2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试题及答案_

2023年12月20日发(作者：娄底数学试卷中考答案解析)

机密★本科目考试启用前

2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数 学 试 卷

考 1．考生要认真填写考场号和座位序号。

生 2．本试卷共7页，分为两部分：第一部分为选择题，共60分；第二部分为非选择题，须 共40分。

知 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必

须用2B铅笔作答；非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答。

4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡按要求放在桌面上，待监考员收回。

第一部分（选择题 共60分）

一、选择题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知全集U1,2,3,4，集合A1,2，则ðUA（ ）

A．1,3 B．2,3 C．1,4 D．3,4

2．不等式x20的解集是（ ）

A．xx0

 B．xx0

 C．xx0

 D．xx0

3．函数fxx1的零点是（ ）

A．－2 B．－1 C．1 D．2

4．在平面直角坐标系xOy中，角以O为顶点，以Ox为始边，终边经过点1,1，则角可以是（ ）

A．

4 B．

2 C．3

4 D．

5．已知三棱柱ABCA1B1C1的体积为12，则三棱锥AA1B1C1的体积为（ ）

A．3 B．4 C．6 D．8

6．已知sin1，则sin（ ）

2 B．A．1

2

1

2 C．2

2 D．2

2

7．lg100（ ）

A．－100 B．100 C．－2 D．2

8．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，下列向量中，与OA相等的是（ ）

A．DO B．EO C．FO D．CO

9．下列函数中，在R上为增函数的是（ ）

A．fxx

B．fxx

2 C．fx2

xD．fxcosx

10．已知向量a2,1，bm,2．若a∥b，则实数m（ ）

A．0 B．2 C．4 D．6

D．a1，b3

11．已知a，bR，且ab2．当ab取最大值时，（ ）

A．a0，b2 B．a2，b0 C．a1，b1

12．将函数ylog2x的图象向上平移1个单位长度，得到函数yfx的图象，则fx（ ）

A．log2x1 B．1log2x C．log2x1 D．1log2x

13．四棱锥PABCD如图所示，则直线PC（ ）

A．与直线AD平行

C．与直线BD平行

B．与直线AD相交

D．与直线BD是异面直线

14．在△ABC中，a1，b1，cA．60°

3，则C（ ）

D．120° B．75° C．90°

15．已知a，bR，则“ab0”是“ab0”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

16．向量a，b在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长为1，则ab（ ）

A．2

B．5

D．3

C．22

17．已知函数fxxa．若yfx的图象经过原点，则fx的定义域为（ ）

A．0, B．,0 C．1, D．,1

18．某银行客户端可通过短信验证码登录，验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成（如“0013”）．用户使用短信验证码登录该客户端时，收到的验证码的最后一个数字是奇数的概率为（ ）

A．1

2 B．1

4 C．1

8 D．1

161x,x019．已知函数fx，则fx的最小值是（ ）

22x2x,x0A．2 B．1 C．－2 D．－1

20．某校学生的体育与健康学科学年成绩s由三项分数构成，分别是体育与健康知识测试分数a，体质健康测试分数b和课堂表现分数c，计算方式为sa20%b40%c40%．学年成绩s不低于85时为优秀，若该校4名学生的三项分数如下：

甲

乙

丙

丁

a

85

90

85

85

b

85

85

80

80

c

90

80

85

90

则体育与健康学科学年成绩为优秀的学生是（ ）

A．甲和乙

B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁

第二部分（非选择题 共40分）

二、填空题共4小题，每小题3分，共12分。

21．已知复数z112i，z22i，则z1z2______．

22．在△ABC中，a2，A30，则b______．

sinB23．某校初一年级共有三个班，为了解课外阅读情况，随机抽取部分学生调查他们一周的课外阅读时长（单位：小时），整理数据得到下表：

1班

2班

3班

8

7

5

9

7

7

10

8

9

11

9

9

11

9

9

15

11

10

12

14

①设样本中1班数据的均值为1，2班数据的均值为2，则1______2（填“＞”或“＜”）；

②设样本中2班数据的方差为s2，3班数据的方差为s3，则s2______s3（填“＞”或“＜”）．

2222

24．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，是正方形ABCD及其内部的点构成的集合．给出下列三个结论：

①P，A1PA1A；

②P，A1P∥B1C；

③P，A1P与B1C不垂直．

其中所有正确结论的序号是______．

三、解答题共4小题，共28分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

25．（本小题7分）已知函数fx1sin2x．

（1）求fx的最小正周期；

（2）求fx的最大值，并写出相应的一个x的值．

26．（本小题7分）已知yfx是定义在区间2,2上的偶函数，其部分图象如图所示．

（1）求f1的值；

（2）补全yfx的图象，并写出不等式fx1的解集．

27．（本小题7分）阅读下面题目及其解答过程．

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为BC，A1B1的中点．

（1）求证：DE∥平面A1ACC1；

（2）求证：ABDE．

解：（1）取A1C1的中点F，连接EF，FC，如图所示．

在△A1B1C1中，E，F分别为A1B1，A1C1的中点，

所以EF∥B1C1，EF1B1C1．

2由题意知，四边形B1BCC1为 ① ．

因为D为BC的中点，所以DC∥B1C1，DC所以EF∥DC，EFDC．

所以四边形DCFE为平行四边形，

所以DE∥CF．

又 ② ，CF平面A1ACC1，

所以，DE∥平面A1ACC1．

（2）因为ABCA1B1C1为直三棱柱，所以A1A平面ABC．

又AB平面ABC，所以 ③ ．

因为ABAC，且A1AACA，所以 ④ ．

又CF平面A1ACC1，所以ABCF．

因为 ⑤ ，所以ABDE．

以上题目的解答过程中，设置了①~⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置（只需填写“A”或“B”）．

空格序号

①

②

③

选项

A．矩形 B．梯形

A．DE平面A1ACC1 B．DE平面A1ACC1

A．BCA1A B．ABA1A

1B1C1．

2

④

⑤

A．AB平面A1ACC1 B．BC平面A1ACC1

A．DECF B．DE∥CF

28．（本小题7分）给定正整数k2，设集合Mx,x,,xx0,1,i1,2,,k．对于12ki集合M的子集A，若任取A中两个不同元素y1,y2,,yk，z1,z2,,zk，有y1y2ykz1z2zk，且y1z1，y2z2，…，ykzk中有且只有一个为2，则称A具有性质P．

（I1）当k2时，判断A1,0,0,1是否具有性质P；（结论无需证明）

（2）当k3时，写出一个具有性质P的集合A；

（3）当k4时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．



机密★启用前

2023年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试

数学试卷参考答案

一、选择题（共20小题，每小题3分，共60分）

1．D

11．C

2．B

12．B

3．C

13．D

4．C

14．D

5．B

15．A

6．A

16．B

7．D

17．A

8．A

18．A

9．C

19．D

10．C

20．D

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

21．3i 22．4 23．＞ ＜ 24．①②③

三、解答题（共4小题，共28分）

25．（共7分）解：（1）fx的最小正周期T2．

2（2）因为sin2x1，所以fx1sin2x2，且f所以fx的最大值为2，相应的一个x的值为2．

4．

426．（共7分）解：（1）由图可知，f11．

因为fx是偶函数，所以f1f11．

（2）yfx的图象如图．不等式fx1的解集为2,11,2．

27．（共7分）解：（1）①A ②A （2）③B ④A ⑤B

28．（共7分）解：（1）A不具有性质P．

（2）A（答案不唯一）

1,1,0,1,0,1．（3）当k4时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，

即任取A中两个不同元素y1,y2,y3,y4，z1,z2,z3,z4，

有y1y2y3y4z1z2z3z4，①

y1z1，y2z2，y3z3，y4z4中有且只有一个为2．②

设y1y2y3y4z1z2z3z4m；则m0,1,2,3,4．

当m1时，由①得A1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，不满足②，矛盾．



当m2时，由①得A1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1．

由②得1,1,0,0与0,0,1,1不同时在A中；1,0,1,0与0,1,0,1不同时在A中；1,0,0,1与0,1,1,0不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．

当m3时，由①得A1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，不满足②，矛盾．

当m0或m4时，矛盾．

所以假设不成立，即A不具有性质P．

