2024年1月8日发(作者：数学试卷的规范化写法)

上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，则l的方程是______．2.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动，则AB中点到原点距离的最小值为________．3.点M与两个定点O0,0，P2,0的距离的比为3:1，则点M的轨迹方程为______．4.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的），有______种排法．6.点A1,2，点B2,4n，点P在坐标轴上，且APB为直角，这样的点P有______个．31x2x的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______．7.二项式8.已知点A2,0，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程xy1，则直线AB的斜率的取值22范围是______．9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．11.如图，在55的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．

12.已知A,B,C,D,E,F六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有______种．二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点A.C.3,4，且过原点，则它的方程为（B.D.）x3y4225x3y42225x32y452x32y425214.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则PBA为（A.12）C.B.16115D.1315.过点P3,0作一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy20和l2：xy30之间的线段恰被点P平分，）B.8xy240D.x8y240则直线l的方程为（A.8xy240C.8xy24016.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A，而乙带了两名手下B和C，规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（A）5.18B.736C.144，求p的值．3D.19三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量XBn,p，若Ex2，Dx18.求抛物线C：y=x2上的点到直线l：y1x1的最小距离．219.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数

（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在50,60，90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的a，b的值；（2）其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%70分以下称为“不优秀”，的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生优秀不优秀总计PK2k0女生总计0.102.7060.053.8410.01066350.0057.8790.00110.828k0附：K2.nadbc2abcdacbd，nabcd．20.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：合58596676869707173计件数442121100直径mm经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品，从设备M的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；

（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P(X)0.6827；②P(2X2)0.9545；③P(3X3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级并说明理由.k121.（1）已知k、n为正整数，kn，求证：kCknnCn1：（2）已知k、n为正整数，求证：CnCn1Cn2CnkCnk1；nnnnn1nCn1n1111n1n1n1nmCnCn1Cnm1（3）m、n为正整数，n2，求证：Cn1．nn1n2nmnmn1

上海中学2023学年第二学期高二年级数学期中2023.04一、填空题（本大题满分36分，本大题共有12题）1.已知直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，则l的方程是______．【答案】2x3y60【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式．【详解】因为直线l在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，则直线l的方程是xy1，即2x3y60，32故答案为：2x3y60．2.若动点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1:xy70和l2:xy50上移动，则AB中点到原点距离的最小值为________．【答案】32【分析】分别求得，原点O到直线l1和l2的距离d1,d2，结合l1//l2，即可求得AB的中点到原点的距离的最小值.【详解】由题意，直线l1:xy70和l2:xy50，可得l1//l2，又由原点O到直线l1的距离d17272，2原点O到直线l2的距离d15252，27252所以AB的中点到原点的距离的最小值为522232.22故答案为：323.点M与两个定点O0,0，P2,0的距离的比为3:1，则点M的轨迹方程为______．

【答案】(x)y9422916x2y2(x2)y22【分析】设出动点M(x,y)，利用条件得到3，再化简即可得到结果.【详解】设点M(x,y)，由题知92923，两边平方化简得2x22y29x90，即(x)y，22416(x2)y2x2y29249292故答案为：(x)y.416所以点M的轨迹方程为(x)y9.164.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是________.【答案】96【详解】试卷分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×A4=96种考点：排列、组合及简单计数问题4，有______种排法．5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排（相同颜色的球是一样的）【答案】1260【分析】利用排列知识即可求出结果.A99【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共有3421260种.A3A4A2故答案为：1260.6.点A1,2，点B2,4，点P在坐标轴上，且APB为直角，这样的点P有______个．【答案】4【分析】分情况讨论，设出轴上P点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定解得个数即可.【详解】若P在x轴上，可设P(x,0)，则AP(x1,2),BP(x2,4)，由APB为直角可得APBP(x1)(x2)80，即x2x100，124(10)0，故有两解；当P在y轴上，可设P(0,y)，则AP(1,y2),BP(2,y4)，

由APB为直角可得APBP2(y2)(y4)0，即y22y100，224(10)0，故两解.综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，故答案为：417.二项式x32的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为______．x【答案】5【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令x的指数为 0方程有解，即可求出正整数n的最小值.n【详解】由题意，1在x32中，展开式中含有非零常数项，xr展开式的通项为Tr1Cnxn3nr1n3n5r，2Crxxr∵展开式中含有非零常数项，∴当3n5r0时,解得：n∴当r3时,n最小，为 5故答案为：5.8.已知点A2,0，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程x2y21，则直线AB的斜率的取值范围是______．5r33,0【答案】3【分析】利用条件，将问题转化成求直线AB与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.【详解】由题知，动点B的纵坐标小于等于零，且点B的坐标满足方程x2y21，所以点B的轨迹方程为x2y21(y0)，当直线AB与圆相切时，设直线AB方程为yk(x2)，即kxy2k0，所以1，解得k3，因为B的纵坐标小于等于零，所以k3，33k212k3k,0，由图易知，直线AB的斜率的取值范围3

3,0故答案为：39.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有_________种(用数字作答).【答案】1080【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.221C6C4C245种方法，进而将其分配到【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有22A2A2四个不同场馆，有A424种情况，由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.故答案为：1080.221C6C4C2【点睛】易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解22中分母的意义．A2A2410.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分，若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在设某选手的胜率为60%，则他第6局的获得的分数的数学期望是______．【答案】0.38144【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..【详解】前6局中,连赢六局的概率为60%，前6局中,连赢五局且第6局也赢的概率为60%160%，前6局中,连赢四局且第6局也赢的概率为60%160%，前6局中,连赢三局且第6局也赢的概率为60%160%60%160%，所以第6局的获得2分的概率为：44255660%6260%160%60%160%60%160%5442

0.18144，第6局的获得1分的概率为160%0.4，第6局的获得1分的概率为10.181440.40.41856，所以第6局的获得的分数的数学期望是20.1814410.41856(1)0.40.38144，故答案为：0.3814411.如图，在55的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行．各列至少有一个圆圈；同一格不能填2个圆圈．则不同的符合条件的填入方法有______种．【答案】4200【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理得解.【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1个；某列2个，其他列1个.①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120×20=2400种;②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有C5C5=25种，在该行该列分别填入2个圆圈的方法有C4C4=36种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计:25362=1800种;综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.故答案为：4200种12.已知A,B,C,D,E,F六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有______种．【答案】120【分析】利用条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，从而得出每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理即可求出结果.【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序，这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作”排成ABCDEF的顺序，这里不妨记A，B，C，D，E，F六个字母对应的位次分别为1，2，3，4，5，6，首先，考虑一种情况：假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，2211

其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，即第一次让“B”归位，第二次让“C”归位，第三次让“D”归位，第四次将“E”与“F”同时归位，这样仅需进行4次操作，不满足题意；所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，则每个字母均不在自己位置的情况，这样1号位有5种选择，放在1号位的那个字母对应的位次就有4种选择，以此类推，总的排序方法有5！120种.故答案为：120.【点睛】解决本题的关键在于，先通过假设字母“A”已经排在自己的位置，即排在1号位，再分析出不符合条件，从而得到怎样的排序才符合条件，将问题转成利用分步计数原理来解决.二、选择题（本大题满分12分，本大题共有4题）13.已知一个圆的方程满足：圆心在点3,4，且过原点，则它的方程为（A.C.）x3y4225B.D.x3y42225x32y452x32y4252【答案】D【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.【详解】设圆的半径为r，因为圆心是C3,4，且过点(0,0)，所以r9165，所以半圆的方程为x3(y4)225，故选：D.14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件A，“小骰子出现的点数大于大骰子出现的点数”为事件B，则PBA为（A.122）C.B.16115D.13【答案】D【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，再利用条件概率计算公式即可算出P(B|A)的值.【详解】根据题意，记小骰子的点数为x，大骰子的点数为y，事件A包含的基本事件有“x4,y6”，“xy5”，“x6,y4”共3个,事件A发生的概率P(A)31，6612而事件AB包含的基本事件有“x6,y4”一个，

可得事件AB发生的概率P(AB)P(B|A)P(AB)1.P(A)31，36故选：D15.过点P3,0作一条直线l，它夹在两条直线l1：2xy20和l2：xy30之间的线段恰被点P平分，）B.8xy240D.x8y240则直线l的方程为（A.8xy240C.8xy240【答案】B【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为ykx3，进而得出交点，根据点P为两交点的中点建立等式，求出k的值，从而即可解决问题.【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：x3，不符合题意；所以直线斜率存在设为k，则直线l方程为ykx3，3k2xykx3k2联立直线l1得：，4k2xy20yk23k3xykx3k1联立直线l2得：，，6kxy30yk1所以直线l与直线l1，直线l2的交点为：3k24k3k36k,,,，k2k2k1k1又直线l夹在两条直线l1和l2之间的线段恰被点P平分，所以3k23k34k6k6,0，k2k1k2k1解得：k=8，所以直线l的方程为：8xy240，故选：B.16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A，而乙带了两名手下B和C，规定任意一名手下

向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则B向敌方成员开枪，之后按C，A，B，C，A，B，……的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是（A.）518B.736C.14D.19【答案】A【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法公式求和得解.【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下A被击毙，则甲方必败，同理，若乙方B、C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：乙甲甲乙，B甲C，C甲B，B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为Pi(i1,2,3,4,5)，1111111，P2，P3，P4，3223363222411111P5，322224111522所以甲最终获胜的概率是P,36122418则P1故选：A三、解答題（本大题满分52分，本大题共有5题）17.已知随机变量XBn,p，若Ex2，Dx【答案】134，求p的值．3【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.【详解】因为随机变量XBn,p，所以Exnp2，Dxnp1p两式相除可得1p解得p2，34，31.31x1的最小距离．218.求抛物线C：y=x2上的点到直线l：y【答案】358【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.

【详解】设抛物线y=x2上的点P(x0,x0)，则点P到直线y2021x1，21152(x0)214835，当且仅当x0时取等号，即x2y20的距离d|x02x2|485(2)212所以所求最小距离为35.819.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生（男女生各一半）的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照50,60，60,70，70,80，80,90，90,100的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在50,60，90,100的频数分别为16，4．（1）求样本容量n和频率分布直方图中的a，b的值；（2）其中男．女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表，并判断是否有90%70分以下称为“不优秀”，的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”？男生优秀不优秀总计PK2k0女生总计0.102.7060.053.8410.0106.6350.0057.8790.00110.828k0附：K2nadbc2abcdacbd，nabcd．【答案】（1）n100,b0.004,a0.030（2）联表见解析，没有【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量n及a,b的大小即可；

（2）由题意列出联表，计算K2与临界值比较得出结论.【小问1详解】由题意可知，样本容量n164100，b0.004，0.0161010010a0.1000.0040.0100.0160.0400.030.【小问2详解】100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列联表如下表;男生优秀不优秀总计242650女生3020502总计5446100K210024203026505046541001.4492.70，69没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.20.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：合58596676869707173计件数442121100直径mm经计算，样本的平均值65，标准差2.2，以频率值作为概率的估计值，用样本估计总体.（1）将直径小于等于2或直径大于2的零件认为是次品，从设备M的生产流水线上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y的数学期望EY；（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X，并根据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①P(X)0.6827；②P(2X2)0.9545；③P(3X3)0.9973.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个，则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级并说明理由.【答案】（1）E(Y)9；（2）设备M的性能为丙级别.理由见解析50

【分析】（1）对于次品个数Y的数学期望EY的求法可采取古典概率的算法，先求出次品率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于2或直径大于2的零件个数求得，再根据该分布符合3Y~B3,，进行期望的求值50（2）根据（2）提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较发现800.800.6826，10094P(2X2)0.940.9544，10098P(3X3)0.980.9974，100P(X)三个条件中只有一个符合，等级为丙【详解】解：（1）由图表知道：直径小于或等于2的零件有2件，大于2的零件有4件，共计6件，从设备M的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为故E(Y)3633，依题意Y~B3,，100505039；5050（2）由题意知，62.8，67.2，260.6，269.4，358.4，371.6，所以由图表知道：800.800.6826，10094P(2X2)0.940.9544，10098P(3X3)0.980.9974，100P(X)所以该设备M的性能为丙级别.【点睛】对于正态分布题型的数据分析，需要结合，的含义来进行理解，根据题设中如P(X)0.6827；②P(2X2)0.9545；③P(3X3)0.9973来寻找对应条件下的样品数，计算出概率值，再根据题设进行求解，此类题型对数据分析能力要求较高，在统计数据时必须够保证数据的准确性，特别是统计个数和计算，等数据时k121.（1）已知k、n为正整数，kn，求证：kCknnCn1：（2）已知k、n为正整数，求证：CnCn1Cn2CnkCnk1；nnnnn1

nCn1n1111n1n1n1nmCnCn1Cnm1（3）m、n为正整数，n2，求证：Cn1．nn1n2nmnmn1【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【分析】（1）根据组合数的公式及阶乘的定义化简变形即可得证；（2）由组合数的性质CnCnmm1Cmn1可证明；2nk1Cnn1n1nk22（3）利用（1）和（2）的结论，及可证明.Cnk1Cnnk2nknkk【详解】（1）kCnknn1!n!1nCkn1 ，k!nk!k1![n1k1]!k1kCknnCn1.（2）由CnCnmm1Cmn1知，nnnCnCCCnn1n2nk1nnnCnn1Cn1Cn2Cnk1nnCnn2Cn2Cnk1nnCnn3Cn3Cnk1Cnnk1.n11mnCnCnCnnm1nmnm1（3）由（1）可知，n2时，，nmn1mnn1n1nk1Cnk2Cn2，n1n1而Cnk1nk2nknkn2故n1n1n1n1n1n1n1n1Cn1CnCn1Cnm1，nn1n2nm2n2n22n1CnCnn2Cn1Cnnm2Cnm1，nCn1n1111n1n1n1nmCnCn1Cnm1故Cn1，其中n1n2nmnmn1


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