上；对于D：若点在函数上，则有(a+4b+c)2024=a-4b+c，若取a=1,b=0,c=0时，(a+4b+c)2024=a-4b+c显然成立，所以点可能在y=x2024上；故选：A.15．D【分析】先根据B(4,4)，C(8,0)求出f(x)=2x，直线BC的方程y=-x+8，然后设F(8-t,t)后得到D，E点坐标进而得t3t2S=--+8t，再利用导数求最值.42【详解】因AC=8，故C(8,0)，由题意B(4,4)BC直线的方程为：y=-x+8y-4x-4，即，=0-48-4将B(4,4)代入f(x)=kx得f(4)=k4=4，得k=2，所以f(x)=2x，因F在直线BC上，可设F(8-t,t)(0

直角梯形CDEFt2t2的面积S=1(EF+CD)DE=1æç8-t-+8-22è44ö，÷tø32tt即S=--+8t(00得-S00S0，又，所以在区间æç,4÷上单调递减，43è3ø故当t=S3528时，取得最大值为，273故选：D16．D【分析】根据函数K(x)是严格增函数，严格减函数，周期函数，并结合函数的单调性质和周期性质进行逐项判断.【详解】对于①项：K(x)是严格增函数，得：\"x1,x2ÎR，且x1K(x)，12答案第91页，共22页

又因为：K(x)=max{f(x),g(x),h(x)}，f(x),h(x)分别为严格增函数，周期函数不符题意，g(x)为严格减函数符合题意，所以：K(x)=g(x)，故②项正确；对于③项：K(x)是周期函数，设其周期为：T，则得：\"x,x+kTÎR，kÎZ，都有：K(x)=K(x+kT)，又因为：K(x)=max{f(x),g(x),h(x)}，f(x),g(x)分别为严格增函数，严格减函数不符题意，h(x)为周期函数符合题意，所以：K(x)=h(x)，故③项正确.故选项D正确.故选：D.17．(1)(-¥,-4]é1ö(2)ê,+¥÷ë4ø【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解.【详解】（1）设A={x|x<3m-1或x>-m}，B={x|x<2或x³4}，因为a是b的充分条件，所以AÍB，当3m-1>-m时，即m>A=R1，此时，不满足题意；4答案第101页，共22页

当3m-1£-m时，即m£1m£-43m-1£2，有ì，解得；í4î-m³4综上：m的取值范围为(-¥,-4].（2）因为a是b的必要条件，所以BÍA，当3m-1>-m时，即m>A=RBÍA1，此时，成立；4当3m-1£-m时，即m£13m-1³2，有ì，无解.í4î-m<41ö.综上：m的取值范围为é,+¥÷êë4øùéù18．(1)éë-2,-3ûUë3,2û(2)(0,4]【分析】（1）因为{a,b,c}={1,0,-1}，由a>0得a=1，由c2>c得c=-1,则b=0，化简不等式，解出即可；（2）根据题意知，2£ax2+bx+c的解集为R，ax2+bx+c£3的解集为[2,3]，结合韦达定理及D£0，解出即可.【详解】（1）因为{a,b,c}={1,0,-1}，且a>0，故a=1，又c2>c，故c=-1,则b=0，所以不等式可化为2£x2-1£3，答案第111页，共22页

即3£x2£4，解得-2£x£-3或3£x£2ùéù故不等式的解集为éë-2,-3ûUë3,2û（2）若不等式的解集为[2,3]，则2£ax2+bx+c的解集为R,即ax2+bx+c-2³0在R上恒成立，故Δ4=b(2-2)ac0-£，且ax2+bx+c£3的解集为[2,3]，即2,3是方程ax2+bx+c-3=0的两根，bì2+3=-ïìb=-5aïaÞí则í，c-3c=6a+3îï2´3=ïaî由Δ4=b(2-2)ac0-£，得(-5a)2-4a(6a+1)£0，解得0£a£4，又a>0，故a的取值范围为(0,4].19．(1)8(2)3【分析】（1）根据a+b+c=1，将所求式子分子“1”替换，结合基本不等式即可得最小值；（2）法1：利用三个数和的完全平方公式变形，再结合重要不等式即可求最小值；法2：利用柯西不等式求解最小值即可.【详解】（1）因为a+b+c=1，答案第121页，共22页

1öæ1öæ1öæa+b+cöæa+b+cöæa+b+cö所以æ-1÷ç-1÷-1÷çç-1÷ç-1÷ç-1÷=çbcabcaøèøèøèøèøèøè=b+ca+ca+b2bc2ac2ab´´³´´=8，abcabc当且仅当a=1b=c=时，等号成立.31öæ1öæ1ö所以æç-1÷ç-1÷ç-1÷的最小值为8.èaøèbøècø（2）法1：[(a-1)+(b+1)+(c+2)]2=(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2+2[(a-1)(b+1)+(b+1)(c+2)222，+(c+2)(a-1)]£3éë(a-1)+(b+1)+(c+2)ùû故由已知得(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2³9=3，3当且仅当a=2,b=0,c=-1时，等号成立.所以(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2的最小值为3.法2：é(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2ù(12+12+12)³[(a-1)+(b+1)+(c+2)]2=(a+b+c+2)2=9ëû，故(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2³a=2,b=0,c=-19=3，当且仅当时，等号成立.3所以(a-1)2+(b+1)2+(c+2)2的最小值为3.120．(1)(,2)e(2)1答案第131页，共22页

【分析】（1）由g¢(x)=0得切点的横坐标，再代入计算出纵坐标即得切点坐标；（2）首先由导数求得f(x)与g(x)的最小值，由两最小值相等求a，为此方程变形后引入新函数h(x)，利用导数确定单调性得出零点．【详解】（1）由题意g(x)=ex-lnxg¢(x)=011，g¢(x)=e-，由得x=，此时ex11g()=1-ln=2，ee1所以切点为(,2)；e（2）f¢(x)=ex-a，a£0时，f¢(x)>0，f(x)在R上是增函数，无最小值，所以a>0，f¢(x)=0Þx=lna，xlna时，f¢(x)>0，f(x)递增，所以f(x)有唯一的极小值也是最小值f(lna)=a-alna，g¢(x)=a-11，g¢(x)=0Þx=，ax00g(x)11g¢(x)<0g(x)，，递减，x>时，，递增，aa所以g(x)11有唯一的极小值也是最小值为g()=1-ln=1+lna，aa由题意a-alna=1+lna，a-alna-lna-1=0，答案第141页，共22页

设h(x)=x-xlnx-lnx-1，则h¢(x)=1-(1+lnx)-11=-lnx-，xx设h¢(x)=H(x)111-x，则H¢(x)=-+2=2，xxx00，H(x)递增，x>1时，H¢(x)<0，H(x)递减，所以H(x)max=H(1)=-1<0，所以H(x)<0，即h¢(x)<0，h(x)是减函数，又h(1)=0，因此x=1是h(x)的唯一零点，所以由a-alna-lna-1=0得a=1．21．(1)P是“减0集”，不是“减1集”(2)不存在，理由见解析(3)存在“减1集”；{1,3},{1,3,5}【分析】（1）根据所给定义判断即可；（2）利用反证法证明即可；（3）根据所给定义，假设1ÎA,即可得到3ÎA,即可得到1个“减1集”，依次类推即可.【详解】（1）因为PÍN*，P¹{1}，1+1=2ÎP,1´1-0=1ÎP，所以P={1,2}是“减0集”，同理因为PÍN*，P¹{1}，1+1=2ÎP,1´1-1=0ÏP，所以P={1,2}不是“减1集”.（2）假设存在“减2集”A，则x+yÎA，那么xy-2ÎA，答案第151页，共22页

分以下两种情形来讨论：情形一：当x+y=xy-2>1时，有(x-1)(y-1)=3，注意到x,yÎN*，所以x,y中有一个是2，有一个是4，所以集合A中除1以外的最小元素为6，但是3+3=6ÎA，3´3-2=7ÏA，而这与集合A是“减2集”矛盾.情形二：当x+y¹xy-2时，则x+y=xy-1或x+y=xy-m,(m>2)，（因为若m为负整数，则(x-1)(y-1)-m>0，即此时x+y¹xy-m+1），若x+y=xy-1>1，有(x-1)(y-1)=2，注意到x,yÎN*，所以x,y中有一个是2，有一个是3，所以集合A中除1以外的最小元素为5，但是2+3=5ÎA，2´3-2=4ÏA，而这与集合A是“减2集”矛盾；若x+y=xy-m,(m>2)，有(x-1)(y-1)=m+1，不妨设x=a,y=b(a>2,b>2)，(a-1)(b-1)=m+1，且此时集合A中除1以外的最小元素为x+y=a+bÎA，但是1

综上所述：不存在集合A是“减2集”.（3）假设存在A是“减1集”，A¹{1}.假设1ÎA，则A中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2ÎA，则1+1ÎA，但1´1-1ÏA，因此2ÏA，假设3ÎA，则1+2ÎA，且1´2-1ÎA，因此3ÎA，因此可以有A={1,3},假设4ÎA，则1+3ÎA，但1´3-1ÏA，因此4ÏA，假设5ÎA，则2+3ÎA，且3´2-1ÎA，因此5ÎA，可得奇数可能属于减一集，偶数不属于减一集，又当7ÎA时，3+4ÎA，但3´4=12，所以A中元素应该小于7，因此减1集可以有{13,},{1,3,5}.【点睛】关键点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况x+y=xy-2>1和x+y¹xy-2证出矛盾，第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.答案第171页，共22页