2024年3月14日发(作者：江苏高中高考数学试卷)

高中数学 微积分

一、导数

1．导数的定义

定义：设函数

yf

x

在点

x

0

的某邻域内有定义，若极限

lim

xx

0

f

x

f

x

0

存在，

xx

0

则称函数

f

在点

x

0

处可导，并称该极限值为函数

f

在点

x

0

处的导数，记为

f

x

0

（或

dydf

．若令

xx

0

x

，

yf

x

0

x

f

x

0

，则

y

|

xx

0

，|

xx

0

，|

xx

0

）

dxdx

xx

0

lim

f

x

0

x

f

x

0

f

x

f

x

0

f

x

0

．所以，导数是函数增量可改写为

lim

x0

x

xx

0

y

与自变量增量

x

之比的极限．这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差

商），而导数

f

x

0

则为

f

在

x

0

处关于

x

的变化率．若

lim

xx

0

f

x

f

x

0

极限不存在，则

xx

0

称

f

在点

x

0

处不可导．

2．导函数

若函数在区间

I

上每一点都可导（对区间端点，仅考虑相应的单侧导数），则称

f

为

I

上的可导函数．此时，对每一个

xI

，都有

f

的一个导数

f

x

（或单侧导数）与之对应，

这样就定义了一个在

I

上的函数，称为

f

在

I

上的导函数，也简称为导数，记为

f

或

y

，

即

f

x

lim

x0

f

xx

f

x

，xI

．

x

3．导数的几何意义

函数

f

在点

x

0

处的导数

f

x

0

是曲线

yf

x

在点

x

0

,y

0

处的切线斜率．曲线

yf

x

在点

x

0

，y

0

处的切线方程为

yy

0

f

x

0



xx

0

．

4．求导法则

（1）基本求导法则

①

uv

u

v

；

②

uv

u

vuv

，

cu

cu

（

c

为常数）；

u

u

vuv

1

v

③



，



2

；

2

vv

v



v

④反函数导数

dy

1

；

dx

dx

dy

⑤复合函数导数

dydydu

．



dxdudx

（2）基本初等函数导数公式

①

c

0

（

c

为常数）；

②

x

x

1

（

为任意实数）；



③

sinx

cosx

，

cosx

sinx

；

④

tanx

sec

2

x

，

cotx

csc

2

x

，

secx

secxtanx

，

cscx

cscxcotx

；

⑤

a

x

a

x

lna

，

e

x

e

x

．



⑥

log

a

x

11

，

lnx

．

xlnax

5．导数的应用

（1）判断函数单调性

定理：设函数

f

x

在区间

I

上可导，则

f

x

在

I

上递增（减）的充要条件是

f

x

0

0

．

推论：设函数

f

x

在区间

I

上可导，若

f

x

0

0

，则

f

x

在区间

I

上严格递

增（严格递减）．

（2）函数的极值

定义：若函数

f

x

在点

x

0

的某邻域

U

x

0

内对一切

xU

x

0

有

f

x

0

f

x

f

x

0

f

x

，则称函数

f

x

在点

x

0

取得极大（小）值，称点

x

0

为极

大（小）值点．极大值和极小值统称为极值；极大值点和极小值点统称为极值点．


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