2024年4月10日发(作者：2016安徽省数学试卷)
第十讲二项分布与应用随机变量的均值与方差
知识要点
1.事件的相互独立性<概率的乘法公式>
设
A
、
B
为两个事件,如果
P
<
AB
>＝
P
<
A
>
P
<
B
>,则称事件
A
与事件
B
相互独立．
2. 互斥事件概率的加法公式：如果事件
A
与事件
B
互斥,则
P
<
A
＋
B
>＝
P
<
A
>＋
P
<
B
>．
3.对立事件的概率：若事件
A
与事件
B
互为对立事件,则
P
<
A
>＝1－
P
<
B
>．
4.条件概率的加法公式：若
B
、
C
是两个互斥事件,则
P
<
B
∪
C
|
A
>＝
P
<
B
|
A
>＋
P
<
C
|
A
>
5.独立重复试验：在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验,即若用
A
i
<
i
＝1,2,…,
n
>表示第
i
次试验结果,则
P
<
A
1
A
2
A
3
…
A
n
>＝
P
<
A
1
>
P
<
A
2
>
P
<
A
3
>…
P
<
A
n
>．
注：判断某事件发生是否是独立重复试验,关键有两点
<1>在同样的条件下重复,相互独立进行；<2>试验结果要么发生,要么不发生．
6.二项分布：在
n
次独立重复试验中,设事件
A
发生的次数为
X
,在每次试验中事件
A
发生的概率为
p
,那么
在
n
次独立重复试验中,事件
A
恰好发生
k
次的概率为
P
<
X
＝
k
>＝C错误!
p
·<1－
p
>
时称随机变量
X
服从二项分布,记作
X
～
B
<
n
,
p
>,并称
p
为成功概率．
注：判断一个随机变量是否服从二项分布,要看两点
<1>是否为
n
次独立重复试验．<2>随机变量是否为在这
n
次独立重复试验中某事件发生的次数．
7.离散型随机变量的均值与方差与其性质
定义：若离散型随机变量X的分布列为
P
<
ξ
＝
x
i
>＝
p
i
,
i
＝1,2,…,
n
.
<1>均值：称
E
<
X
>＝
x
1
p
1
＋
x
2
p
2
＋…＋
x
i
p
i
＋…＋
x
n
p
n
为随机变量
X
的均值或数学期望．
<2>方差：
D
<
X
>＝错误! <
x
i
－
E
<
X
>>
p
i
为随机变量
X
的方差,其算术平方根错误!为随机变量
X
的标准差．
<3>均值与方差的性质：<1>
E
<
aX
＋
b
>＝
aE
<
X
>＋
b
；<2>
D
<
aX
＋
b
>＝
aD
<
X
>．<
a
,
b
为常数>
8.两点分布与二项分布的均值、方差
变量
X
服从两点分布：
E
<
X
>＝
p
,
D
<
X
>＝
p
<1－
p
>；
X
～
B
<
n
,
p
>：
E
<
X
>＝np,
D
<
X
>＝
np
<1－
p
>
典例精析
例1.[2015高考四川,理17]某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐3名男生,2名女生,B中
学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男
生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队
〔1〕求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.
〔2〕某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设
X
表示参赛的男生人数,求
X
得分布列和数
学期望.
例2．如图,用
K
、
A
1
、
A
2
三类不同的元件连接成一个系统．当
K
正常工作且
A
1
、
A
2
至少有一个正常工作时,
系统正常工作．已知
K
、
A
1
、
A
2
正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则
系统正常工作的概率为< >
A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576
例3.<2013·##高考>甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束．除第五
1 / 10
2
2
kn
－
k
<
k
＝0,1,2,…,
n
>,此
局甲队获胜的概率是错误!外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是错误!,假设各局比赛结果相互独立．
<1>分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率．
<2>若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分,对方得0分；若比赛结果为3∶2,则胜利方得
2分,对方得1分．求乙队得分
X
的分布列与数学期望．
例4.为贯彻\"激情工作,快乐生活\"的理念,某单位在工作之余举行趣味知识有奖竞赛,比赛分初赛和决赛两
部分,为了增加节目的趣味性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有5次选答题的机会,
选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛,答对3题者直接进入决赛,答错3题者则被淘汰,已知
选手甲答题的正确率为错误!.
<1>求选手甲答题次数不超过4次可进入决赛的概率；
<2>设选手甲在初赛 中答题的个数
ξ
,试写出
ξ
的分布列,并求
ξ
的数学期望．
例5.<2014·##高考改编>为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规定：每位
顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖
励额．
<1>若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元．求：
①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列与数学期望．
<2>商场对奖励总额的预算是60 000元,为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客
所获的奖励额相对均衡．下面给出两种方案：
方案1：4个球中所标面值分别为10元,10元,50元,50元；
方案2：4个球中所标面值分别为20元,20元,40元,40元．
如果你作为商场经理,更倾向选择哪种方案？
例6．<13分>如图所示,是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量<单位：吨>的频率分布直方图．
<1>求直方图中
x
的值；
<2>若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民<看作有放回的抽样>,求月均用水量在3至4吨的
居民数
X
的分布列、数学期望与方差．
例7．<12分>某用\"10分制\"调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取16名,以下茎叶图记录了
他们的幸福度分数<以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶>：
<1>指出这组数据的众数和中位数；
<2>若幸福度不低于9,则称该人的幸福度为\"极幸福\"．求从这16人中随机选取3人,至多有1人是\"极
幸福\"的概率；
<3>以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区<人数很多>任选3人,记
ξ
表示抽到\"
极幸福\"的人数,求
ξ
的分布列与数学期望．
例8.[2015高考湖南,理18]某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装
有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,
若都是红球,则获一等奖；若只有1个红球,则获二等奖；若没有红球,则不获奖.
〔1〕求顾客抽奖1次能获奖的概率；
〔2〕若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为
X
,求
X
的分布列和数学期望.
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